六年级数学上册 第9讲：整除和位值原理（教师版）（人教版）

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第九讲 整除和位值原理
整除问题
整除是我们很早接触的一个概念，对于它的性质我们也比较熟悉，不过它在题目表现
出来的很大的灵活性和很强的技巧性，仍然是值得我们不断学习和思考的．下面我们先回
顾一下相关知识：
1.整除的概念
a，b，c 为整数，且 ，如果 a÷b=c，即整数 a 除以整数 b，得到的商是整数 c 且
没有余数，那么称作 n 能被 b 整除，或者是说 b 能整除 a，记作 ；否则，称为 a 不能被
b 整除，或是说 b 不能整除 n．如果整数 a 能够被整数 b 整除，则 a 叫做 b 的倍数，b 叫做 a
的约数．
2.整除的基本性质
① 如果 a，b 都能够被 c 整除，那么它们的和与差也能够被 c 整除．即：如果 ，那
么
② 如果 b 与 c 的积能整除 a，那么 b 与 c 都能整除 a．即：如果 ，那么
③ 如果 c 能整除 b，b 能整除 a，那么 c 能整除 a．即：如果
④ 如果 b，c 都能够整除，且 b 与 c 互质，那么 b 与 c 的乘积能整除 a．即：
3.数的整除特征
① 能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0，2，4，6，8；
② 能被 3(或 9)整除的数的特征：各位的数字之和能够被 3(或 9)整除；
③ 能被 4(或 25)整除的数的特征：末两位数能够被 4(或 25)整除；
④ 能被 5 整除的数的特征：个位数字是 0 或 5；
⑤ 能被 7(或 11、13)整除的数的特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数
之⑥差能够被 7(或 1、11、13)整除；
⑦ 能被 8(或 125)整除的数的特征：末三位数能够被 8(或 125)整除；
⑧ 能被 11 整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能够被 11 整
除．
4.位值原理
同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一
个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“5”，写在个位上，就表示 5 个一；
写在十位上，就表示 5 个十；写在百位上，就表示 5 个百；等等。这种把数字和数位结合
起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
　　用阿拉伯数字和位值原理，可以表示出一切整数。例如，926 表示 9 个百，2 个十，6
个一，即 926=9×100+2×10+6。根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示
数，如： 表示 a 个百，b 个十，c 个一。
其中 a 可以是 1～9 中的数码，但不能是 0，b 和 c 是 0～9 中的数码。
5.位值原理的表达形式
以三位数为例：
上面的横线表示这是用位值原理表示的一个数，用以区别
1.理解整除的概念，会用整除的性质解决有关问题。
2.理解位值原理的含义，能区分位值原理与字母乘法的区别。
3.掌握整除的性质，并熟练应用被 2、3、4、5、8、9、11 整除的数的特征。
例1：证明：当 时， 必是 9的倍数。
分析： 与 的数字顺序恰好相反，我们称 与 互为反序数，互为反序数的两
个数之差必能被 9整除。
例 2：有一个两位数，把数码 1 加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以
得到一个三位数，这两个三位数相差 666。求原来的两位数。
分析与解：由位值原则知道，把数码 1 加在一个两位数前面，等于加了 100；把数码 1 加在
一个两位数后面，等于这个两位数乘以 10 后再加 1。
　　设这个两位数为 x。由题意得到
　　（10x+1）-（100+x）=666，
　　10x+1-100-x=666，
　　10x-x=666-1+100，
　　 9x=765，
　　x=85。
　　原来的两位数是 85。
　
例 3： a，b，c 是 1～9 中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之
和是（a+b+c）的多少倍？
分析与解：用 a，b，c 组成的六个不同数字是
这六个数的和等于将六个数的百位、十位、个位分别相加，得到
　　所以，六个数的和是（a+b+c）的 222 倍。
例 4：用 2，8，7 三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值
是多少？
分析与解：由例 3 知，可以组成的六个三位数之和是（2+8+7）×222，
　　所以平均值是（2+8+7）×222÷6=629。
例 5：一个两位数，各位数字的和的 5 倍比原数大 6，求这个两位数。
分析与解：设这两个数为 ，则有
　　（a+b）×5-（10a+b）=6，
　　5a+5b-10a-b=6，
　　4b-5a=6。
　　当 b=4，a=2 或 b=9，a=6 时，4b-5a=6 成立，所以这个两位数是 24 或 69。
