六年级数学上册第8讲：列方程解应用题二（教师版）（人教版）

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第八讲列方程解应用题（二）

列方程解应用题的主要步骤

1.审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密

数量关系；

2.用字母来表示关键量，用含字母的代数式来表示题目中的其他量；

3.找到题目中的等量关系，建立方程；

4.解方程；

5.通过求到的关键量求得题目最终答案．

解二元一次方程（多元一次方程）

1.消元目的：即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程．

2.消元方法：主要有代入消元和加减消元．

1.会解各种方程及方程组，熟练掌握各种解方程的解法

2.根据题意寻找等量关系的方法来构建方程及方程组

3.合理规划等量关系，设未知数、列方程（组）。

例 1：有一个五位数，在它后面写上一个 7，得到一个六位数；在它前面写上一个 7，也得

到一个六位数．如果第二个六位数是第一个六位数的 5倍，那么这个五位数是

．

分析：设五位数是

，那么第一个六位数是，第二个六位数是．依题意

列方程，解得．

例 2：松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采个，雨天每天可以采个，它一连几天采了

个松子，平均每天采个，问这几天当中有几天是下雨天？

分析：根据题意，松鼠妈妈采的松子有晴天采的，也有雨天采的，总的采集数可以求得，

采集天数也确定，因此可列方程组来求解．

　　　　设晴天有天，雨天有天，则可列得方程组：

　　　　化简为 …………

　　　　用加减法消元：得：

　　　　解得 .所以其中天下雨.

例 3：把金放在水里称，其重量减轻；把银放在水里称，其重量减轻．现有一块金

银合金重克，放在水里称共减轻了克，问这块合金含金、银各多少克？

分析：设 770 克合金中金有克，则银有克，根据题意，有：

，解得，

即这块合金中金有 570 克，银有克．

例 4：口袋中有若干红色和白色的球．若取走一个红球，则口袋中的红球占；若取出的

不是一个红球而是两个白球，则口袋中的白球占 .原来口袋中白球比红球多多少个？

分析：设原来红球数为，白球数为，那么根据题目条件有以下数量关系：

　　　　方程组解得，

　　　　原来口袋中白球比红球多个．

例 5：张老师购买了一套教师住宅，原计划采取分期付款方式．一种付款方式是开始第一

年先付 7万元，以后每年付款 1万元；另一种付款方式是前一半时间每年付款 2万元，

后一半时间，每年付款 1万5千元．两种付款方式的付款总数和付款时间都相同．假

如一次性付款，可以少付房款 1万6千元．现在张老师决定采用一次性付款方式．问：

张老师要付房款多少万元？

分析：设分期付款方式的付款时间为年，则：

．

将的值代入方程的右式 ( 也可代入左式 ) ，可知分期付款的付款总数为

(万元)．所以，一次性付款的总数为 (万元)．

例 6：姐姐现在的年龄是弟弟当年年龄的倍，姐姐当年的年龄和弟弟现在的年龄相同，姐

姐与弟弟现在的年龄和为岁，则弟弟现在的年龄是多少岁？

分析：设弟弟现在的年龄是岁，那么姐姐的年龄为岁，年龄差为，

弟弟当年年龄为岁，

由题意可列方程，解得

所以，弟弟现在的年龄是岁。

1.用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计 32 块，缝制成一个足球，如图

所示，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间地与 3个黑色皮块及 3个白

色皮块相邻接．问：这个足球上共有多少块白色皮块？

分析：设这个足球上共有

块白色皮块，则共有 3

条边是黑白皮块共有的．另一方面，黑

色皮块有块，共有条边是黑白皮块共有的（如图）．由于在这个足球上黑

白皮块共有的边是个定值，列得方程：，解得．即这个足球上共有 20

块白色皮块．

2.某八位数形如，它与 3的乘积形如，则七位数应是．

分析：设，则，，，即七

位数应是 8571428

3.有三个连续的整数，已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是

68，求这三个连续整数.

