六年级数学上册 第8讲 数学广角-数与形（教师版含解析）（人教版）

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第 8 讲 数学广角-数与形
知识点一：数与形
1. 从 1 开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。
2. 有些计算问题或较为复杂的题目可以通过画图，把数字、算式转化成图形，使复杂的问题
简单化、抽象的问题直观化，解决起来会更直观、更简单。
考点一：数与形
【例 1】仔细观察如图，你知道第七幅图有多少个圆形吗？请你画一画、写一写．
数 与 形
运用数学结合发现规律
极限思想
【思路分析】根据图示，第一幅圆形个数：1个；第二幅圆形个数：1+2＝3(个)；第三幅圆形个数：
1+2+3＝6(个)；……：第 7幅圆形个数：1+2+3+……+7＝28(个)．
【规范解答】解：如图：
1+2+3+4+……+7
＝(1+7)×7÷2
＝4×7
＝28(个)
答：第七幅图有 28 个圆形．
【名师点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．
1．如图所示，用火柴搭 1条“金鱼”需要 8根火柴，搭 2条“金鱼”需要 14 根火柴．
(1)按上面的图示规律填写下表．
“金鱼”条数 1 ……
所需火柴根数 8 ……
(2)搭7条“金鱼”需要几根火柴？有 56 根火柴，可以搭多少条“金鱼”？
【思路分析】根据图示，搭 1条“金鱼”需要 8根火柴；搭 2条“金鱼”需要 8+6＝14(根)火柴；搭 3条
“金鱼”需要 8+6+6＝20(根)火柴；……；搭 n条“金鱼”需要 8+6(n1)﹣＝(6n+2)根火柴．
(1)根据规律完成填表．
(2)根据规律计算搭 7条“金鱼”需要的火柴根数及 56 根火柴可以搭“金鱼”的条数
【规范解答】解：(1)填表如下：
“金鱼”条数 1 2 3 4 ……
所需火柴根数 8 14 20 26 ……
(2)8+(7 1)×6﹣
＝8+6×6
＝8+36
＝44(根)
6n+2＝56
6n＝54
n＝9
答：搭 7条“金鱼”需要 44 根火柴；有 56 根火柴，可以搭 9条“金鱼”．
【名师点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．
2．(2020•雄县)二进制时钟是一种“特殊的时钟”，它用 4行6列24 盏灯来表示时间(图1)竖着看，从左到
右每两列为一组，每列依次表示时、分、秒的十位数字和个位数字；每列从下往上的灯依次表示
1、2、4、8(●表示灯亮，〇表示灯熄灭，灯灭代表 0)，同一列中多盏灯同时亮，要把它们各自表示的数
加起来得到对应的数．例如，图 1中最右侧一列，从下往上第一、二、三盏灯是，分别表示数字
1、2、4，1+2+4＝7，此时这列灯表示数字 7，按照这样的表示方法，请在图 2的括号里写出此时时钟
表示的时刻．图 3是雯雯同学上午进入校门的时刻，请涂出二进制时钟上的显示．
【思路分析】根据所给图示，发现每行与每列的变换规律：竖着看，从左到右每两列为一组，每列依次
表示时、分、秒的十位数字和个位数字；每列从下往上的灯依次表示 1、2、4、8(●表示灯亮，〇表示
灯熄灭，灯灭代表 0)，同一列中多盏灯同时亮，要把它们各自表示的数加起来得到对应的数．然后利用
规律做题即可．
【规范解答】解： ．
【名师点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键是根据图示发现规律，并运用规律做题．
3．(2020 春•上街区期末)根据前三个算式的规律，写出其他算式的得数，并说明理由．
在完成第①题时，我是这样想的：　被除数不变，除数乘几 (0
除外 )
，商就除以相同的数　 ．
在完成第②题时，我是这样想的：　除数不变，被除数乘几 (0
除外 )
，商就乘相同的数　 ．
【思路分析】①根据所给算式发现：被除数不变，除数乘 2、3、……6，商就除以 2、3、……6．据此
完成题目，并总结规律．
②根据所给算式发现：除数不变，被除数乘 2、3、……8，商也乘 2、3、……8．据此完成题目，并总
结规律．
【规范解答】解：如图：
在完成第①题时，我是这样想的：被除数不变，除数乘几(0 除外)，商就除以相同的数．
在完成第②题时，我是这样想的：除数不变，被除数乘几(0 除外)，商就乘相同的数．
故答案为：被除数不变，除数乘几，商就除以相同的数．除数不变，被除数乘几，商就乘相同的数．
【名师点评】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规
律解决问题．
一．选择题(共6小题)
1．(2019 秋•大田县期末)根据 1÷11＝0. ，2÷11＝0. ，3÷11＝0. ，可以推出 9÷11＝(　　)
A．0. B．0. C．0. D．0.
