六年级数学上册第15讲：比例模型（教师版）（人教版）

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第十五讲比例模型

一、比和比例的性质

性质 1：若 a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；

性质 2：若 a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；

性质 3：若 a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数)

性质 4：若 a: b=c：d，则 a×d = b×c；(即外项积等于内项积)

正比例：如果 a÷b=k(k为常数)，则称 a、b成正比；

反比例：如果 a×b=k(k为常数)，则称 a、b成反比．

二、主要比例转化实例

　　① 　　；；；

② 　　； (其中 )；

③ 　；　；；

④ ，；；

⑤ 的等于的，则是的，是的．

三、按比例分配与和差关系

⑴ 按比例分配

例如：将个物体按照的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分

配到的物体数量与的比分别为和，所以甲分配到个，

乙分配到个.

⑵ 已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题

例如：两个类别、，元素的数量比为 (这里 )，数量差为，那么的元素数

量为，的元素数量为，所以解题的关键是求出与或的比

值．

四、比例题目常用解题方式和思路

解答分数应用题关键是正确理解、运用单位 “ l”。题中如果有几个不同的单位

“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简

单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：

1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数

量为单位“1”。

2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。

3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是

成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、

反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。

4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。

5. 赋值解比例问题

1.掌握比例的性质，学会比例间的互化。

2.掌握比例题目中常见的解题方法和思路。

例 1:已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，丙等

于甲、乙两数和的，求 .

【解析】由甲等于乙、丙两数和的，得到甲等于三个数和的，同样的乙等于甲、

丙两数和的，同样的丙等于甲、乙两个数和的，所以

．

例 2:已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的倍也等于丙的，那么甲的、乙的

倍、丙的一半这三个数的比为多少？

【解析】甲的一半、乙的倍、丙的这三个数的比为，所以甲、乙、丙这三个数的

比为即，化简为，那么甲的、乙的倍、

丙的一半这三个数的比为即，化简为 .

例 3:如下图所示，圆与圆的面积之和等于圆面积的，且圆中的阴影部分面积占

圆面积的，圆的阴影部分面积占圆面积的，圆的阴影部分面积占圆面积的

．求圆、圆、圆的面积之比．

【解析】设与的共同部分的面积为，与的共同部分的面积为，则根据题意有

，，，于是得到，这条

式子可化简为，所以 .最后得到 .

例 4:某俱乐部男、女会员的人数之比是，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组

的人数比是，甲组中男、女会员的人数之比是，乙组中男、女会员的人数之比

是．求丙组中男、女会员人数之比．

以总人数为 1，则甲组男会员人数为，女会员为，乙组男

会员为，女会员为；丙组男会员为，女

会员为；所以，丙组中男、女会员人数之比为．

例 5:一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到个，而甲、乙两班的人数

比为，求一共有多少个苹果？

【解析】一共有个苹果.

例 6:一班和二班的人数之比是，如果将一班的名同学调到二班去，则一班和二班的

人数比变为．求原来两班的人数．

【解析】原来一班的人数为两班总人数的，调班后一班的人数是两班人数的

，调班前后一班人数的比值为，所以一班原来的人数为

人，二班原来的人数为人.

例 7:幼儿园大班和中班共有 32 名男生，18 名女生．已知大班男生数与女生数的比为，

中班男生数与女生数的比为，那么大班有女生多少名？

由于男、女生人数有比例关系，而且知道总数，所以可以用鸡兔同笼的方法．假设 18 名女

生全部是大班，则大班男生数：女生数，即男生应有 30 人，实际上男生有

32 人，相差 2个人；又中班男生数：女生数，以 3个中班女生换 3个大班女生，

每换一组可增加 1个男生，所以需要换 2组；所以，大班女生有 (名)．

例 8:有一个长方体，长和宽的比是，宽与高的比是．表面积为，求这个长

方体的体积.

【解析】由条件长方体的长、宽、高的比，则长方体的所有视面，上面、前面、左

面的面积比为，这三个面的面积和等于长

方体表面积的二分之一，所以，长方体的上面的面积为，

前面的面积为，左面的面积为，

而，所以即是长、宽、高的乘积，所以这个长方体的体

积为．

例9:某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是．结果录取 91 人，其中男生与

女生人数之比是．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是．问报考的共有多

少人？

【解析】(法 1)录取的学生中男生有人，女生有 (人)，先将未录

取的人数之比变成，又有 ( 人 ) ，所以每份人数是

(人)，那么未录取的男生有 (人)，未录取的女

生有 (人)．所以报考总人数是 (人)．

(法2)设未被录取的男生人数为人，那么未被录取的女生人数为人，由于

录取的学生中男生有人，女生有 (人)，则

，解得．所以未被录取的男生有 12 人，女生有 16

人．报考总人数是 (人)．

1.一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相

同多的一段时间后，分别剩下、的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率

(建设速度)之比，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.

