六年级数学上册 第11讲：质数与合数（教师版）（人教版）

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第十一讲 质数与合数
1.质数与合数
一个数除了 l 和它本身，不再有别的约数，那么这个数叫做质数．比如 2，3，7，37，
…．一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，那么这个数是合数．比如 4，8，14，48，
…．特别的：1 既不是质数也不是合数．
１００以内的质数有２５个：２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、
２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、
８３、８９、９７　．
注意：两个质数中差为 1 的只有 3-2 ；除 2 外，任何两个质数的差都是偶数。
2.质因数与分解质因数（算术基本定理）
如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数．把一个合数用
质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．比如：把 42 分解质因数应该是
42=2×3×7，其中 2，3，7 是 42 的质因数．又如： ，其中 2 和 3 都是 54 的质
因数．
3.利用分解质因数求约数的个数
一般地，如果分解质因数有下列形式： 其中 都是质因数，
而 是指数，即对应 A 包含各个质因数的个数．
① 那么 A 的所有约数的个数为 比如： ，
那么 300 的所有约数共有(2+1)(1+1)(2+1)=18 个．
② 那么 A 的所有约数的和为
③N 的约数的和为：
(1+p1+p1
2+p1
3+.. .+p1
a1)×(1+p2+p2
2+p2
3+. . .. ..+p2
a2)
¿. .. . .×(1+pk+pk
2+.. .. . .+pk
ak)
4.质数，合数有下面常用的性质：
①1 不是质数，也不是合数；2 是惟一的偶质数．
② 若质数
p
│ab，则必有
p
│a 或
p
│b．
③ 若正整 a、b 的积是质数
p
，则必有 a=
p
或 b=
p
．
④ 算术基本定理：任意一个大于 l 的整数 N 能分解成 K 个质因数的乘积，若不考虑质因数
之间的顺序，则这种分解是惟一的，从而 N 可以写成标准分解形式：
N=p
1α1
p
2
α2⋯p
k
αk
其中
，
pi
为质数，
ai
为非负整数，(i＝1，2，…k)．
1.在有些问题的解决中适当地考虑到自然数的奇偶性和是否为质数或合数的特点，恰当地
应用这些特点可简便、快捷地解决问题。
2.能应用质数与合数的性质解题。
例1：在三位愉快的教士面前有一个画有 16 个方格的台面，上面放有 10 个硬币，每个硬币
占一个方格。教士们绞尽脑汁想用这 10 个硬币摆成尽可能多的硬币个数都是偶数的行。行
可以是横的，也可以是竖的，也可以是对角线。即图 1中的硬币如何重新布局才能排出尽
可能多的硬币个数是偶数的行。
分析：
要把 10 个硬币排到 4×4 的方格中，而且保证横行硬币个数为偶数个，则横行排列时每
行最多排 4个，最少排 2个。则横行排列的个数为 4，2，2，2。若要保证竖行硬币个数也
为偶数个，同理，按竖行排列的个数也应为 4，2，2，2。先把最多的横行和竖行硬币排列
出来。使一横行和一竖行排满 4个，则用去 7个硬币。然后将剩下的 3个硬币排入，因为
此时恰好有三个奇数的横行（或竖行）。
答案：
先排出最满的横行与竖行，再调整剩下的三个硬币的位置使之满足题意。可得结果如
图2所示。
例2：用五个奇数数码能否组成自然数 14。
分析：
我们知道奇数个奇数的和应是奇数，此题似乎无解。但仔细读题可以知道并非是五个
奇数，而是奇数数码。也就是说应该用偶数个奇数组成 14。若用两个奇数组成 14，则不能
出现五个奇数数码。则一定是由四个奇数组成自然数 14。那么其中一定有一个是两位数，
小于14 的两位数的奇数有 11 和13，由于13+l=14，不合题意。那么这 4个奇数中一定有一
个为 11，那么结果可知。
答案：
由5个奇数数码组成自然数 14，方法如下：
11+l+l+l=14
例3：有一个商人买进一些狗和兔子，其中兔子的对数正好是狗的只数的一半。商人买一
只狗花 2元钱，和他买一对兔子的价钱一样。他出售时各加价 10％。这个商人卖出了大部
分狗和兔子，最后剩下 7只。他发现卖得的钱正好和买进狗和兔子用掉的钱一样多。他赚
的钱也就是这剩下的 7只狗和兔子的售价。试问商人赚了多少钱？
分析：
由“兔子的对数正好是狗的只数的一半”可知，兔子的只数与狗的只数相等。设买进
的狗和兔子都是 x只，卖剩的 7只狗和兔子中有狗y只，兔子（7-y）只。那么卖出的狗数
为（x-y）只，卖出兔子[x-（7-y）]只。1只狗的售价为：2+2×10％=2.2（元），1只兔子的