【思路分析】根据 1÷11＝0. ，2÷11＝0. ，3÷11＝0. ，可以看出循环节都是两个数字，循环节
的两个数字是 9与被除数的乘积；由此规律，可知 9÷11 的循环节是 81，据此解答．
【规范解答】根据题意与分析可得：
根据 1÷11＝0. ，2÷11＝0. ，3÷11＝0. ，可以推出 9÷11＝0. ．
故选：D．
【名师点评】注意式子的运算结果中数字之间的联系，发现规律，进一步解决问题．
2．(2020•顺德区)如图是用棋子摆成的图形，摆第一个图形需要 3枚棋子，摆第二个图形需要 6枚棋子，摆
第三个图形需要 9枚棋子……照这样的规律摆第 11 个图形需要(　　)枚棋子．
A．27 B．30 C．33 D．36
【思路分析】观察图形可知，摆第一个图形需要 3＝3×1 枚棋子，摆第二个图形需要 3×2＝6枚棋子，摆
第三个图形需要 3×3＝9枚棋子，摆第四个图形需要 3×4＝12 枚棋子……，据此可得摆第 n个图形需要
3n枚棋子，据此即可解答问题．
【规范解答】解：根据题干分析可得：摆第一个图形需要 3＝3×1 枚棋子，
摆第二个图形需要 3×2＝6枚棋子，
摆第三个图形需要 3×3＝9枚棋子，
摆第四个图形需要 3×4＝12 枚棋子
…，
据此可得摆第 n个图形需要 3n枚棋子，
当n＝11 时，11×3＝33(枚)
答：照这样的规律摆第 11 个图形需要 33 枚棋子．
故选：C．
【名师点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应
找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求
解．
3．(2019•北京)寒假的时候，同学们去莲花山滑雪场滑雪，有些同学用雪杖摆成了如图：
像上面那样摆 10 个三角形，至少需要(　　)根滑雪杖．
A．21 B．20 C．9 D．30
【思路分析】根据图示，摆 1个三角形，需要滑雪杖：3根；摆 2个三角形，需要滑雪杖：3+2＝5(根)；
摆3个三角形，需要滑雪杖：3+2+2＝7(根)……摆n个三角形，需要滑雪杖：3+2(n1)﹣＝(2n+1)根．据
此解答．
【规范解答】解：摆 1个三角形，需要滑雪杖：3根
摆2个三角形，需要滑雪杖：3+2＝5(根)
摆3个三角形，需要滑雪杖：3+2+2＝7(根)
……
摆n个三角形，需要滑雪杖：3+2(n1)﹣＝(2n+1)根
……
摆10 个三角形需要滑雪杖：
2×10+1
＝20+1
＝21(根)
答：摆 10 个三角形，至少需要 21 根滑滑雪杖．
故选：A．
【名师点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．
4．(2018 秋•福州期末)用小棒摆正六边形，(如图所示)，按照这样的方法摆下去，摆 n个正六边形需要(
)小棒．
A．6nB．5nC．5n+1 D．6n+1
【思路分析】根据图示，摆 1个正六边形需要小棒根数：6根；摆 2个正六边形需要小棒根数：6+5＝
11(根)；摆 3个正六边形需要小棒根数：6+5+5＝16(根)；……摆 n个正六边形需要小棒根数：6+5(n1)﹣
＝(5n+1)根．据此解答．
【规范解答】解：摆 1个正六边形需要小棒根数：6根；
摆2个正六边形需要小棒根数：6+5＝11(根)；
摆3个正六边形需要小棒根数：6+5+5＝16(根)；
……
摆n个正六边形需要小棒根数：6+5(n1)﹣＝(5n+1)根．
答：摆 n个正六边形需要(　5n+1　)根小棒．
故选：C．
【名师点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现规律．
5．如图的每个正方形中的四个数之间都有相同的规律，请根据此规律，计算出 m的值是(　　)
A．86 B．74 C．52
【思路分析】分析前三个正方形可知，规律为右上和左下两个数的积加左上的数等于右下的数，且左上，
左下，右上三个数是相邻的偶数．因此，图中阴影部分的两个数分别是左下是 8，右上是 10；然后求出
m的值即可．
【规范解答】解：第四图左下角的数是：6+2＝8
右上角的数是：8+2＝10
那么右下角的数 m就是：10×8+6＝86
故选：A．
【名师点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本
能力．
6．(2019 春•凤凰县月考)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，n等于(　　)
A．52 B．74 C．86
【思路分析】观察前三个图可得：左上角、右上角、左下角同一位置的数都是连续的递增双数；0+4×2
＝8，2+6×4＝26，4+8×6＝52，右下角的数的规律是：左上角的数+右上角的数×左下角的数＝右下角的
数；据此解答即可．
【规范解答】解：右上角的数：8+2＝10
左下角的数：6+2＝8
所以 n＝6+10×8
＝6+80
＝86
故选：C．
【名师点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应
找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
二．填空题(共6小题)
7．(2020 春•磐石市期末)按规律填数：
(1)2，4，6，8，　 10
　 ，12，　 14
　 ．
(2)56，46，36，26，　 16
　 ．
【思路分析】(1)2，4，6，8，这四个数连续的双数，依次增加2即可；
(2)56，46，36，26，这四个数个位都是 6，十位是 5、4、3、2，依次减少1个十；据此解答即可．
【规范解答】解：(1)8+2＝10
12+2＝14
所以，2，4，6，8，10，12，14．
(2)这些数个位都是 6，十位是 5、4、3、2、1；
所以，56，46，36，26，16．
故答案为：10，14；16．
【名师点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本
能力．
8．认真观察如图，看从中受到什么启发，然后再计算出后面算式的结果．
＝　 　
＝　 　
＝　 　
【思路分析】根据图示，观察算式可知：分子是 1，分母分别是 2的1次方，2的2次方，2的3次方，
……求这些分数的和为最后一个分数的分母做分母，分子是分母减 1．据此解答．
【规范解答】解：
＝ ；
＝ ；
＝1 (﹣)
＝1﹣
＝
故答案为： ； ； ．
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