六年级数学上册 第5讲 圆（教师版含解析）（人教版）

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第 5 讲 圆
知识点一：圆的认识
1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。
2. 一个圆有无数条半径，有无数条直径。圆有无数条对称轴。
3. 在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
4. 在同圆或等圆中，r= d 或 d=2r。
知识点二：圆的周长及圆周率的意义
1.测量圆的周长的方法：绕绳法和滚动法。
2.圆的周长除以直径的商是一个固定的数。我们把它叫做圆周率，用字母 π 表示。
3.圆的周长的计算公式：C=πd，C=2πr
知识点三：圆的面积公式的推导及应用
1.圆的面积计算公式是 ：S＝πr²
2.求圆的面积，要根据圆的面积计算公式来求。
3.圆环面积的计算方法：S＝πR2－πr2或 S＝π(R－r)2。
圆
半径
圆的认识
圆心
圆的周长 πd或2πr
直径
圆的面积
圆环的面积
πr
2
πR
2
－πr
2
或π(R
2
－r
2
)
1
2
4.“外方内圆”图形中，圆的直径等于正方形的边长。如果圆的半径为 r，那么正方形和圆
之间部分的面积为 0.86r2。
5.“外圆内方”图形中，这个正方形的对角线等于圆的直径。如果圆的半径为 r，那么圆和
正方形之间部分的面积为 1.14r2。
知识点四：扇形的认识
1.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形；
2.顶点在圆心的角叫做圆心角；
3.扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。
考点一：圆的认识
【例 1】(2017 秋•龙华区期末)圆有　无数　条半径，圆半径的长度是它直径的　一半　；半圆有　一　条
对称轴
【思路分析】根据轴对称图形的性质分析：一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重
合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义可知：圆有无数条对称轴，半圆有一
条对称轴；
根据圆周率的含义：圆周率等于圆的周长和它直径的比值，用字母“π”表示；同圆中，圆的直径是半径
的2倍；由此解答即可．
【规范解答】解：圆有 无数条半径，圆半径的长度是它直径的 一半；半圆有 一条对称轴；
故答案为：无数，一半，一．
【名师点评】本题主要考查了轴对称图形的定义以及圆的基础知识．
1．(2018 秋•武昌区期末)圆是一个轴对称图形，它有　无数　条对称轴．圆的周长与直径的比值，我们称
之为　圆周率　．
【思路分析】根据圆的对称性和圆周率的定义直接填空即可．
【规范解答】解：圆是一个轴对称图形，它有 无数条对称轴．圆的周长与直径的比值，我们称之为 圆
周率．
故答案为：无数，圆周率．
【名师点评】本题考查了圆的轴对称性和圆周率的意义．
2．(2019•衡水模拟)在一个长 5厘米，宽 3厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的半径是　 1.5
　 厘米．
【思路分析】在这个长方形中画的最大圆的直径应等于长方形的宽，长方形的宽已知，从而可以求出这
个圆的半径．
【规范解答】解：圆的半径：3÷2＝1.5(厘米)；
答：这个圆的半径是 1.5 厘米．
故答案为：1.5．
【名师点评】解答此题的关键是明白：在这个长方形中画的最大圆的直径应等于长方形的宽，据此即可
逐步求解．
3．(2019•天津模拟)填空题：
(1)圆的直径是　 7
cm
　 ．
(2)圆的半径是　 3.5
cm
　 ．
【思路分析】(1)由图可知，圆的直径的 2倍等于长方形的长 14cm，所以直径是 14÷2＝7(cm)；
(2)根据圆的半径 r＝d÷2 计算即可．
【规范解答】解：(1)圆的直径是：14÷2＝7(cm)；
(2)圆的半径是：7÷2＝3.5(cm)．
故答案为：7cm，3.5cm．
【名师点评】此题考查了同圆中直径与半径关系的运用．
考点二：圆的周长及圆周率的意义
【例 2】(2016•舟山校级模拟)李师傅想把 3根横截面直径都是 10 厘米的圆木用铁丝紧紧地捆绑在一起(如
图)，捆一圈(接头处不计)至少需铁丝　 71.4
　 厘米．
【思路分析】由图可知铁丝紧紧地捆绑一圈，最左边和最右边各一个半圆，上面的铁丝是 2个直径，下