例 6：将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好
等于原来的三位数，求原来的三位数。
分析与解：设原来的三位数的三个数字分别是 a，b，c。若
　　由上式知，所求三位数是 99 的倍数，可能值为
198，297，396，495，594，693，792，891。经验证，只有 495 符合题意，即原来的三位
数是 495。
A
1.一个自然数与 13 的和是 5 的倍数，与 13 的差是 6 的倍数，则满足条件的最小自然数是
．
答案：37
2.有三个正整数 a、b、c 其中 a 与 b 互质且 b 与 c 也互质，给出下面四个判断：①(a+c)2不
能被 b 整除，② a2+c2不能被 b 整除：③(a+b)2不能被 c 整除；④ a2+b2不能被 c 整除，其中，
不正确的判断有( )．
A．4 个 B．3 个 C 2 个 D．1 个
答案：A
3.已知 7 位数
1287 xy 6
是 72 的倍数，求出所有的符合条件的 7 位数．
答案：符合条件的 7 位数是：1287216，1287936，1287576
4.(1)一个自然数 N被 10 除余 9，被 9 除余 8，被 8 除余 7，被 7 除余 6，被 6 除余 5，被 5
除余 4，被 3 除余 2，被 2 除余 1，则 N的最小值是 ．
(北京市竞赛题)
(2)若 1059、1417、2312 分别被自然数 x 除时，所得的余数都是 y，则 x—y 的值等于(
)．
A．15 B．1 C．164 D．174
(“五羊杯”竞赛题)
(3)设 N=
11⋯1
⏟
1990 个
，试问N被 7 除余几?并证明你的结论． (安徽省竞赛题)
答案：
5.盒中原有 7 个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成了 7 个小球，将其
放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了 7 个小球后放回盒中，如
此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是( )
A．1990 个 B．1991 个 C 1992 个 D．1993 个
答案：D
B
6.在 100 以内同时被 2、3、5 整除的正整数有多少个?
答案：30、60、90 三个．
7.某商场向顾客发放 9999 张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001 到
9999 号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券” ．
证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被 101 整除．
答案：显然，号码为 9999 是幸运券，除这张外，如果某个号码 n 是幸运券，那么号 m=9999
—n 也是幸运券，由于 9 是奇数，所以 m≠n．由于 m+n=9999 相加时不出现进位，这就是说，
除去号码 9999 这张幸运券外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均
为 9999，即所有幸运券号码之和是 9999 的整倍数，而101│9999，故知所有幸运券号码之
和也能被 101 整除
思考：“如果某个号码 n 是幸运券，那么号 m=9999—n 也是幸运券”，这是解决问题的
关键，请你考虑这句话合理性．
若六位数
81 ab 93
是 99 的倍数，求整数 a、b 的值．
∵
能被 9 整除，∴8+1+a+b+9+3=21+a+b 能被 9 整除，得 3+a+b=9kl(k1为整数)．
①
又
81 ab 93
能被 11 整除，∴8—1+a—b+9—3=13+a—b 能被 11 整除，得 2+a—b=11k2(k2
为整数)． ②
∵ 0≤a，b≤9 ∴ 0≤a+b≤18，－9≤a－b≤9．
由①、②两式，得 3≤<9k1≤21，－7≤11k2≤1l，
知 k1=1，或 k1=2；k2=0，或，而3+a+b 与 2+a—b 的奇偶性相异，而 k1=2，k2=1 不符合
题意．
故把k1=1，k2=0 代人①、②两式，解方程组可求得 a=2，b=4．
8.写出都是合数的 13 个连续自然数．
答案：方法一：直接寻找
从2开始，在自然数 2，3，4，5，6，…中把质数全部划去，若划去的两个质数之间
的自然数个数不小于 13 个，则从中取13 个连续的自然数，就是符合要求的一组解，例如：
自然数 114，115，116，…，126 就是符合题意的一组解．
方法二：构造法
我们知道，若一个自然数 a 是 2 的倍数，则 a+2 也是 2 的倍数，若是 3 的倍数，则 a+3
也是 3 的倍数，…，若 a 是 14 的倍数，则 a+14 也母 14 的倍数，所以只要取a 为 2，3，
…，14 的倍数，则 a+2，a+3，…a+14 分别为 2，3，…，14 的倍数，从而它们是 13 个连续
的自然．
所以，取a=2×3×4×…×14，则 a+2，a+3，…，a+14 必为 13 个都是合数的连续的自
然数．
9.已知定由“若大于 3 的三个质数 a、b、c 满足关系式 20+5b=c，则 a+b+c 是整数 n 的倍
数”．试问：这个定理中的整数 n 的最大可能值是多少?请证明你的结论．
