六年级数学上册 第4讲 比（教师版含解析）（人教版）

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第 4 讲 比
知识点一：比的意义、各个部分的名称
1. 两个数量之间的关系可以用两个数的比来表示。
2. 在两个数的比中，“：”是比号，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后
项，比的前项除以后项所得的商叫做比值。
3. 比的前项，后项和比值分别相当于除法算式中的：被除数，除数和商；分别相当于分数中
的：分子、分母和分数值。比的后项不能是 0。
知识点二：比的基本性质和化简比
1.比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外)，比值不变，这叫做比的
基本性质。
2.化简比的方法：
(1)化简整数比时，前、后项同时除以最大公因数。
(2)化简分数比时，前、后项同时乘它们分母的最小公倍数，转化成整数比，再化简。
(3)化简小数比：先把前、后项的小数点同时向右移动相同的位数，转化成整数比，再化简。
知识点三：按比分配
按比分配的解题方法：
方法一：把比看作份数之比。先求每份是多少，再求几份是多少。
比
比的意义及各
部分的名称 前项
按比例分
配问题
比的前项和后项同时乘或除以相
同的数（0除外），比值不变
(1)先求总份数；
(2)再求每部分占总数的几分之几；
(3)最后用乘法求出每部分是多少。
比的基本性质
后项 比号 比值
解题步骤：①求出总份数；②求出一份是多少；③求出各部分的数量。
方法二：把比转化成分率。利用分数乘法解答。
解题步骤：①求出总份数；②求出各部分占总量的几分之几；③求出各部分的数量。
考点一：比的意义、各个部分的名称
【例 1】在 15：20＝0.75 中，15 叫做比的　前项　，20 叫做比的　后项　，0.75 叫做　比值　．
【思路分析】如果 a：b＝d，则 a是比的前项，b是比的后项，d是比值，所以在 15：20＝0.75 中，15
叫做比的前项，20 叫做比的后项，0.75 叫做比值．
【规范解答】解：在 15：20＝0.75 中，15 叫做比的前项，20 叫做比的后项，0.75 叫做比值．
故答案为：前项，后项，比值．
【名师点评】本题主要考查了比的各部分的名称．
1．(2016 秋•五河县期末)　 3
　 ÷24＝1：　 8
　 ＝0.125．
【思路分析】把0.125 化成分数并化简是 ，根据比与分数的关系 ＝1：8；根据分数与除法的关系
＝1÷8，再根据商不变的性质被除数数、除数都乘 3就是 3÷24．
【规范解答】解：3÷24＝1：8＝0.125．
故答案为：3，8．
【名师点评】解答此题的关键是 0.125，把 0.125 化成分数并化简，根据分数与小数、除法、比之间即可
解答．
2．(2011•儋州)甲数与乙数的比是 2：3，可以说成甲数是乙数的 ．　正确　．
【思路分析】甲数与乙数的比是 2：3，写出比例为：甲数：乙数＝2：3＝ ，根据比与除法的关系，
也可以写成：甲数÷乙数＝ ，所以可以说成甲数是乙数的 ；因此判断为正确．
【规范解答】解：因为甲数：乙数＝2：3＝ ，
所以甲数÷乙数＝ ，
所以甲数与乙数的比是 2：3，可以说成甲数是乙数的 ；
故判断为：正确．
【名师点评】此题考查比与分数、除法的关系，解决此题关键是先求出甲、乙两个数的比的比值，进而
把比转化成除法算式，问题得解．
3．(2019 春•邹城市期末)5÷8＝ ＝15÷　 24
　 ＝　 0.625
　 (填小数)
【思路分析】根据商不变的性质，5÷8 的被除数、除数都乘 3就是 15÷24；根据分数与除法的关系 5÷8
＝ ，再根据分数的基本性质分子、分母都乘 7就是 ；5÷8＝0.625．
【规范解答】解：5÷8＝ ＝15÷24＝0.625．
故答案为：35，24，0.625．
【名师点评】此题主要是考查除法、小数、分数之间的关系及转化．利用它们之间的关系和性质进行转
化即可．
考点二：比的基本性质和化简比
【例 2】(2019 秋•铜官区期末)在3：2中，如果前项加上 6，要使比值不变，后项要加上　 4
　 ．
【思路分析】在3：2中，如果前项加上 6，由 3变成 9，相当于是前项乘上 3；根据比的性质，要使比
值不变，后项也应该乘上 3，由 2变成 6，也就是 2加上 4．据此进行填空．
【规范解答】解：在 3：2中，前项加上 6，由 3变成 9，是前项乘上 3；
根据比的性质，要使比值不变，后项也要乘上 3，由 2变成 6，也就是后项 2加上 4．
故答案为：4．
【名师点评】此题考查比的性质的运用：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数 (0 除外)，比值才