面的铁丝是 2个直径，所以总的长度实际上是由一个圆的周长加上 4个直径的长度．
【规范解答】解：C＝πd，
＝3.14×10，
＝31.4(厘米)；
31.4+4×10，
＝31.4+40，
＝71.4(厘米)；
故答案为：71.4．
【名师点评】此题考查了学生的观察能力以及求圆的周长的方法．
1．(2014•海门市)把一个直径是 4厘米的圆分成若干等份，然后把它剪开，照图的样子拼起来，拼成的图
形的周长比原来圆的周长增加　 4
　 厘米．
【思路分析】由圆的面积推导过程可知：将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，
宽就等于圆的半径，从而可知，这个长方形的周长比原来圆的周长多出了两个半径的长度，据此即可求
解．
【规范解答】解：因为将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半
径，
所以这个长方形的周长比原来圆的周长多出了两个半径的长度，即多出了一个直径的长度，也就是 4厘
米．
故答案为：4．
【名师点评】解答此题的主要依据是圆的面积推导过程．
2．(2012•福州)一个周长为 20 厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上．则小圆
的周长之和为　 20
　 厘米．
【思路分析】根据题干：一个周长为 20 厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直
径上，可知大圆的直径等于所有小圆的直径之和．根据圆周长公式可解决．
【规范解答】解：每个小圆的半径未知，但所有小圆直径加起来正好是大圆的直径．
大圆直径径为 D，小圆直径为 d1，d2，d3…，
大圆周长 C＝πD，
小圆周长之和＝πd1+πd2+πd3…，
＝π(d1+d2+d3…)，
＝πD；
所以所有小圆的周长之和等于大圆周长，即 20 厘米；
答：所有小圆周长之和是 20 厘米．
故填：20．
【名师点评】此题属于较复杂的圆周长的计算，解决本题的关键是所有的小圆都在大圆的一条直径上，
即所有小圆的直径之和等于大圆的直径，理解了这一点，此题就非常简单了．
3．(2019•亳州模拟)从A到B，小红沿上面的大半圆走，走了　 15.7
　 m；李明走沿下面的两个小半圆走，
走了　 15.7
　 m．
我发现：这两条路线的长度　相等　．
【思路分析】根据题意可知：小红走的路程等于半径为 5米的圆周长的一半，李明走的路程是直径为 5
米的圆的周长，根据圆的周长公式：C＝πd或C＝2πr，把数据代入公式求出他们走的路程进行比较即
可．
【规范解答】解：3.14×5×2÷2＝15.7(米)；
3.14×5＝15.7(米)；
15.7 米＝15.7 米；
答：小红走了 15.7 米，李明走了 15.7 米．这两条路的长度相等．
故答案为：15.7、15.7、相等．
【名师点评】此题主要考查圆周长公式的灵活运用，关键是熟记公式．
考点三：圆的面积公式的推导及应用
【例 3】一幅圆形壁画的边框长是 1.57m，这幅壁画的面积是　 0.19625
平方米　 ．
【思路分析】1.57m是圆的周长，根据圆的周长＝圆周率×半径×2，所以用圆的周长除以圆周率除以2
求出圆形的半径，再根据圆的面积＝半径×半径×圆周率即可解答．
【规范解答】解：1.57÷3.14÷2＝0.25
3.14×0.25×0.25
＝0.785×0.25
＝0.19625(平方米)
答：这幅壁画的面积是 0.19625 平方米．
【名师点评】本题考查了已知圆的周长求圆的面积，关键是求出圆的半径．
1．(2019•利州区)如图，圆的面积和长方形的面积相等，圆的周长是 6.28 厘米，长方形的周长是　 8.28
厘米．
【思路分析】根据题意可知：长方形的宽等于圆的半径，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么 r＝C÷2π，
再根据圆的面积公式：S＝πr2，求出圆的面积，已知圆的面积和长方形的面积相等，用长方形的除以宽
求出长，然后根据长方形的周长公式：C＝(a+b)×2，把数据代入公式解答．
【规范解答】解：6.28÷3.14÷2＝1(厘米)，
3.14×12
＝3.14×1
＝3.14(平方厘米)，
3.14÷1＝3.14(厘米)，
(3.14+1)×2
＝4.14×2
＝8.28(厘米)，
答：长方形的周长是 8.28 厘米．
故答案为：8.28．