分析：设最小的那个数为，那么中间的数和最大的数分别为和．则

，．所以这三个连续整数依次为 10、11、12．

4.小军原有故事书的本数是小力的3倍，小军又买来 7本书，小力买来 6本书后，小军所

有的书是小力的2倍，两人原来各有多少本书？

分析：设小力原有故事书

本，则小军原有故事书 3

本。小力原有故事书 5本，小军原有

故事书 15 本．

5.一群学生进行篮球投篮测验，每人投 10 次，按每人进球数统计的部分情况如下表：

进球数 0 1 2 …… 8 9 10

人数7 5 4 …… 3 4 1

还知道至少投进 3个球的人平均投进 6个球，投进不到 8个球的人平均投进 3个球．问：

共有多少人参加测验？

分析：设有人参加测验．

由上表看出，至少投进个球的有人，投进不到个球的有人．

投中的总球数，既等于进球数不到 3 个的人的进球数加上至少投进 3 个球的人的进球数，

为；

也等于进球数不到 8个的人的进球数加上至少投进 8 个球的人的进球数，

为；

由此可得方程：，解得．

故共有人参加测验．

6.甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的

重量，需另付行李费，三人共付 4 元，而三人行李共重 150 千克．如果一个人带 150 千克

的行李，除免费部分外，应另付行李费 8 元．求每人可免费携带的行李重量．

分析：设每人可免费携带千克行李．一方面，三人可免费携带千克行李，三人携带

150 千克行李超重千克，超重行李共付 4 元行李费；另一方面，一人携带 150 千

克行李超重千克，超重行李需付行李费 8 元．根据超重行李每千克应付的钱数相

同，可列方程：

，．所以每人可免费携带的行李重量为 30 千克．

7.某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30 元，成人票的价格

为40 元，如果是团体还可以买平均 32 元一位的团体票，一个由 8个家庭组成的旅游团(每

个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成)来景点旅游，如果他们买团体票那么可以

比他们各自买票少花120 元，问这个旅游团一共有多少人？

分析：设八个家庭中有个是三口之家，是个两口之家，则

，所以旅游团一共有

人。

8.有一队伍以 1.4 米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以 2.6 米/秒

的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了 10 分 50 秒。问：队伍有多长？

分析：这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行

路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。如

果设通讯员从末尾到排头用了秒，那么通讯员从排头返回排尾用了秒，于是不

难列方程。

设通讯员从末尾赶到排头用了秒，依题意得，，

解得推知队伍长为（米）。

9.有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的2倍时；丙是22 岁，当乙的年龄是丙的2倍，

甲是31 岁；当甲60 岁时，丙是多少岁?

分析：设丙岁时，乙的年龄是岁，当时甲的年龄就是岁，甲乙的年龄差为岁．

那么甲是 3l岁时，乙是岁，丙是岁，

列方程得，，解得，

所以乙25 岁时，甲50 岁，丙22 岁．那么甲60 岁时，丙32 岁．

10.金银合金的重量是克，放在水中称重时，重量减轻了克，已知金在水中称重量

减轻，银在水中称重量减轻，求这块合金中金、银各含多少克？

分析：设克合金中，金有克，则银有克；依题意：

，解得，

所以这块合金中金有克，银有克．

11.从前有一位王子，有一天，他把几位妹妹召集起来，出了一道数学题考她们．题目是：

我有金、银两个首饰箱，箱内分别装有若干件首饰，如果把金箱中

的首饰送给第一个算对这个题目的人，把银箱中的首饰送

给第二个算对这个题目的人，然后我再从金箱中拿出件送给第三个算对这个题

目的，再从银箱中拿出件送给第四个算对这个题目的人．最后我的金箱中剩下

的首饰比分掉的多件，银箱中剩下的首饰与分掉的比是．王子的金箱中原来有首饰___

_____件，银箱中原来有首饰________件．

分析：设原来金箱中有首饰件，银箱中有首饰件，则：，，解得

，，故金箱中原来有首饰件，银箱中原来有首饰件．

12.运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，

乙车比丙车每箱少5个苹果，甲车比乙车总共多 3个苹果，乙车比丙车总共多 5个苹果，

这三车苹果共有多少个？

分析：设乙车运来箱，每箱装个苹果，根据题意列表如下：

车别甲乙丙

箱数

每箱苹果数

根据上表可列出如下方程：

，化简为

⑴ ⑵，得：，于是．

将代入⑴或⑵，可得：．

所以甲车运 19 箱，每箱12 个；乙车运 15 箱，每箱15 个；丙车运 11 箱，每箱20 个．三车

苹果的总数是： (个)．

13.有大、中、小三种包装的筷子盒，它们分别装有双、双、双筷子，一共装有

双筷子，其中小盒数是中盒数的倍．问：三种盒各有多少盒？

分析：设中盒数为，大盒数为，那么小盒数为，根据题目条件有两个等量关系：

　　　　该方程组解得，所以大盒有9个，中盒有 6 个，小盒有 12 个.