不变．
1．(2017 秋•巴东县期末)把a：7(a≠0)的前项乘 3，比值不变，后项应该是　 21
　 ；若把后项“7”改为
“1”，要使比值不变，前项应该是　 　
【思路分析】比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0 除外)，比值才不变；据此解答．
【规范解答】解：把 a：7(a≠0)的前项乘 3，比值不变，后项应该是 7×3＝21；
若把后项“7”改为“1”，要使比值不变，前项应该是 a÷7＝ ．
故答案为：21， ．
【名师点评】此题考查比的性质的运用．
2．(2016•罗平县校级模拟)5：6的前项增加 10，要使比值不变，后项应增加　 12
　 ．
【思路分析】根据 5：6的前项增加 10，可知比的前项由 5变成 15，相当于前项乘 3；根据比的性质，
要使比值不变，后项也应该乘 3，由 6变成 18，也可以认为是后项加上 18 6﹣＝12；据此进行选择．
【规范解答】解：比的前项：5+10＝15，由 5变成 15，相当于前项乘 3；
要使比值不变，后项也应该乘 3，由 6变成 6×3＝18，即后项加上 18 6﹣＝12．
答：后项应增加 12．
故答案为：12．
【名师点评】此题考查比的性质的运用，比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外)，比值才不变．
3．(2019•福田区)5：2的后项扩大到原来的 3倍，要使比值不变，前项应该加上　 10
　 ．
【思路分析】比的性质是指比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外)，比值不变；据此分析解答．
【规范解答】解：5：2的后项扩大到原来的 3倍，要使比值不变，
前项也应扩大 3倍，由 5变成 15，也就是前项应该加上 15 5﹣＝10；
故答案为：10．
【名师点评】此题主要利用比的性质解决问题，只有比的前项和后项同时乘或除以相同的数 (0 除外)，
比值才会不变．
考点三：按比分配
【例 3】在一场篮球比赛中，甲队全场共得了 99 分，上半场和下半场所得分数的比是 5：4．甲队下半场得
了　 44
　 分．
【思路分析】上半场和下半场得分的比是 5：4，则下半场得分占全场共得分的 ，用全场共得分乘
下半场得占的比率即可得甲队下半场得了多少分．
【规范解答】解：99×
＝99×
＝44(分)
答：甲队下半场得了 44 分．
故答案为：44．
【名师点评】本题考查了比的应用，关键是得出下半场得分占全场共得分的 ．
1．用 84cm 长的铁丝围成一个直角三角形，这个直角三角形三边长度的比是 3：4：5．这个直角三角形的
面积是　 294
　 cm2．
【思路分析】根据“三角形三条边的长度的比是 3：4：5”，可知这个三角形的两条直角边分别占了周
长的 和 ，三角形的周长是 84 厘米，求出两条直角边的长，再根据三角形的面积公式进行
计算即可．
【规范解答】解：84× ＝21(厘米)
84× ＝28(厘米)
21×28÷2＝294(平方厘米)
答：这个直角三角形的面积是 294 平方厘米．
故答案为：294．
【名师点评】本题的重点是根据按比例分配的知识求出这个三角形的两条直角边是多少，再根据三角形
的面积公式进行计算．
2．(2020•中原区)在三角形 ABC 中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A＝　 30
　 °；按角的大小分类，这个三
角形是　直角　三角形．
【思路分析】根据三角形的内角和定理，三角形三个内角之和是 180°，把 180°平均分成(1+2+3)份，用
除法即可求出 1份(∠A)的度数．∠A是这个三角形中最小的角，要想把这个三角形按角分类，还须求出
这个三角形撮大角∠C的度数，用∠A的度数乘 3就是∠C的度数，然后根据∠C的度数即可对这个三
角形按角分类．
【规范解答】解：180°÷(1+2+3)
＝180°÷6
＝30°
30°×3＝90°
答：∠A＝30°；按角的大小分类，这个三角形是直角三角形．
故答案为：30，直角．
【名师点评】此题主要考查了三角形内角和定理、按比例分配、三角形(按角)的分类．
3．(2017•长沙)有A、B两条绳，第一次剪去 A的 ，B的 ；第二次剪去 A绳剩下的 ，B绳剩下的 ；
第三次剪去 A绳剩下的 ，B绳剩下的 ，最后 A剩下的长度与 B剩下的长度之比为 2：1，则原来两绳
长度之比是　 10
： 9
　 ．
【思路分析】本题要分别算出 A、B两条绳剪三次之后还剩下原来的几分之几，最后通过剩下的部分之
比算出原来长度之比．
【规范解答】解：(1)a绳第二次剪去：(1﹣)× ＝ ，
第三次剪去：(1﹣﹣)x＝ ，
a绳还剩下：1﹣﹣﹣ ＝ ；