【名师点评】此题主要考查圆的周长公式、面积公式、长方形的面积公式、周长公式的灵活运用，关键
是熟记公式．
2．(2019 春•兴化市期末)将圆平均分成若干份，剪拼成一个近似的长方形(如图)．它的周长比圆的周长增
加了 6厘米，圆的周长是　 18.84
　 厘米，近似长方形的面积是　 28.26
　 平方厘米．
【思路分析】根据圆面积公式的推导过程可知：把圆平均分成若干份，沿半径剪开拼成一个近似的长方
形，拼成的长方形的长等于圆周长的一半，宽等于半径．拼成长方形的周长比圆的周长增加了 6厘米，
由此可以求出半径，再根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，把数据分别代入公式解答．
【规范解答】解；6÷2＝3(厘米)，
3.14×3×2＝18.84(厘米)，
3.14×32
＝3.14×9
＝28.26(平方厘米)，
答：圆的周长是 18.84 厘米，面积是 28.26 平方厘米．
故答案为：18.84、28.26．
【名师点评】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点明白：把圆剪
拼成一个近似长方形，长方形的周长比圆的周长增加两条半径的长度．
3．(2019 春•枣阳市校级月考)如图圆的面积是 25.12 平方厘米，阴影部分的面积是　 8
　 平方厘米．
【思路分析】阴影部分面积等于正方形的面积，因为圆的面积＝πr2，正方形的边长是圆的半径，所以
r2＝8，由此可求．
【规范解答】解：因为圆的面积＝πr2，所以
r2＝25.12÷3.14＝8(平方厘米)；
答：阴影部分的面积是 8平方厘米；
故答案为：8．
【名师点评】此题主要考查组合图形的面积求法，圆的面积、正方形的面积求法，注意圆的半径的平方
得正方形的面积．
考点四：扇形的认识
【例 4】(2019•天津模拟)扇形是由圆的　两条半径　和圆上的一段　曲线　围成的．
【思路分析】根据扇形的定义直接填空即可．
【规范解答】解：扇形是由圆的 两条半径和圆上的一段 曲线围成的．
故答案为：两条半径，曲线．
【名师点评】本题考查了扇形的定义，属于基础题．
1．一个扇形的圆心角为135°，弧长为 3πcm，则此扇形的半径为　 4
　 cm，面积为　 18.84
　 cm2．
【思路分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，周角是360°，扇形圆心角是135°，扇形圆心角占周角的几
分之几，那么这个扇形的面积就占所在圆面积的几分之几．先求出弧长占圆周长的几分之几，根据圆的
周长公式：C＝2πr，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出圆的周长，进而求出
扇形的半径，然后根据扇形面积公式：S＝πr2×，把数据代入公式即可求出扇形面积．
【规范解答】解：135°÷360°＝ ，
3π÷
＝3π×
＝8π
＝3.14×8
＝25.12(厘米)，
25.12÷3.14÷2＝4(厘米)，
3.14×42×
＝3.14×16×
＝18.84(平方厘米)，
答：扇形的半径是 4厘米，面积是 18.84 平方厘米．
故答案为：4、18.84．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握周角的意义，理解掌握扇形面积公式及应用．
2．已知扇形心角为45°，扇形面积为 8πm2，则扇形的半径为　 8
m
　 ；弧长为　 2
πm
　 ．
【思路分析】已知扇形心角为45°，扇形面积就是所在圆面积的 ，扇形的面积已知，根据分数除法
的意义即可求出扇形所在圆的面积．根据圆面积计算公式即可求出圆(即扇形)的半径；扇形弧长是所在
圆周长的 ，求出圆的弧长乘就是扇形的弧长．
【规范解答】解：8π÷ ＝64π(m2)
因为 82＝64
所以圆的半径为 8m．
π×2×8× ＝2π(m)
答：扇形的半径为 8m；弧长为 2πm．
【名师点评】由圆面积求圆半径，在小学阶段是难点，只有一些特殊题，才能根据圆面积求出圆半径
(如本题)．扇形面积为所在圆面积的几分之几，扇形圆心角就是 360°的几分之几；弧长等于扇形所在圆
周长的 360 分之几．注意，已知条件用含有 π的式子表示，计算结果也可用含有 π的式子表示．
3．已知扇形的圆心角为60°，弧长为 6πm，则扇形的半径为　 18
m
　 ，扇形面积为　 54
πm
2
　 ．
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