14.甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个配件与一个配件组成．甲每天生产 300

个配件，或生产 150 个配件；乙每天生产 120 个配件，或生产 48个配件．为了在

10 天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？

分析：假设甲、乙分别有天和天在生产配件，则他们生产配件所

用的时间分别为天和天，那么 10 天内共生产了配件

个，共生产了配件个．

要将它们配成套，配件与配件的数量应相等，即，得

到，则．

此时生产的产品的套数为，要使生产的产

品最多，就要使得最大，而最大为 10，所以最多能生产出套产品．

15.米老鼠从到，唐老鸭从到，米老鼠与唐老鸭行走速度之比是，如下图所

示．

是、的中点，离点 26 千米的点有一个魔鬼，谁从它处经过就要减速25%，离

点4千米的点有一个仙人，谁从它处经过就能加速25%．现在米老鼠与唐老鸭同时出

发，同时到达，那么与之间的距离是千米．

分析：设，米老鼠的行走速度为，则唐老鸭的行走速度为 ( )，如

下图，则有米老鼠从到需要时间

，

唐老鸭从到需要时间

．

因为米老鼠与唐老鸭用的时间相同，所以列方程

，

解得．

所以，、两地相距 92 千米．

16.甲、乙两种商品的原来价格比是．如果它们的价格各自上涨元，它们的价格比

变为．求甲乙两种商品的原价各是多少元？

分析：方法：设甲乙两种商品原来价格分别为元，元，根据涨价后价格比为，

列方程得，解得，所以原来两种商品的原价各是

元，元

方法：设甲乙两种商品原价各是元,元，依题意列方程组得解得

甲乙两种商品原价各是元,元

方法：由于原来两种商品相差份，涨价后相差份，由于涨价钱数相同，

所以应涨份，所以原来两种商品的价格比，涨价后价格比，

所以价格涨了份，恰是元，所以份是元，所以原来两种商品的价格各是为

元，元

17.求方程 3x＋5y＝31 的整数解

分析：方法一：利用欧拉分离法，由原方程，得 x＝，即 x＝10－2y＋，要使

方程有整数解必须为整数．

取y＝2，得 x＝10－2y＋＝10－4＋1＝7，故x＝7，y＝2

当y＝5，得 x＝10－2y＋＝10－10＋2＝2，故x＝2，y＝5

当y＝8，得 x＝10－2y＋＝10－16＋3无解

所以方程的解为：

方法二：利用余数的性质3x 是 3 的倍数，和 31 除以 3 余1，所以 5y 除以 3 余1（2y 除以 3

余1），根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为：

取y＝1，2y＝2，2÷3＝0……2（舍）

y＝2，2y＝4，4÷3＝1……1（符合题意）

y＝3，2y＝6，6÷3＝2（舍）

y＝4，2y＝8，8÷3＝2……2（舍）

y＝5，2y＝10，10÷3＝3……1（符合题意）

y＝6，2y＝12，12÷3＝4（舍）

当y＞6 时，结果超过 31，不符合题意。

所以方程的解为：

18.解方程（其中

a、b、c

均为正整数）

分析：根据等式的性质将第一个方程整理得，根据消元的思想将第二个

式子扩大 4 倍相减后为：，整理后得，

根据等式性质，为偶数，20 为偶数，所以为偶数，所以为偶数，当时，

，，所以，当时，，，所以无解。所以方

程解为

19.解不定方程 (其中

x、y、z

均为正整数)

分析：根据等式的性质将第一个方程整理得，根据消元思想与第二个式

子相减得，根据等式的性质两边同时除以 2 得：，根据等式性

质为 4 的倍数，100 为 4 的倍数，所以为 4 的倍数，所以为 4 的倍数试值如下

20.某公交车起点站已停放10 辆公交车，第一辆公交车开出后，每隔8分钟就有一辆公交

车开出，在第一辆公交车开出 4分钟后，有一辆公交车进站，以后每隔12 分钟就有一辆公

交车进站，回站的公交车在原有的公交车依次开出之后又依次每隔8分钟开出一辆，问：

第一辆公交车开出后，经过多少时间，车站第一次不能正点发车？

分析：假设第一辆公交车开出分钟后车站无车可发，可列方程：

，解得．

第一辆公交车开出后第 232 分钟可以发一趟车，到第 240 分钟时就无车可发了，所以答案

是经过 240 分钟后车站第一次不能正点发车．

21.如图，图中、和分别代表包含该数字的三个三角形的面积．试问：包含这个

字母的四边形面积是多少？

分析：如图，设虚线把四边形分成面积为、的两个三角形.利用同高的两个三角形面

积之比等于相应底边之比，可得：（可化简为）和（可

化简为），由这两条方程构成方程组：

，方程组可解得：，

所以四边形的面积为 .

22.甲、乙、丙三个人玩三张牌，这三张牌分别写着不同的自然数，洗牌后发给每人一张，

按每人所拿的自然数得分，重复玩了次后，甲共得分，乙和丙各得分，那么这三张

牌上写的数是哪三个数？

分析：三张牌上的三个数之和是．

　　因为不能整除和，所以甲、乙、丙谁也不可能三次拿到同一张牌，，又因

为谁也没有拿到三张牌各次，所以三人都是拿了某张牌两次、另一张牌一次．

设三张牌从大到小写的数依次为、、 .由乙、丙各得分，推知乙、丙的三

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