（学霸自主提优拔尖）苏教版六年级数学上册第一单元长方体和正方体（知识点、常考题、易错题、拓展题）名师详解与训练二

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苏教版六年级上册第一单元：长方体和正方体详解与训练二
一、正方体表面涂色的规律及对应考题
（一）正方体表面涂色的规律
⑴ 当正方体的棱长是 a 厘米时，这个正方体可以切成棱长是 1 厘米的小正
方体的个数是 n×n×n。如果用 N 表示这样的个数，那么：N=n×n×n(个）
⑵ 我们把切开的、棱长是 1 厘米的小正方体分为四种：
⑶ 上面四种情况的小正方体都是从原来的正方体中切出来的，所以各部分
加起来应当等于切成的总个数。也就是：N=n×n×n=N3＋N2＋N1＋N0
（二）正方体表面涂色规律的对应考题（答案见参考答案）
1.（考点）一个表面涂色的正方体,把这个正方体的每条棱平均分成 3 份、4 份、
5……再切成同样大的小正方体。那么每种情况中，分割产生的小正方体的总
个数各是多少个？请填写下表。
2.（考点）三面涂色的小正方体的个数。
观察发现,3 面涂色的小正方体都在大正方体（ ）的位置上，正方体
有
（ ）个顶点,即 3 面涂色的小正方体有（ ）个。
3.（考点）二面涂色的小正方体的个数。
观察发现,2 面涂色的小正方体都在大正方体（ ）的中间。把这个
正方体的每条棱平均分成 3 份、4 份、5……再切成同样大的小正方体。那么每
种情况中，分割产生的小正方体 2 面涂色的总个数各是多少个？请填写下表。
棱长平均分的份数 3 份 4 份 5 份 …… n 份
小正方体的总个数 ……
三面涂色的记作 N3： N3=8 （个），因为有 8 个顶点。
两面涂色的记作 N2 ： N2=12 （ n － 2 ）（个）
一面涂色的记作 N1 ： N1=6 （ n － 2 ） ² （个）
没有一个面涂色的记作 N0 ： N0= （ n － 2 ） ³
（个）。
棱长平均分的份数 3 份 4 份 5 份 …… n 份
每条棱涂色的小正方体的个数
2 面涂色的小正方体的总个数
4.（考点）1 面涂色的小正方体的个数。
观察发现,1 面涂色的小正方体都在大正方体（ ）的中间。把这个正
方体的每条面平均分成 3 份、4 份、5……再切成同样大的小正方体。那么每种
情况中，分割产生的小正方体 2 面涂色的总个数各是多少个？请填写下表。
棱长平均分的份数 3 份 4 份 5 份 …… n 份
每个面涂色的小正方体的个数
一面涂色的小正方体的总个数
5.（考点）6 个面都不涂色的小正方体的个数。
观察发现,6 个面都不涂色的小正方体在大正方体的（ ）。把这个正
方体的每条面平均分成 3 份、4 份、5……再切成同样大的小正方体。那么每种
情况中，分割产生的小正方体没有涂色的总个数各是多少个？请填写下表。
棱长平均分的份数 3 份 4 份 5 份 …… n 份
内部没有涂色的小正方体的个数
没有涂色的小正方体的总个数
6. （江苏南通期末卷）下图是将涂色的正方体割成小正方体的示意图。
（12 分）
① 号图表示将正方体的棱长平均分成 2 份；②号图表示将正方体的棱长平均
分成 3 份；③号图表示将正方体的棱长平均分成 4 份；那么每种情况中，分
割产生的小正方体三面涂色、两面涂色、一面涂色的个数各是多少个？将涂
色的大正方体的棱长平均分成 n 份呢？请填写下表。
棱长平均分的份数 2 份 3 份 4 份 …… n 份
三面涂色的小正方体的个数 ……
二面涂色的小正方体的总个数 ……
一面涂色的小正方体的总个数 ……
没有涂色的小正方体的总个数 ……
7.（常考题）一个棱长 1 分米的正方体木块，表面涂满了红色，把它切
成棱长 1 厘米的小正方体。在这些小正方体中：
（1）三个面涂有红色的有多少个？•
（2）仅有两面涂有红色的有多少个？••••
（3）仅有一个面涂有红色的有多少个？•
（4）六个面都没有涂色的有多少个？
第一单元长方体和正方体学霸拓展提优训练二
1.把 4 个棱长为 6 厘米的正方体木块拼成 1 个长方体后,棱长总和减少了多少厘
米?
2.一个长方体纸盒的长是宽的 3 倍，宽比高少 5 厘米。这个长方体的棱长总和
是
92 厘米，它的长、宽、高各为多少厘米?•(用方程解答)
3.下面的长方形硬纸板各有若干张,从中选三种围成一个长方体,有几种不同的
选法?
4.如图是由四个完全一样的正方体拼成的长方体，每个正方体的六个面上分别
写有 A、B、C、D、E、F 六个字母,判断每个正方体相对的面所写的字母。
5.在下图中再添一个小正方形，使它能围成一个正方体。你有多少种不同的方
法?
6.亮亮用 8 个完全相同的小正方体拼成了一个表面积是 72 平方厘米的大正方体。
你能帮亮亮算算原来这 8 个小正方体的表面积之和是多少吗?
7、下面玻璃缸中已有高 1.5dm 的水，小红用旁边的水杯装满水往玻璃缸中倒了
10 次，水会溢出来吗?请通过计算来说明。
8、一个长方体，如果高增加 2 厘米，就变成了一个正方体(如下图)，这时表面
积比原来增加 48 平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米?
9. 爸爸在院子里用混凝土浇筑了一个无盖的长方体水槽(如图)。•从外面量，
水槽长 15 分米，宽 8 分米，高 5 分米，混凝土厚 1 分米.
(1)这个水槽的容积是多少升?
(2) 浇筑这样个水槽需多少混凝土?
10.如图所示，将一个长方体沿长平均截成 3 段，每段 2 米，表面积增加了 16
平方米，原长方体的体积是多少立方米?
11.（常考题）一个涂满红色的正方体，每面等距离切若干刀后，得到一
些同样大的小正方体，其中两面涂红的共计 60 块，那么一面涂红的小正方
体有多少块
12.（拓展延伸）一个涂满红色的正方体，每面等距离切若干刀后会得到
一些同样大的小正方体，那么：
（1）要想产生 54 块仅有一面涂有红色的小方块，至少应在各面上切___
___刀。
（2）要想切出 125 块大小一样、各面都没有颜色的小正方体，应当在这
个大正方体的各面上切______刀（各面切的刀数一样）。
13.[拓展延伸]把一个长为 5cm、宽 4cm、高 6em 的长方体木块表面全部涂
上红色,然后切成棱长为 1 厘米的小正方体木块。
（1）切成后，有多少块小正方体木块没有涂上红色?
（2）切开后,有多少块小正方体木块分别有 2 面、1 面被涂有红色?
参考答案与难题详解见下一页
答案就是咱无声的老师
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