六年级数学上册第16讲：特殊图形（教师版）（人教版）

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第十六讲特殊图形

一、长方体和正方体

如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．

①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．

(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．)

②长方体的表面积和体积的计算公式是：

长方体的表面积：；

长方体的体积：．

③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．

如果它的棱长为，那么：，．

二、圆柱与圆锥

立体图形表面积体积

圆柱

圆锥

注：是母线，即从顶点到底面圆上的线段

长

1.掌握立体图形的特征，能通过分析图形的特征解题。

2.灵活应用公式解题。

例 1：如右图，在一个棱长为 10 的立方体上截取一个长为 8，宽为 3，高为 2的小长方体，

那么新的几何体的表面积是多少？

【解析】我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表

面积：10 10 6 600．

例 2：右图是一个边长为 4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去

一个边长 l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前

面、右面、上面挖去的正方体）

【解析】原正方体的表面积是 4 4 6 96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是 1厘米

的正方形，同时又增加了 5个边长是 1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部

分．总的来看，每一个面都增加了 4个边长是 1厘米的正方形．

从而，它的表面积是：96 4 6 120 平方厘米．

例 3：下图是一个棱长为 2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为 1厘

米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方形小洞，第三个

正方形小洞的挖法和前两个相同为厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方

厘米？

【解析】我们仍然从 3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2 2 2 8(平方厘

米)；左右方向、前后方向：2 2 4 16(平方厘米)，1 1 4 4(平方厘米)，

4 1(平方厘米)，4(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：

4 1 (平方厘米).

例4：一个正方体木块，棱长是 1米，沿着水平方向将它锯成 2片，每片又锯成 3长条，每

条又锯成 4小块，共得到大大小小的长方体 24 块，那么这 24 块长方体的表面积之和是多

少？

【解析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数 2增

加的面数．

原正方体表面积：1 1 6 6(平方米)，一共锯了(2 1) (3 1) (4 1)6次，

6 1 1 2 6 18(平方米)．

例5：如图，25 块边长为 1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？

25块积木

【解析】当小积木互相重合的面最多时表面积最小.

设想 27 块边长为 1的正方形积木，当拼成一个的正方体时，表面积最小，

现在要去掉 2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉

两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为 54.

例6：要把 12 件同样的长 a、宽 b、高 h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表

面积最小，该如何打包？

⑴当 b2h时，如何打包？

⑵当 b2h时，如何打包？

⑶当 b2h时，如何打包？

【解析】图2和图 3正面的面积相同，侧面面积正面周长长方体长，所以正面的周长

愈大表面积越大，图 2的正面周长是 8h6b，图 3的周长是 12h4b.两者的周长

之差为 2（b2h）.

当b2h时，图 2和图 3周长相等，可随意打包；当 b2h时，按图 2打包；当 b

2h时，按图 3打包.

图3

图2

图1

（分 A/B/C 易、中、难三档，每档题目数量根据课程难度自行搭配，总共不少于 15 道题。

题后附答案，“答案”二字加粗）

1.在一个棱长为 50 厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为 5厘米的小正方

体，问剩下的立体图形的表面积是多少？

【解析】对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后 3个方向考虑．

变化前后的表面积不变：50 50 6 15000(平方厘米)．

2.一个表面积为的长方体如图切成 27 个小长方体，这 27 个小长方体表面积的和是

．

【解析】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方

向切两刀后，表面积增加到原来的 3倍，即表面积的和为．

3.要把 6件同样的长 17、宽 7、高 3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是

多少？

【解析】考虑所有的包装方法，因为 6 1 2 3，所以一共有两种拼接方式：

第一种按长宽高 1 1 6 拼接，重叠面有三种选择，共 3种包装方法.

第二种按长宽高 1 2 3 拼接，有 3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有 2

个长方体并列方向的重叠面剩下 2种选择，一共有 6种包装方法.

其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为 1034.

4.如图，在一个棱长为 5分米的正方体上放一个棱长为 4分米的小正方体，求这个立体图

形的表面积．

【解析】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小

正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这

样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底

面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．

上下方向： (平方分米)；侧面： (平方分米)，

(平方分米)．这个立体图形的表面积为： (平方分

米)．

5.如图，棱长分别为厘米、厘米、厘米、厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到

的多面体的表面积是_______平方厘米．

【解析】(法1)四个正方体的表面积之和为： (平方厘米)，

重叠部分的面积为：

(平方厘米)，

所以，所得到的多面体的表面积为： (平方厘米)．

(法2)三视图法．从前后面观察到的面积为平方厘米,从左右两个

面观察到的面积为平方厘米，从上下能观察到的面积为平方厘

米．

表面积为 (平方厘米)．

6.把19 个棱长为 1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个

立体图形的表面积．

【解析】从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形

的表面积为：2个上面个左面个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表

面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10 平方厘米．因此，这个立体图形

的总表面积为： (平方厘米)．

上下面左右面前后面

7.用棱长是 1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘

米?

