六年级数学上册第3讲：等积变形（教师版）（人教版）

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第三讲等积变形

1.等积模型

① 等底等高的两个三角形面积相等；

② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如图

③ 夹在一组平行线之间的等积变形，如图；

反之，如果，则可知直线

平行于

．

④ 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等

于它们的高之比．

2.鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在中，分别是上的点如图 ⑴(或在的延长线上，在

上)，则

3.蝶形定理

任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：

① 或者 ②

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面

可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面

积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：

①

② ；

③ 的对应份数为．

4.相似模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

① ；

② ．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样

改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴ 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵ 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶ 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．

在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．

5.共边定理（燕尾模型和风筝模型）

共边定理：若直线 AO 和 BC 相交于 D（有四种情形），则有

在三角形中，，，相交于同一点，那么．

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕

子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，

它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边

之间提供互相联系的途径.

1.了解三角形的底、高与面积的关系，会通过分析以上关系解题。

2.能在解题中发现题目中所涉及的几何模型。

例 1：如图，正方形

ABCD

的边长为 6，1.5，2．长方形

EFGH

的面积为．

分析：连接

DE，DF，

则长方形

EFGH

的面积是三角形

DEF

面积的二倍．

三角形

DEF

的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

所以长方形

EFGH

面积为 33．

例 2：长方形的面积为 36 ，、、为各边中点，为边上任意一点，

问阴影部分面积是多少？

分析：解法一：寻找可利用的条件，连接、，如下图：

可得：、、，

而

即；

而，

．

所以阴影部分的面积是：

解法二：特殊点法．找的特殊点，把点与点重合，

那么图形就可变成右图：

(

)

这样阴影部分的面积就是的面积，根据鸟头定理，则有：

S阴影=SABCD−SΔ AED−SΔ CFD

=36−1

×1

×36−1

×1

×36−1

×1

×36

=13. 5

例 3：如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为 70，，，四边

形的面积为．

分析：利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和，

以及三角形和的面积之和，进而求出四边形的面积．

由于长方形的面积为，所以三角形的面积为，所以三

角形和的面积之和为；

又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形

的面积为．

另解：从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色

部分的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即 60，白色部

分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即，所以四边形的面积为

．

例 4：已知为等边三角形，面积为 400，、、分别为三边的中点，已知甲、乙、

丙面积和为 143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形 )

丙

乙

甲

分析：因为、、分别为三边的中点，所以、、是三角形的中位线，

也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形和三角形的面积都等于三角

形的一半，即为 200．

根据图形的容斥关系，有，

即，所以．

又，所以

．

例5：如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左

边部分面积是 38，右边部分面积是 65，那么三角形的面积是．

分析：连接，．

根据题意可知，；；

所以，，，，，

于是：；；

可得．故三角形的面积是 40．

例6：如图在中，分别是上的点，且，，

平方厘米，求的面积．

分析：连接，，

，所以，设

份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是

平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

例7：如图在中，在的延长线上，在上，且，

，平方厘米，求的面积．

分析：连接，

，

所以，设份，则份，

平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是

平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相

等角或互补角)两夹边的乘积之比

例8：如图，平行四边形，，，，，平行

四边形的面积是，求平行四边形与四边形的面积比．

分析：连接、．根据共角定理

∵在和中，与互补，

∴．

又，所以．

同理可得，，．

所以．

例9：如图所示的四边形的面积等于多少？

分析：题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.

我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：

把三角形绕顶点逆时针旋转，使长为的两条边重合，此时三角形将旋转到

三角形的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为的正方形，且这

个正方形的面积就是原来四边形的面积.

因此，原来四边形的面积为 .(也可以用勾股定理)

例 10：如图所示，中，，，，以为一边向外

作正方形，中心为，求的面积．

分析：如图，将沿着点顺时针旋转，到达的位置．

由于，，所以．而，

所以，那么、、三点在一条直线上．

由于，，所以是等腰直角三角形，且斜边为

，所以它的面积为．

根据面积比例模型，的面积为．

1.如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形

的宽为几厘米？

答案；本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以

看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．

证明：连接．(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起)．

∵在正方形中，边上的高，

∴(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)

同理，．

∴正方形与长方形面积相等．长方形的宽(厘米)．

2.在边长为 6 厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对

边三等分，分别与点连接,求阴影部分面积．

(

)

答案；（法 1）特殊点法．由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点与

点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面

积的和，所以阴影部分的面积为平方厘米．

（法 2）连接、．

由于与的面积之和等于正方形面积的一半，所以上、下两个阴影三角

形的面积之和等于正方形面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等

于正方形面积的，所以阴影部分的面积为平方厘米．

3.如图，长方形的面积是 36，是的三等分点，，则阴影部分的面

_A _B

_G _C

_A _B

_G _C

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