五年级数学下册

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第一单元 观察物体（三）
1、 不同角度观察一个物体 ， 看到的面都是两个或三个相邻的面。
2、 不可能一次看到长方体或正方体相对的面。
注意点
1）这里所说的正面、左面和上面，都是相对于观察者而言的。
2）站在任意一个位置，最多只能看到长方体的 3 个面。
3）从不同的位置观察物体，看到的形状可能是不同的。
4）从一个或两个方向看到的图形是不能确定立体图形的形状的。
5）同一角度观察不同的立体图形，得到的平面图形可能是相同，也可能是不同的。
6）如果从物体的右面观察，看到的不一定和从左面看到的完全相同。
第二单元 因数和倍数
1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
整数与自然数的关系：整数包括自然数。
2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。
例：12 是6的倍数，6是12 的因数。
（1）数 a 能被 b 整除，那么 a 就是 b 的倍数，b 就是 a 的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单
独存在。
（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。
  一个数的因数的求法：成对地按顺序找。
（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
   一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。
（4）2、3、5的倍数特征
1） 个位上是 0，2，4，6，8 的数都是 2 的倍数。
2）一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
3）个位上是 0 或 5 的数，是 5 的倍数。
4）能同时被 2、3、5 整除（也就是 2、3、5 的倍数）的最大的两位数是 90，最小的三位数是 120。
同时满足 2、3、5 的倍数，实际是求 2×3×5=30 的倍数。
5）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。
3、完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。
如：6的因数有：1、2、3（6除外），刚好 1+2+3=6，所以 6是完全数，小的完全数有 6、28 等
4：自然数按能不能被 2 整除来分：奇数、偶数。
奇数：不能被 2 整除的数。叫奇数。也就是个位上是 1、3、5、7、9 的数。
偶数：能被 2 整除的数叫偶数（0 也是偶数），也就是个位上是 0、2、4、6、8 的数。
最小的奇数是 1，最小的偶数是 0.
关系： 奇数+、-偶数=奇数  
奇数+、-奇数=偶数  
偶数+、-偶数=偶数。
5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0 四类.
质数（或素数）：只有 1 和它本身两个因数。
合数：除了 1 和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
1：只有 1 个因数。“1”既不是质数，也不是合数。
最小的质数是 2，最小的合数是 4，连续的两个质数是 2、3。
每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
20 以内的质数：有 8 个（2、3、5、7、11、13、17、19）
100 以 内 的 质 数 有 25 个 ：
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、
89、97
100 以内找质数、合数的技巧：
看是否是 2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
关系：奇数×奇数=奇数
质数×质数=合数
6、最大、最小
A的最小因数是：1；
A的最大因数是：A；
A的最小倍数是：A；
最小的自然数是：0；
最小的奇数是：1；
最小的偶数是：0；
最小的质数是：2；
最小的合数是：4；
7、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）。
比如：30 分解质因数是：（30= 
2×3×5 
）
8、互质数：公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5 和 7
两个合数的互质数：8 和 9
一质一合的互质数：7 和 8
两数互质的特殊情况：
⑴1 和任何自然数互质；
⑵ 相邻两个自然数互质；
⑶ 两个质数一定互质；
⑷2 和所有奇数互质；
⑸ 质数与比它小的合数互质；
9、公因数、最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
用短除法求两个数或三个数的最大公因数（除到互质为止，把所有的除数连乘起来）
几个数的公因数只有 1，就说这几个数互质。
如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。
如果两数互质时，那么 1 就是它们的最大公因数。
10、公倍数、最小公倍数
几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。
用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。
如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。
11、求最大公因数和最小公倍数方法
用 12 和 16 来举例
1、求法一：（列举求同法）
最大公因数的求法：
12 的因数有：1、12、2、6、3、4
16 的因数有：1、16、2、8、4
最大公因数是 4
最小公倍数的求法：
12 的倍数有：12、24、36、48、…
16 的倍数有：16、32、48、…
最小公倍数是 48
2、求法二：（分解质因数法）
12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因数是：
2×2=4（相同乘
）
最小公倍数是：
2×2×3×2×2= 48（相同乘
×
不同乘
）
第三单元 长方体和正方体
1、由 6 个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。 两个面相交的边
叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
长方体特点：
（1）有 6 个面，8 个顶点，12 条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。
（2）一个长方体最多有 6 个面是长方形，最少有 4 个面是长方形，最多有 2 个面是正方形。