答案：先将 a+b+c 化为 3(a+2b)的形式，说明 a+b+c 是 3 的倍数，然后利用整除的性质对
a、b 被 3 整除后的余数加以讨论得出 a+2b 也为 3 的倍数．
∵ a+b+2a+5b=3(a+2b)，
显然，3│a+b+c
若设 a、b 被 3 整除后的余数分别为 ra、rb，则 ra≠0， rb ≠0．
若 ra≠rb，则 ra=2，rb=1 或 ra=1，rb=2，则 2a+5b =2(3m+2)+5(3n+1)=3(2m+5n+3)，或
者 2a+5b=2(3p+1)+5(3q+2)；3(2P+59+4)，即 2a+5b 为合数与已知 c 为质数矛盾．
∴ 只有ra=rb，则 ra=rb=1 或 ra=rb=2．
于是 a+2b 必是 3 的倍数，从而 a+b+c 是 9 的倍数．
又2a+5b=2×11 十 5×5=47 时，
a+b+c=11+5+47=63，
2a+5b =2×13 十 5×7=61 时，
a+b+c =13+7+61=81，
而(63，81)=9，故9 为最大可能值．
10.一个正整数 N的各位数字不全相等，如果将 N的各位数字重新排列，必可得到一个最大
数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数 N，则称 N为“新生数”，试
求所有的三位“新生数”．
答案：将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大数、最小数，求差后分析求出所有
三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定．
11.设 N是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为 a、b、c (a、b、c 不全相等)，将
其各位数字重新排列后，连同原数共得 6 个三位数：
abc , acb , bac , bca , cab , cba
，不妨设
其 中 的 最 大 数 为
abc
， 则 最 小数 为
cba
． 由 “ 新 生数 ” 的 定义 ， 得 N=
abc
—
cba
=(100a+l0b+c)一(100c+l0b+d)=99(a—c)．
答 案 ：由上式知 N为 99 的整数倍，这样的三位数可能为：
198，297，396，495，594，693，792，891，990．这九个数中，只有 954－459=495 符合
条件，故495 是唯一的三位‘新生数”．
C
12.从左向右将编号为 1 至2002 号的 2002 个同学排成一行，从左向右从 1 到 11 报数，报到
11 的同学原地不动，其余同学出列；然后，留下的同学再从左向右从 1 到 11 报数，报到
11 的同学留下，其余同学出列；留下的同学再从左向左从 1 到 11 地报数，报到 11 的同学
留下，其余同学出列．问最后留下的同学有多少?他们的编号是几号?
答案：由题意，第一次报数后留下的同学，他们的编号必为 11 的倍数；第二次报数后留下
的同学，他们的编号必为 112=121 的倍数；第三次报数后留下的同学，他们的编号必为
113=1331 的倍数．
因此，最后留下的同学编号为 1331 的倍数，我们知道从1~2002 中，1331 的倍数只有
一个，即 1331 号，所以，最后留下一位同学，其编号为 1331．
13.在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数
abc 、bac 、bca 、cab 、cba
的和 N，把 N
告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数
abc
．现在设 N=3194，请你做魔术师，
求出数
abc
来．
答案：将
abc
也加到和 N上，这样a、b、c 就在每一位上都恰好出现两次，所以有
abc
+N=222(a+b+c)
从而 3194<222(a+b+c) <3194+1000，而a、b、c 是整数．
所以 15≤<a 十 b 十 c≤18．
因为 222×15—3194=136 ， 222×16—3194=358 ， 222×17-3194=580 ， 222×18-
3194=802，
其中只有 3+5+8=16 能满足①式，所以
abc
=358．
14.某公园门票价格对达到一定人数的团队按团队票优惠．现有 A、B、C三个旅游团共 72
人，如果各团单独购票，门票费依次为 360 元、384 元、480 元；如果三个团合起来购票，
总共可少花72 元．
(1)这三个旅游团各有多少人?
(2)在下面填写一种票价方案，使其与上述购票情况相符．
答案：(1)360+384+480－72=1152(元)，
1152÷72=16(元／人)，即团体票是每人16 元．
因为 16 不能整除 360，所以 A 团未达到优惠人数．
若三个团都未达到优惠人数，则三个团的人数比为 360：384：480=15：16：20，即三
个团的人数分别为
15
51 ×72,16
51 ×72 ,20
51 ×72
，这都不是整数(只要指出其中某一个不是整数
即可)，不可能．所以 B、C两团至少有一个团本来就已达到优惠人数．
这有三种可能：①只有C 团达到；②只有B 团达到；③ B、C两团都达到．
售 票 处
普通票 团体票(须满
人)
每人
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