六年级数学上册第5讲：递推与归纳（教师版）（人教版）

免费

3.0 2026-03-28 5 321.47KB 8 页海报

侵权投诉

第五讲递推与归纳

有时，我们会遇上一些具有规律性的数学问题，这就需要我们在解题时根据已知条件尽快

地去发现规律，并利用这一规律去解决问题。

例如：按规律填数：1，4，9，16，25，（），49，64；

分析：要在括号填上适当的数，就要正确判断出题目所呈现出的规律。若你仔细地观察这

一数列，就会发现这些数之间的规律：

⑴先考虑相邻两个数之间的差，依次是 3，5，7，9，……，15；可以看到相邻两数的差从

3开始呈现递增 2的规律，所以括号里的数应是 25+11=36，再看 36+13=49 得到验证。

⑵如果我们换一个角度去考虑，那么我们还可以发现，这数列的第一项是 1的平方，第二

项是 2的平方，第三项是 3的平方，……，从这些事实中，发现规律是第 n项是 n的平方。

那么所求的是第六项是 62=36。

我们把相邻数之间的关系称为递归关系，有了递归关系可以利用前面的数求出后面的未知

数。像这种解题方法称为递推法。

1. 理解递推法的概念。

2. 会用递推法解题

例 1：999…999×999…999 的乘积中有多少个数字是奇数？

分析：我们可以从最简单的 9×9 的乘积中有几个奇数着手寻找规律。

9×9=81，有 1 个奇数；99×99=99×（100-1）=9900-99=9801，有 2 个奇数；

999×999=999（1000-1）=999000-999=998001，有 3 个奇数； ……

从而可知，999…999×999…999 的乘积中共有 10 个数字是奇数。

例 2：如图所示：线段 AB 上共有 10 个点（包括两个端点）那么这条线段上一共有多少条不

同的线段？

分析：先从 AB 之间只有一个点开始，在逐步增加 AB 之间的点数，找出点和线段之间的规

律。

我们可以采用列表的方法清楚的表示出点和线段数之间的规律。

AB 之间只有 1 个点：线段有 1+2=3 条。AB 之间只有 2 个点：线段有 1+2+3=6 条。

AB 之间只有 3 个点：线段有 1+2+3+4=10 条。

AB 之间只有 4 个点：线段有 1+2+3+4+5=15 条。……

不难发现，当 AB 之间有 8 个点时，线段有 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 条。

若再进一步研究可得出这样得规律，线段数=点数×（点数-1）÷2。

例 3：计算 13+23+33+43+53+63+73+83+93+103得值。

分析：这是一道特殊的计算题，当然我们可以采用分别求出每个数的立方是多少再求和计

算出这题的结果。这样的计算工作量比较大，是否可以采用其它较简便的方法计算呢？

下面我们就来研究这个问题。

13+23=（1+2）2； 13+23+33=（1+2+3）2； 13+23+33+43=（1+2+3+4）2 ；……

这样我们可以容易地得到 13+23+33+43+53+63+73+83+93+103 =（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）2

= 552= 3025

通过这个例题我们可以得到 13+23+33++……+n3=（1+2+3+…+n）2

例 4：2000 个学生排成一行，依次从左到右编上 1～2000 号，然后从右到左按一、二报数，

报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的人离开队伍，……按这个规律

如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：最后留下的这个人原来的号码是多少？

分析“我们通过前几次留在队伍中的学生的编号找出规律。

第一次留下的学生编号是：2，4，6，8，10，……；都是 2 的倍数。即 21的倍数；

10 个910 个9

Aa1a2a3a4a5a6a7a8

第二次留下的学生编号是：4，8，12，16，20，……；都是 4 的倍数，即 22的倍数；

第一次留下的学生编号是：8，16，24，32，40，……；都是 8 的倍数。即 23的倍数；

……

由于 210=1024＜2000＜211=2048；这样可知，最后留下学生的号码一定是 1024。

例 5：圆周上两个点将圆周分为两半，在这两点上写上数 1；然后将两段半圆弧对分，在两

个分点上写上相邻两点上的数之和；再把 4 段圆弧等分，在分点上写上相邻两点上的

数之和，如此继续下去，问第 6 步后，圆周上所有点上的之和是多少？

分析：先可以采用作图尝试寻找规律。

第一步，圆周上有两个点，第二步有四个点，第三步有八个点，第四步有十六个点，

…，第六步有 32 个点。

因为问题是求圆周上所有数的和，所以我们不必去考虑每一步具体增加了哪些数，只

须知道每一步增加数的总和是多少。

第一步：圆周上有两个点，两个数的和是 1+1=2；

第二步：圆周上有四个点，四个数的和是 1+1+2+2=6；增加数之和恰好是第一步圆周

上所有数之和的 2 倍。

第三步：圆周上有八个点，八个数的和是 1+1+2+2+3+3+3+3=18，增加数之和恰好是第

二步数圆周上所有数之和的 2 倍。

第四步：圆周上有十六个点，十六个数的和是 1+1+2+2+3+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5=54，

