六年级数学上册第10讲：进制与进位（教师版）（人教版）

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第十讲进制与进位

我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法

外，还有其他的大于 1 的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用

两个数字 0 和 1。二进制的计数单位分别是 1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展

开式的形式，例如 100110 在二进制中表示为：

(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，

零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数 n,我们有 n0=1。

n 进制：n 进制的运算法则是“逢 n 进一，借一当 n”，n 进制的四则混合运算和十进制一

样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

进制间的转换：如右图所示。

1.掌握进制之间的转换方法。

2.能用进制互化的方法解题。

例 1:① ________；

② ；

③ ；

④ ________；

⑤ 若，则 ________．

分析与解：① 对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化

成相应的进制：；

② 可转化成十进制来计算：

；

如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对进行除法计算，只是每次

借位都是 2，可得；

③ 本题涉及到 3 个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制比较适宜：

；

④ 十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的

这种方

法叫“凑整法”，在进制中也有“凑整法”，要凑的就是整．

原式

；

⑤ 若，则，经试验可得．

例 2:在几进制中有？

分析与解：利用尾数分析来解决这个问题：

由于，由于式中为 100，尾数为 0，也就是说已经将 12 全部进到上一位．

所以说进位制为 12 的约数，也就是 12，6，4，3，2 中的一个．

但是式子中出现了 4，所以要比 4 大，不可能是 4，3，2 进制．

另外，由于，因为，也就是说不到 10 就已经进位，才能是

100，于是知道，那么不能是 12．

所以，只能是 6．

例 3:将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？

分析与解：根据二进制与十进制之间的转化方法， (11010.11)2

=1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75。

例 4:现有 1 克，2 克，4 克，8 克，16 克的砝码各 1 枚，在天平上能称多少种不同重量的物

体？

分析与解：因为砝码的克数恰好是 1，2，4，8，16，而二进位制数从右往左数各位数字分

别表示：1，2，22=4，23=8，24=16，在砝码盘上放 1 克砝码认为是二进位制数第一位(从

右数)是 1，放 2 克砝码认为是二进位制数第二位是 1，……，放 16 克砝码认为是二进位制

数第五位是 1，不放砝码就认为相应位数是零，这样所表示的数中最小的是 1，最大的是

(11111)2=24+23＋22＋21＋20=(31)10，这就是说 1 至 31 的每个整数(克)均能称出。所以

共可以称出 31 种不同重量的物体。

例 5:在 6 进制中有三位数，化为 9 进制为，求这个三位数在十进制中为多少?

分析与解： (abc)6 =a×62＋b×6+c=36a+6b+c；(cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a；所以

36a+6b+c=81c+9b+a；于是 35a=3b+80c；因为 35a 是 5 的倍数，80c 也是 5 的倍数．所以 3b

也必须是 5 的倍数，又(3，5)=1．所以，b=0 或5．

① 当 b=0，则 35a=80c；则 7a=16c；(7，16)=1，并且 a、c≠0，所以 a=16，c=7。但是在

6,9 进制，不可以有一个数字为 16．

② 当 b=5，则 35a=3×5+80c；则 7a=3+16c；mod 7 后，3+2c≡0。所以 c=2 或者 2+7k(k为

整数)．因为有 6 进制，所以不可能有 9 或者 9 以上的数，于是 c=2；35a=15+80×2，a=5。

所以(abc)6 =(552)6 =5×62+5×6+2=212。这个三位数在十进制中为 212。

例 6:试求(2 -1)除以 992 的余数是多少?

