六年级数学上册第13讲：分数裂项与分拆（教师版）（人教版）

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第十三讲分数裂项与分拆

1. “裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分

为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相

同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，

这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

① 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前

面，即，那么有

② 对于分母上为 3个或 4个自然数乘积形式的分数，我们有：

③ 对于分子不是 1的情况我们有：

n(n+k)=

(

n−1

n+k

)

2. 裂差型裂项的三大关键特征：

①分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，

但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。

② 分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”

③ 分母上几个因数间的差是一个定值。

3.复杂整数裂项型运算

复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相

加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸

展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加 1 的乘积。

整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，

差数除以 N。N 取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。

需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于 0 时，可以取负数，当然是积为

负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的

结果再加上第一项的结果。

此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。

4. “裂和”型运算

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

① ②

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两

抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

1.复杂整数裂项的特点及灵活运用

2.分子隐蔽的裂和型运算。

例 1：

【解析】

原式

例 2：计算：．

【解析】

如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不

相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为 2．相比较于 2，4，6，……这一公差为 2 的等差

数列(该数列的第个数恰好为的 2 倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大 3，所

以可以先把原式中每一项的分子都分成 3 与另一个的和再进行计算．

原式

也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为，所以

，再将每一项的

与分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相

同．

例 3：

【解析】

原式

例 4：

【解析】

本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简

单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公

式的代入有，，……，

原式

例5： .

【解析】

这题是利用平方差公式进行裂项：，

原式

例 6：

【解析】

原式＝

＝

1000

999

1000

1

【解析】

原式

2.计算：

【解析】

本题的重点在于计算括号内的算式：．这个

算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相

同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的

形式．

观察可知，，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以

所以原式．

3.计算：

【解析】

观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以

先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：

原式

现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，

可以用平方差公式：，， ……

【解析】

原式

【解析】

原式＝＋＋＋＋…＋

＝（）＋（）＋（）＋（）＝

【解析】

，，……，

，所以

原式

【解析】

原式

7.计算：

【解析】

原式

8.计算：．

【解析】

原式

9.计算：．

【解析】

式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变

为，，，……，，可以发现如果分母都加上 1，那么恰好都是分

子的 4 倍，所以可以先将原式乘以 4 后进行计算，得出结果后除以 4 就得到原式的值了．

原式

10.

【解析】

（法 1）：可先找通项

原式

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