2、由 6 个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。
正方体特点：
（1）正方体有 12 条棱，它们的长度都相等。
（2）正方体有 6 个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。
（3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。
相
同
不同点
面 棱
点
长方体 都有 6 个
面，12 条
棱，8 个顶
点。
6 个面都是长方形。
（有可能有两个相对的面是正方
形）。
相对的棱的长度都相等
正方体 6 个面都是正方形。 12 条棱都相等。
3、长方体、正方体有关棱长计算公式：
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4
L=（a＋b＋h）×4 
长=棱长总和÷4－宽 －高
a=L÷4－b－h
宽=棱长总和÷4－长 －高
b=L÷4－a－h
高=棱长总和÷4－长 －宽
h=L÷4－a－b
正方体的棱长总和=棱长×12
L=a×12
正方体的棱长=棱长总和÷12
a=L÷12
4、长方体或正方体 6 个面和总面积叫做它的表面积。
长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2  
S=2（ab＋ah＋bh）
无底（或无盖）
长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）－ab
S=2（ah＋bh）＋ab
无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2
S=2（ah＋bh）
贴墙纸
正方体的表面积=棱长×棱长×6  S=a×a×6用字母表示：S= 6a2
生活实际：
油箱、罐头盒等都是 6 个面
游泳池、鱼缸等都只有 5 个面
水管、烟囱等都只有 4 个面。
注意 1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加）
注意 2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。
（如长、宽、高各扩大 2 倍，表面积就会扩大到原来的 4 倍）。
5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
长方体的体积=长×宽×高 V=abh
长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h
宽=体积÷长÷高  b=V÷a÷h    
高=体积÷长÷宽  h= V÷a÷b
正方体的体积=棱长×棱长×棱长 
V=a×a×a=a3
读作“a 的立方”表示 3 个 a 相乘，（即 a·a·a）
长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
长方体（或正方体）的体积=底面积×高  
用字母表示：V=S h（横截面积相当于底面积，长相当于高）。
注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。
6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。
固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等。
常用的容积单位有升和毫升也可以写成 L 和 ml。
1升=1 立方分米
1毫升=1 立方厘米
1升=1000 毫升
(1L = 1dm31ml = 1cm3)
长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。
但要从容器里面量长、宽、高。（所以，对于同一个物体，体积大于容积。）
注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。
（如长、宽、高各扩大 2 倍，体积就会扩大到原来的 8 倍）。
*形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。
排水法的公式：
V 物体 =V 现在－V 原来
也可以 V 物体 =S×(h现在- h 原来)
V 物体 =S×h 升高
8、【体积单位换算】　　　
大单位×进率=小单位
小单位÷进率=大单位
进率：1 立方米＝1000 立方分米＝1000000 立方厘米（立方相邻单位进率 1000）
1 立方分米＝1000 立方厘米＝1 升＝1000 毫升
1 立方厘米＝1 毫升
1 平方米=100 平方分米=10000 平方厘米
1平方千米=100 公顷=1000000 平方米
注意：长方体与正方体关系
把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。
重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率
大单位×进率=小单位
小单位÷进率=大单位
长度单位：
1千米=1000米1分米=10厘米
1厘米=10 毫米1 分米=100 毫米
1 米=10 分米=100 厘米=1000 毫米
（相邻单位进率 10）
面积单位：
1平方千米=100 公顷
1平方米=100 平方分米
1平方分米=100 平方厘米
1公顷=10000 平方米（平方相邻单位进率 100）
质量单位：
1吨=1000 千克
1千克=1000 克　
人民币：
1元=10 角1 角=10 分1 元=100 分
第四单元 分数的意义和性质
1、分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份
或几份都可以用分数来表示。
2、单位“1”：一个整体可以用自然数 1来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就是把什么平均分什
么就是单位“1”。）
3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如 4/5 的分数单位是
1/5。
4、分数与除法
A÷B=A/B（B≠0，除数不能为 0，分母也不能够为0） 例如：4÷5=4/5
5、真分数和假分数、带分数
1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数<1。
2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数≧1
3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1.
4、真分数＜1≤假分数
真分数＜1＜带分数
6、假分数与整数、带分数的互化
（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子， 如：
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