售价：
1.1%10
2
2
2
2
（元）。由条件“他发现卖得的钱正好和买进狗和兔子用掉的钱
一样多”，可列出方程：2y+x=2.2（x-y）+1.1（x-7+y），那么 3x=3.3x-1.1y-7.7，整理得：
3x=11y+77。观察此方程解的特点：x，y都为整数，且 y值不大于 7。由于x是兔子的只数，
则x是偶数，因为兔子按对买入。由77 是奇数可知 3x 与11y 中必有一个为奇数，因为 x是
偶数，那么 3x 是偶数，11y 必为奇数，那么 y为奇数，y可能为 l、3或5。则可求出 x、y
的值，则题可解。
答案：
设商人买进的狗的只数与兔子的只数各为 x只。卖剩下的 7只动物中有 y只狗，则有
（7-y）只兔子。那么可知卖出的狗为（x-y）只，卖出的兔子为[x-（7-y）]只。买一只狗2
元，卖出2.2 元，买一只兔子 1元，卖出l.l 元。
2x+x=2.2（x-y）+l.1（x-7+y）
3x=11y+77
当y=1 时，
3
88
x
（不合题意）；当 y=3 时，
3
100
x
（不合题意）；当 y=5 时，
44
3
132 x
。
那么剩下的 7只动物中有 5只狗和2只兔子，由条件知他赚的钱也就是这 7只狗和兔
子的售价，为：2.2×5+1.1×2=13.2（元）。
答：商人赚了13.2（元）
例4：解答下列各题：
（1）7个相邻的奇数的和是 147，求这 7个数。
（2）三个相邻的偶数相乘，乘积是一个六位数 4□□□□8，请把中间的四个数字填出来。
分析：
（1） 相 邻的 奇 数 相 差 2， 若 第一 个 奇 数 为 a， 则 另外六个 数 依 次 为 ：
a+2，a+4，a+6，a+8，a+10，a+12。由和为 147，可求出这 7个数。
（2）因为已知的乘积是六位数，所以相邻的三个偶数都是两位数。而偶数的末位数字
只能是 0，2，4，6，8；相邻的三个偶数的末位只能是 0，2，4或2，4，6或4，6，8或
6，8，0或8，0，2这五种情形。由本题三个相邻偶数的乘积其末位数为 8，在上面的五种
情形中，只有 2×4×6 的末位数字为8，所以相邻的三个偶数的末位数字依次为2，4，6。为
确定十位上的数字，可以大致估计一下，70×70×70=343000，80×80×80=512000。因为本题
给出的乘积是一个六位数 4□□□□8，它在 343000 和5l2000 之间，则可以判断出这三个相邻
偶数的范围。
答案：
（1）☆解法一：设第一个奇数为 a，，则 7个奇数的和 a+（a+2）+（a+4）+（a+6）+
（a+8）+（a+10）+（a+12）=147，7a+42=147，a=15。
a+2=17，a+4=19，a+6=21，a+8=23，a+10=25，a+12=27。
☆解法二：这 7个数中排列于中间的数：147÷7=21，这是第四个奇数。
依次写出这 7个相邻的奇数是 15，17，19，21，23，25，27。
（2）这三个连续偶数的末位数是 2，4，6，而且这三个偶数在 70 与80 之间，则有：
72×74×76=404928。
则中间的四个数为 0492。
例5：求自然数中前 25 个奇数的和；并判断这个和是奇数还是偶数？
分析：
先确定第25 个奇数的数值，可利用数列求和的知识求出这 25 个数的和。25 个奇数的
和即为奇数个奇数求和，由加法运算中奇、偶数的规律可判断。
答案：第25 个奇数为 25×2-l=49
依题意，就是要求计算：
1+3+5+…+49=（1+49）×25÷2
=625
奇数个奇数的和为奇数，则 25 个奇数的和是奇数。
答：自然数中前 25 个奇数的和是 625，这个和是奇数。
例6：求 270 的约数个数。
分析：
先对 270 分解质因数，再把 270 的质因数作各种乘积的组合，算出每种组合的个数，
然后再求和。
答案：270=2×3×3×3×5
（1）一个质因数构成的约数有：2，3，5，共 3个；
（2）两个质因数构成的约数有：2×3，2×5，3×5，3×3，共 4个；
（3）三个质因数构成的约数有：2×3×3，3×3×3，3×3×5，共 3个；
（4）四个质因数构成的约数有：2×3×3×3，3×3×3×5，共 2个；
（5）270 本身和自然数 1，共 2个。
合计共有约数：3+4+3+2+2=14（个）
答 ： 270 的约数共有 14 个，分别是
1、2、3、5、6、10、15、9、18、27、45、54、135、270。
例7：求合数 2730 的约数中，其中最小的三位数约数是多少？
分析：
可从最小的三位数 100 起依次分析 100，101，102，…是否为 2730 的约数。
也可先求出 2730 的三位数的约数，再找出其中最小的一个。
答案：
☆解法一：2730=2×3×5×7×13 因为
22
52100
100 的约数中有 2个5和2个2。而 2730 的约数中只有 1个2和1个5。因此，100 不