增加数之和恰好是第三步数圆周上所有数之和的 2 倍。……

这样我们可以知道，圆周上所有数之和是前一步圆周上所有数之和的 3 倍。用递推法关

系表示。

设 an为第 n 步后得出的圆周上所有数之和，则 an=3×an－1 利用此式可以得到：

an=3×an－1=3×3an－2=3×3×3an－3=……=3×3×……×3a1

因为 a1=2，所以：

an=3×3×……×3a1=3（6-1）×2=486。

例 6： 4 个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲

发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方式？

分析：设第 n 次传球后，球又回到甲手中的传球方式有 an种。可以想象前 n-1 次传球，如

果每一次传球都任选其他三人中的一人进行传球，即每次传球都有 3 种可能，由乘法

原理，共有 3×3×……×3=3（种）传球方法。

这些传球方式并不是符合要求的，它们可以分为两类，一类是第 n-1 次恰好传到甲手

中，这有 an-1 传法，它们不符合要求，因为这样第 n 次无法再把球传给甲；另一类是

第 n-1 次传球，球不在甲手中，第 n 次持球人再将球传给甲，有 an传法。根据加法原

理，有 an-1+an=3×3×……×3=3n-1。

由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方式是不存在的，所以 a1=0。

利用递推关系可以得到 a2=3-0=3 ， a3=3×3-3=6 ， a4=3×3×3-

1 1 1 1

1 1

（ n － 1 ）个 3

（n－1）个 3

6=21，a4=3×3×3×3-21=60。

这说明经过 5 次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有 60 种。

当然这题也可以利用列表法求解。

我们可以这样想，第 n 次传球后，球不在甲手中的传球方法，第 n+1 次传球后球就可

能回到甲手中，所以只需求出第四次传球后，球不在甲手中的传法共有多少种。

从图中可以看出经过四次传球后，球仍回到甲手中的传球方法共有 60 种。

1. 100 条直线最多能把一个平面分成_____个部分。

答案：5051

2. 熊大叔是一个卖烧饼的师傅,他用一个平底锅煎饼,他是这样煎饼的:每次只能放两个饼,

每个饼正反面都要煎,煎每一面都要 1 分钟,问他煎 10 个这样的饼需要_____分钟。

答案：10

3. 上一段 11 阶楼梯,规定每一步只能上一级或两级,那么要登上第 11 级台阶有_____种不

同的走法。

答案：144

4.请先计算 11×11,111×111,1111×1111, 你能根据以上结果 ,不经过计算而直接写出

11111111×11111111=________。

答案：123456787654321

5.我们知道三角形的内角和是 180 度,长方形的内角和是 360 度,那么正十边形的内角和是_

____度。

答案：1440

6.有一列数,第一个数是 0.第二个数是 100,从第三个数开始,每个数都是前两个数的平均数,

问第 2005 个数的整数部分是_____。

答案：66

7.小华过生日,邀请了班上的 16 名同学参加他的生日聚会,小华买了一个单层的大蛋糕,要

保证每个人都能吃到蛋糕,问至少要切_____刀。

答案：5

8.一对刚出生的雌雄小兔,在喂养两个月后就生下一对雌雄小兔,并且以后每个月都能生一

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

立即下载 VIP免费下载

六年级数学上册第5讲：递推与归纳（教师版）（人教版）.docx

共8页,预览4页

还剩页未读，继续阅读

声明：
1、文档下载后即可获得完整全部内容，所有PPT模板均可编辑可修改，建议通过电脑下载和编辑，手机预览可能出现显示异常或不完整。
2、教务文库（jwwenku.cn）网站文档一经付费（服务费），不意味着购买了该文档的版权，仅供个人/单位学习、研究之用，不得用于商业用途。
3、本站内容由公开渠道搜集整理、用户投稿或网友上传，本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺！文档内容仅供研究参考，付费前请自行鉴别。如果您已付费下载过本站文档，您可以在个人中心>我的下载里面进行二次下载。
4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等，请点击"侵权投诉"（推荐），也可以联系网站客服为您处理。
5、有"VIP免费"标记的文档，如果想要下载，成为VIP会员后，下载免费。
6、成为VIP后，每下载一份文档将扣除1次下载权益。
7、成为VIP后，您将获得诸多权益：VIP文档下载权益、文档分销收益、会员分销收益、教务资料免费代找、赠送教务相关资源大礼包等。

立即下载

分类：小学 属性：8 页 大小：321.47KB 格式：DOCX 时间：2026-03-28