【解析】(法一)甲工程队以倍乙工程队建设速度，仅完成了的承包任务，而乙工程

队完成了，所以甲工程队承包任务的等于乙工程队承包任务的

，所以甲工程队的承包的任务是乙工程队承包任务的

，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为．

(法二)两个工程队完成的工程任务(修建公路长度)之比等于工作效率之比，等于，而他

们分别完成了各自任务的和，所以两个工程队承包的修建公路长度之比

为．

2.某团体有名会员，男女会员人数之比是，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两

组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为、、，那么丙组有多少名

男会员？

【解析】会员总人数人，男女比例为，则可知男、女会员人数分别为人、

人；又已知甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，则可知甲组人数为人，乙、

丙人数之和为人，可设丙组人数为人，则乙组人数为人，又已知甲

组男、女会员比为，则甲组男、女会员人数分别为人、人，又已知乙、

丙两组男、女会员比例，则可得：，解得．即丙组

会员人数为人，又已知男、女比例，可得丙组男会员人数为人．

3. 、、三项工程的工作量之比为，由甲、乙、丙三队分别承担．三个工程队

同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量

是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙

队的工作效率的比是多少？

【解析】根据题意，如果把工程的工作量看作，则工程的工作量就是，工程的

工作量就是．

　　设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为、、 .经过天，则：

将⑶代入⑵，得，

将⑷代入⑴，得，，

将代入⑴，得．代入⑶，得．

　　　　甲、乙、丙三队的．工作效率的连比是．

4.某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获

一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为；③甲、乙两校

获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数

的；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的倍．那么，乙校获一等奖的人

数占该校获奖总人数的百分数等于多少？

【解析】由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为，不妨设甲校有60 人获奖，则乙

校有50 人获奖．由③知两校获二等奖的共有人；由⑤知甲校

获二等奖的有人；由④知甲校获一等奖的有

人，那么乙校获一等奖的也有 12 人，从而所求百分数为

．

5.① 某校毕业生共有 9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的

女生总数多 1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多 1．

那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？

【解析】如下表所示，由②知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多 1；由③知，

四至九班的男生总数比四、五、六班总人数少 1．

一班男生比二、三班女生多 1人

加上二、三班男生二、三班男生

一、二、三班男生比二、三班总人数多 1人

七、八、九班男生比四、五、六班女生少 1人

加上四、五、六班男生四、五、六班男生

四、五、六、七、八、九班男生比四、五、六班总人数少 1人

因此，一至九班的男生总数是二、三、四、五、六共五个班的人数之和，由于每班人数均

相等，则女生总数等于四个班的人数之和．所以，男、女生人数之比是．

6.小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为，三人一共藏书本，求他们三人

各自的藏书数量.

【解析】根据题意可知，他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的、

、，所以小新拥有的藏书数量为本，小志拥有

的藏书数量为本，小刚拥有的藏书数量为本.

7.在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了 80 元．已知甲比丙多捐18 元，甲、乙

所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是，则甲捐元，乙捐元，丙捐

元．

【解析】由于甲比丙多捐18 元，所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多 18 元，那

么甲、乙所捐资的和为： ( 元 ) ，乙、丙所捐资的和为

元．所以，甲捐了 (元)，乙捐了 (元)，丙捐

了(元)．

8.有个皮球，分给两个班使用，一班分到的与二班分到的相等，求两个班各分到

多少皮球？

根据题意可知一班与二班分到的球数比，所以一班分到皮球个，

二班分到皮球个．

9.参加植树的同学共有人，已知六年级与五年级人数的比是，六年级比四年级多

人，三个年级参加植树的各有多少人?

【解析】假设四年级和六年级人数同样多，则参加植树的同学共有人，四、

五、六三个年级的人数比为，知道三个量的和及它们的比，就可以按比例

分配，分别求出三个年级参加植树的人数．六年级：人；五

年级：人；四年级：人．

10.圆珠笔和铅笔的价格比是 4：3，20 支圆珠笔和21 支铅笔共用 71．5元．问圆珠笔的单

价是每支多少元?

【解析】设圆珠笔的价格为4，那么铅笔的价格为3，则 20 支圆珠笔和21 支铅笔的价格

为20×4+21×3=143，则单位“1”的价格为71.5÷143=0.5 元．所以圆珠笔

的单价是O.5×4=2(元)．

11.甲、乙两只蚂蚁同时从点出发，沿长方形的边爬去，结果在距

点厘米的点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的倍，求这个长方形

的周长．

【解析】两只蚂蚁在距点厘米的点相遇，说明乙比甲一共多走了

(厘米)．又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的倍，相同

时间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为：1.2：1＝6：

5，

所以甲爬的路程是 (厘米)，乙爬的路程是

(厘米)，长方形的周长为 (厘米)．

12.甲乙两车分别从 A， B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是 5∶4，相遇

后，甲的速度减少20％，乙的速度增加 20％，这样，当甲到达 B地时，乙离A地还有 10

千米．问：A，B两地相距多少千米？

【解析】甲、乙原来的速度比是 5∶4，相遇后的速度比是：[5×（1－20％）]∶[4×（1＋

20％）]＝4∶4．8＝5∶6．相遇时，甲、乙分别走了全程的

和

。设全程 x千米，

剩下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为 5：6，其中相遇后甲行驶了全长的

4/9，所以乙行驶了全长的

÷5×6=8

，所以乙一共行了全长

=44

，

还剩1-

＝

，没有走所以 A、B全长为 450 千米.

13.师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用 9分钟，徒弟加工一个零件用 15 分钟．

完成任务时，师傅比徒弟多加工100 个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？

【解析】师傅与徒弟的工作效率之比是，工作时间相同，工作量与工作效率成

正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的和，师傅和徒弟一共加工了

个零件

14.师徒二人共加工零件个，师傅加工一个零件用分钟，徒弟加工一个零件用分钟．

完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？

【解析】师傅与徒弟的工作效率之比是，而工作时间相同，则工作量与工作效

率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的和，师傅比徒弟多加工零

甲

乙

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