【解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由 9、7、7块正方形组成．

该图形的表面积等于个小正方形的面积，所以该图形表面积为

46 平方厘米．

8.有 30 个边长为 1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．

求被涂成红色的表面积．

【解析】 (平方米)．

9.棱长是厘米（为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是 1厘米

的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为

，此时的最小值是多少?

【解析】切割成棱长是 1厘米的小正方体共有个，由于其中至少有一面是红色的小正方

体与没有红色面的个数之比为，而，所以小正方体的总数是 25

的倍数，即是 25 的倍数，那么是 5的倍数．

当时，要使得至少有一面的小正方体有 65 个，可以将原正方体的正面、上

面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有个，表面没

有红色的小正方体有

个，个数比恰好是，符合题意.因此，的最小值是 5．

10.有 64 个边长为 1厘米的同样大小的小正方体，其中 34 个为白色的，30 个为黑色的．现

将它们拼成一个的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘

米？

【解析】要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，

那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来．

在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有 (个)，用黑色的；在面

上但不在边上的小正方体有 (个)，其中个用黑色．

这样，在表面的个的正方形中，有 22 个是黑色，

(个)是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是 74 平方厘米．

11.三个完全一样的长方体，棱长总和是 288 厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长

恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．

涂色后把三个长方体都切成棱长为 1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有

多少个？

【解析】每个长方体的棱长和是厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是

厘米．因为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的

自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是 9厘米、8厘米、7厘米．

要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意

涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少．所以，涂一面的长方体应

涂一个面，有个；

涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个面，有个；若两面

相邻，应涂一个面和一个面，此时有个，所以涂两

面的最少有 105 个；

涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个面、一个面，有

个；若三面两两相邻，有

个，所以涂三面的最少有 146

个．

那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有个．

12.把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好

有两个面涂上红色的小正方体恰好是 100 块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小

正方体？

【解析】设小正方体的棱长为 1，考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有

一个是 1的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于 1的情况．

当长方体的长、宽、高中有一个是 1时，分割后只有一层小正方体，其中有两个

面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些．因为有两个

面涂上红色的小正方体恰好是 100 块，设，那么分成的小正方体个数

为

，为了使小正方体的个数尽量

少，应使最小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当时它们

的和最小，此时共有

个小正方体．

当长方体的长、宽、高都大于 1时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉 8个顶

点所在的小正方体后 12 条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方

体恰好是 100 块，所以长方体的长、宽、高之和是．由于三个

数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令

，此时共有个小正方体．

因为，所以至少要把这个大长方体分割成 108 个小正方体．

13.把正方体的六个表面都划分成 9个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正

方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？

【解析】一个面最多有 5个方格可染成红色（见左下图）．因为染有 5个红色方格的面不

能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成 5个红色方格．

红

其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染 4个红色方

格（见上中图）．因为染有 4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多

有两个面可以染成 4个红色方格．最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染 2

个红色方格（见右上图）．所以，红色方格最多有（个）．

（另解）事实上上述的解法并不严密，“如果最初的假设并没有两个相对的有 5

个红色方格的面，是否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢？”这种解法

回避了这个问题，如果我们从约束染色方格数的本质原因入手，可严格说明是

红色方格数的最大值．

对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半

的格子可以染成红色．但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问

题时应该兼顾棱、角等面与面相交的地方：

⑴ ⑵ ⑶

⑴如图，每个角上三个方向的 3个方格必须染成不同的三种颜色，所以 8个角上

最多只能有 8个方格染成红色．

⑵如图，阴影部分是首尾相接由个方格组成的环，这 9个方格中只能有个方

格能染成同一种颜色(如果有 5个方格染同一种颜色，必然出现相邻，可以用抽屉

原理反证之：先去掉一个白格，剩下的然后两两相邻的分成四个抽屉，必然有一

个抽屉中有两个红色方格)，像这样的环，在正方体表面最多能找到不重叠的两道

（关于正方体中心对称的两道），涉及的个方格中最多能有个可染成红色．

⑶剩下个方格，分布在条棱上，这个格子中只能有

个能染成红色．

综上所述，能被染成红色的方格最多能有个格子能染成红色，第一

种解法中已经给出个红方格的染色方法，所以个格子染成红色是最多的情

况．

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