是2730 的约数。101 是质数，且不能被2730 整除，所以 101 不是 2730 的约数。101 是质
数，且不能被2730 整除，所以 101 不是 2730 的约数。102=2×3×17，103、104 不能被2730
整除，所以 102、103、104 不是 2730 的约数中最小的三位数约数。
☆解法 二 ： 因 为 2730=2×3×5×7×13 ，故2730 的 三 位 数 约 数 为
3×5×7=105，3×5×13=195，5×7×13=455，2×3×5×7=210，2×3×5×13=390。容易看出，其中
105 是最小的，所以 105 是2730 的最小的三位数约数。
A
1.已知三个不同的质数 a，b，c满足 abbc+a=2000，那么 a十b十c=．
答案：42
2.不超过 100 的所有质数的乘积减去不超过 60 且个位数字为7的所有质数的乘积所得之差
的个位数字是()．
A．3B．1C．7D．9
答案：D
3.求这样的质数，当它加上10 和14 时，仍为质数．
答案：3
4.(1)将l，2，…，2004 这2004 个数随意排成一行，得到一个数 N．求证：N一定是合数；
(2)若n是大于 2的正整数，求证：2n一1与2n+1 中至多有一个是质数．
分析与解： (1)将1到2004 随意排成一行的数有很多，不可能一一排出，不妨能找出无论
怎样排．所得数都有非 1和本身的约数；(2)只需说明2n一1与2n+1 中必有一个是合数，不
能同为质数即可．
5.用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为xcm 规格的地砖，恰用 n块；
若选田边长为ycm 规格的地砖，则要比前一种刚好多用 124 块．已知x，y、n都是正整数．
且(x，y)＝1．试问这块地有多少平方米?
分析与解：
B
6.由超级计算机运算得到的结果 2859433—1 是一个质数，则 2859433+1 是()
A．质数 B．合数 C奇合数 D．偶合数
分析与解：∵ 2859433—1，2859433 ，2859433+1 是三个连续正整数，∵2859433—1 的末位数字是
1，∴2859433 是偶合数．∵上述三个数中一定有一个能被3整除，而 2859433—1 是质数，
∴2859433+1 的末位数字是奇数且能被3整除，故2859433+1 是奇合数，故选 C．
注：同学们，你们知道什么是“哥德巴赫猜想”吗?二百多年前，德国数学家哥德巴赫发
现：任一个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数之和．如 6=3+3，12=5+7 等．对许多偶
数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一
个反例．到目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的“1+2”，即任一充分大的偶数，都
可表示成一个质数加上一个质数或两个质数的积，这一结论被命名为“陈氏定理”．
7.用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为x(㎝)规格的地砖，恰用 n块；
若选用边长为了 y(cm)规格的地砖，则要比前一种刚好多用 124 块．已知x，、y、n都是正
整数，且(x，y)=1．试问：这块地有多少平方米?
分析与解：设这块地的面积为 S，则 S=nx2=(n+124)y2，得 n(x2—y2)=124y2．
 x>y∵，(x，y)=1，∴．(x2－y2，y2)=l，得(x2－y2)│124．
 124=2∵2×31，x2－y2=(x 十y)(x－y)，x十y>x－y，且 x十y与x－y奇偶性相同，
{
x+y=31
x−y=1
或
{
x+y=2×31
x−y=2
解之得 x=16，y=15，此时 n=900．
故这块地的面积为 S=nx2=900×162=230400(cm2)=23．04(m2)．
注：虽然同—块地有不同的铺法，但是这块地的面积不变，利用面积不变建立 x、y、n
的等式，寻找解题的突破口．
8.p 是质数，p4+3 仍是质数，求 p5+3 的值．
分析与解：∵ p是质数，∴p4+3>3
又p4+3 为质数，∴p4+3 必为奇数，∴p4必为偶数，∴p必为偶数．
又∵p是质数，∴p=2，
 p∴5+3=25+3=35．
9.已知正整数 p和q都是质数，且 7p+q 与pq+11 也都是质数，试求pq+qp的值．
分析与解： pq+11＞11 且pq+11 是质数，∴pq+11 必为正奇质数，pq 为偶数，而数 p、q
均为质数，故p=2 或q=2．
当p=2 时，有 14+q 与2q+11 均为质数．当 q=3k+1(k≥2)时，则 14+q=3(k+5)不是质数；
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