(2)b绳第二次剪去：(1﹣)× ＝ ，
第三次剪去：(1﹣ ﹣ )× ＝ ，
b绳还剩下：1﹣﹣﹣＝ ；
(3)最后 a剩下的长度与 b剩下的长度之比为 2：1，那么两绳长度的比为：(2÷ )：(1÷ )＝10：9
故答案为：10：9．
【名师点评】完成本题要细心，一步步求出最后剩多少，再求出原来的比．
一．选择题(共6小题)
1．(2020•蕲春县)甲走完一段路要 0.25 小时，乙走完这段路要 25 分钟，甲与乙的速度比是(　　)
A．1：1 B．4：5 C．3：5 D．5：3
【思路分析】首先把 0.25 小时化成分钟数，用 0.25 乘进率 60 得15 分，把这段路的总长看作单位“1”，
先分别求出速度，进一步写比并化简比即可．
【规范解答】解：0.25×60＝15(分)
：
＝( ×75)：( ×75)
＝5：3
答：甲与乙的速度比是 5：3．
故选：D．
【名师点评】本题的关键是根据“时间、路程、速度”三者之间的关系求出速度，再写比，最后利用比
的基本性质化成最简比．
2．(2020•无锡)钟面上，分针与秒针的转动速度的比是(　　)
A．1：12 B．60：1 C．1：60
【思路分析】1分＝60 秒，分针转1个小格，秒针就转 60 个小格，所以分针和秒针的转动速度的比是
1：60；据此解答即可．
【规范解答】解：分针转1圈，秒针转60 圈，所以其速度比是 1：60；
故选：C．
【名师点评】本题重点是明白时间单位中分和秒的关系．
3．(2020•徐州)用两根绳子测量同一口井的深度，第一根绳子有 露在井口外面，第二根绳子有 露在井口
外面，那么第一根绳子与第二根绳子的长度比是(　　)
A．5：3 B．3：5 C．5：6 D．6：5
【思路分析】首先根据第一根绳子有 露在井口外面，可得这口井的深度＝第一根绳子的长度×(1﹣)
＝第一根绳子的长度×；再根据第二根绳子有 露在井口外面，可得这口井的深度＝第二根绳子的长
度×(1﹣)＝第二根绳子的长度×；所以第一根绳子的长度×＝第二根绳子的长度×．
然后把第一根绳子的长度看作比的一个外项，第二根绳子的长度看作比的一个内项，那么比的另一个外
项是 ，比的另一个内项是 ，构造出比例，再化简，求出第一根绳子与第二根绳子的长度比是多少即
可．
【规范解答】解：这口井的深度＝第一根绳子的长度×(1﹣)＝第一根绳子的长度×；
这口井的深度＝第二根绳子的长度×(1﹣)＝第二根绳子的长度×；
第一根绳子的长度×＝第二根绳子的长度×；
所以第一根绳子的长度：第二根绳子的长度
＝
＝( )：( ×15)
＝12：10
＝6：5
答：第一根绳子与第二根绳子的长度比是 6：5．
故选：D．
【名师点评】此题主要考查了比的意义和应用，要熟练掌握．
4．(2020•安新县)一种糖水，糖与水的比是 1：4，再加入20 克含糖率是 20%的糖水，那么含糖率将(　　)
A．不变 B．下降C．升高 D．无法确
【思路分析】先求出糖与水的比是 1：4的糖水的含糖率，然后再判断加入20 克含糖率是 20%的糖水混
合后的糖水的含糖率的变化情况．
【规范解答】解：1÷(1+4)×100%
＝0.2×100%
＝20%
再加入20 克含糖率是 20%的糖水后，含糖率将不变．
故选：A．
【名师点评】完成本题要认真审题弄清含混合后糖率的的高低，然后进一步作出选择．
5．下面说法中错误的是(　　)
A．一杯糖水，糖占糖水的 ，糖和水的比是 1：9
B．一杯糖水，糖占糖水的 ，水和糖水的比是 9：10
C．一杯糖水，糖是水的10%，糖占糖水的
D．一杯糖水，糖占糖水的 ，糖是水的10%
【思路分析】一杯糖水，糖占糖水的 ，把糖看作 1份，则糖水是10 份，水是10 1﹣＝9份，糖和水
的比是 1：9；
一杯糖水，糖占糖水的 ，把糖看作 1份，则糖水是10 份，水是10 1﹣＝9份，水和糖水的比是 9：
10；
一杯糖水，糖是水的10%，10%＝ ，把糖看作 1份，则水是10 份，糖水是10+1＝11 份，糖占糖水
的 ；
一杯糖水，糖占糖水的 ，把糖看作 1份，则糖水是11 份，水是11 1﹣＝10 份，糖占水的 ＝10%．
【规范解答】解：A、把糖看作 1份，则糖水是10 份，水是10 1﹣＝9份，糖和水的比是 1：9(原题说法
正确)；
B、把糖看作 1份，则糖水是10 份，水是10 1﹣＝9份，水和糖水的比是 9：10(原题说法正确)；
C、10%＝ ，把糖看作 1份，则水是10 份，糖水是10+1＝11 份，糖占糖水的(原题说法错误)；
D、把糖看作 1份，则糖水是11 份，水是11 1﹣＝10 份，糖占水的 ＝10%(原题说法正确)．
故选：C．
【名师点评】解答此题的关键是根据题意把糖看作 1份，求出相对应的糖水、水所占的份数．
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