分析与解：我们通过左式的短除法，或者直接运用通过 2 次幂来表达为 2 进制：

(992) =(1111100000)2，(2 -1)2= 我们知道在 2 进制中一定

能整除 (1111100000)2，于是我们注意到，

所以 = 因为能整除(1111100000)2，

所以余数为(111111)2=2 +24+23+22+21+1=63，所以原式的余数为 63。

例 7:已知正整数的八进制表示为，那么在十进制下，除以 7 的余

数与除以 9 的余数之和是多少？

分析与解：与十进制相类似，有：．

根据 8 进制的弃7 法，被7 除的余数等于其各位数字之和，为 6，而除以 7

的余数为 1，所以的平方被7 除余1，即除以 7 的余数为 1；

另外，，显然能被整除，所以其平方也能被整除，即

除以 9 的余数为 0．

因此两个余数之和为．

1.① ；

② 在八进制中， ________；

③ 在九进制中， ________．

分析与解：①本题是进制的直接转化：；

② 原式；

③ 原式．

2.在几进制中有？

分析与解：注意，因为，所以一定是不到 10 就已经

进位，才能得到 16324，所以．

再注意尾数分析，，而 16324 的末位为 4，于是进到上一位．

所以说进位制为 21 的约数，又小于 10，也就是可能为 7 或3．

因为出现了 6，所以只能是 7．

3.二进制数 10101011110011010101101 转化为 8 进制数是多少？

分析与解：根据二进制与八进制之间的转化方法推导出二八对照表：

八进制数 0 1 2 3 4 5 6 7

二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111

从后往前取三合一进行求解，可以得知(10101011110011010101101)2=(25363255)8。

4.算式是几进制数的乘法？

分析与解：注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为，但是现在为

4，说明进走，所以进位制为 16 的约数，可能为 16、8、4 或2．

因为原式中有数字 5，所以不可能为 4、2 进位，而在十进制中有，

所以在原式中不到 10 就有进位，即进位制小于 10，于是原式为 8 进制．

5.将二进制数 11101001.1011 转换为十六进制数。

分析与解：在转换为高于 9 进制的数时，遇到大于 9 的数用字母代替，如：A 代表 10、B 代

表 11、C 代表 12、D 代表 13……。根据取四合一法，二进制 11101001.1011 转换为十六进

制为 E9.B。

6.某数在三进制中为 12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第 l位

数字是几?

分析与解：由于 32=9，所以由三进制化为 9 进制需要取二合一。从后两个两个的取，取至

最前边为 12，用位值原理将其化为 1×31+2×30=5，所以化为 9 进制数后第一位为 5.

7.在 7 进制中有三位数，化为 9 进制为，求这个三位数在十进制中为多少？

分析与解：首先还原为十进制：

；．

于是；得到，即．

因为是 8 的倍数，也是 8 的倍数，所以也应该是 8 的倍数，于是或8．

但是在 7 进制下，不可能有 8 这个数字．于是，，则．

所以为 5 的倍数，为 3 的倍数．

所以，或5，但是，首位不可以是 0，于是，；

所以．

于是，这个三位数在十进制中为 248．

8.一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末尾添个“0”就是三进制数，

求此人的年龄．

分析与解：①设这个人为岁，得，又，解得，

不合题意，所以这个人的年龄不可能是一位数．

②设这个人是岁，由题意得：．

因为，所以即．

又因为是三进制数，，都小于 3，所以，．所以，这个人为 21 岁．

③设这个人为岁，由题意有，，因为，

，所以．即

．又、、都小于 3，所以上述等式不成立．所以这个人的年龄不可能是三

位数．

综上可知这个人的年龄是 21 岁．

9.N是整数，它的 b 进制表示是 777，求最小的正整数 b，使得N是十进制整数的四次方．

分析与解：设b 是所求的最小正整数，，因为质数 7 能整除

，所以也能整除 x，不妨设，m是大于 0 的自然数。则：

，化简得：，易知，b 的值随 m 的增大而增大，当 m=1

时，b=18。

10.计算除以 26 的余数．

分析与解：题中有 3 的次幂，令人联想到将题中的数转化成 3 进制下的数再进行计算．

，而，

所以，．

由于整除，，所以余．

所以除以 26 的余数为 8．

11.计算除以 7 的余数．

分析与解：由于除以 7 余1，而，所以除以 7 的余数为

．

本题也可以转化为 2 进制进行计算：，，

所以．

而，所以余．

所以除以 7 的余数为 3．

12.在 8 进制中，一个多位数的数字和为十进制中的 68，求除以 7 的余数为多少？

分析与解：类似于十进制中的“弃九法”，8 进制中也有“弃7 法”，也就是说 8 进制中一

个数除以 7 的余数等于这个数的各位数字之和除以 7 的余数．

本题中，这个数的各位数字之和在十进制中为 68，而 68 除以 7 的余数为 5，所以这个数除

以 7 的余数也为 5．

13.现有 1 斤、2 斤、4 斤、8 斤、16 斤的白糖各一袋，白糖整袋地卖，问顾客可买的斤数

有多少种？

分析与解：

很显然的这些数组合可以构成到之间的任何一个数，化为十进制即 1 到 31

之间的数都可以构成。所以顾客可以买的斤数有 31 种。

14.求证：能被7 整除.

分析与解：因为

而

很容易看出来：

所以能被7 整除

15.一个自然数的六进制与九进制均为三位数, 并且它们各位数字的排列顺序恰好相反, 请

问这个自然数是几?

分析与解：设这个数的六进制为 , 则这个数的九进制为。

那么有

即

只能取0, 1, 2, 3, 4, 5. 等式左边能被5 整除.

经过试验，只可能是 ,

所以这个数六进制是 552,九进制是 552，化成十进制是 212

ABC

CBA

2 2

6 6 9 9A B C C B A        

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