五年级数学下册 典型例题系列之 第四单元最大公因数与最小公倍数部分（解析版）（人教版）

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2021-2022 学年五年级数学下册典型例题系列之
第四单元最大公因数与最小公倍数部分（解析版）
编者的话：
《2021-2022 学年五年级数学下册典型例题系列》是基于教材
知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例
题和专项练习两大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用
两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点
在于选题经典，题型多样，题量适中。
本专题是第四单元最大公因数与最小公倍数部分。本部分内容
主要是最大公因数和最小公倍数的求法及其应用，建议作为本章重
点内容进行讲解，考点划分较多，共划分为十四个考点，欢迎使用。
【考点一】求最大公因数。
【方法点拨】
1.最大公因数的定义
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最
大公因数
2.求两个数的最大公因数的方法：
（1）列举法；（2）短除法
3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。
注意：求两个数的最大公因数用小括号表示。
【典型例题】
求最大公因数。
（1）18 和 6 （2）11 和 13 （3）8 和 36 （4）18 和 24
解析：6；1；4；6
【对应练习 1】
求下面每组数的最大公因数。
6 和 10 18 和 24 34 和 17
解析：2；6；17
【对应练习 2】
写出每组数的最大公因数。
（4，50）＝ （10，25）＝ （20，21）＝ （12，36）＝
解析：2；5；1；12
【对应练习 3】
求两组数的最大公因数。
24 和 60 36 和 45
解析：12；9
【考点二】求最小公倍数。
【方法点拨】
1.最小公倍数的定义：
几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍
数。
2.求最小公倍数的方法：
（1）列举法；（2）短除法。
3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。
注意：求两个数的最小公因数用中括号表示。
【典型例题】
求下面每组数的最小公倍数。
（1）28 和 21 （2） 11 和 7 （3）34 和 68
解析：84；77；68
【对应练习 1】
求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。
12 和 10 6 和 15
42 和 7
8 和 9 18 和 24
11 和 17
解析：
2，60；3，30；7，42
1，72；6，72；1，187
【对应练习 2】
求下面每组数的最小公倍数。
8 和 10 12 和 18 13 和 39
解析：40；36；39
【考点三】分解质因数求最大公因数和最小公倍数。
【方法点拨】
分解质因数求最大公因数和最小公倍数：
求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是
这几个数的公有质因数的连乘积。
【典型例题】
已知 a＝2×3×7，b＝2×5×7，a 和 b 的最小公倍数是( )，最大公因
数是( )。
解析：210 14
a 和 b 的最小公倍数是 2×3×5×7＝210；
它们的最大公因数是 2×7＝14。
【对应练习 1】
A＝3×5×7，B＝2×3×3×7，则 A 和 B 的最大公因数是( )，最小公倍
数是( )。
解析：
因为 A＝3×5×7，B＝2×3×3×7，所以有：
最大公因数：3×7＝21
最小公倍数：3×5×7×2×3＝630
【对应练习 2】
A=2×5，B=3×5，A 和 B 的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
解析：5 30
【对应练习 3】
A＝2×2×3，B＝2×3×3，A 和 B 的最小公倍数是( )。
解析：36
【考点四】求三个数的最大公因数和最小公倍数。
【方法点拨】
求三个数的最大公因数和最小公倍数用短除法。
【典型例题】
求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。
13、39 和 117 42、56 和 84
240、840 和 360
解析：
（13,39,117）=13 （42,56,84）=14 (240,840,360)=120
[13,39,117]=117 [42,56,84]=168 [240,840,360]=5040
【对应练习 1】
求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。
54，72 和 90　　　 60，90 和 120
解析：略。
【对应练习 2】
用短除法求下列数的最大公因数和最小公倍数．
286 和 429 384，192 和 64
解析：
143，858；64，384
【考点五】求最大公因数和最小公倍数的特殊情况一：互质数。
【方法点拨】
1.公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。
2.当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。
【典型例题】
b 和 t 是互质数，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
解析：1 bt
【对应练习 1】
两个连续的自然数（均不为 0），它们的最大公因数是( )，最小公倍
数是( )。
解析：1 它们的乘积
【对应练习 2】
如果 a，b 的公因数只有 1，那它们的最大公因数是( )，最小公倍数是(
)。
解析：1 ab
【考点六】求最大公因数和最小公倍数的特殊情况二：倍数关系。
【方法点拨】
当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的
数。
【典型例题 1】
如果 m＝9n（m 和 n 都是不为 0 的整数），那么 m 和 n 的最大公因数是（
）。
A．m B．9 C．n D．mn
解析：C
【对应练习 1】
甲数是乙数的倍数，则两数的最大公因数是（ ）。
A．甲数 B．乙数 C．无法确定
解析：B
【对应练习 2】
已知 a÷b＝8，那么 a 和 b 的最大公因数是（ ）。
A．a B．b C．8
解析：B
【对应练习 3】
12 和 60 的最大公因数是( )。
解析：12
【典型例题 2】
3 和 9 的最小公倍数是( )
解析：9
【对应练习 1】
A÷B＝5（A 和 B 都不为 0），A 和 B 的最小公倍数是( )。
解析：A
【对应练习 2】
如果 a÷b＝3（a、b 都是非零自然数），那么 a 和 b 的最小公倍数是(
)。
解析：a
【考点七】最大公因数的应用：分线段问题。
【方法点拨】
分线段问题解题步骤：
（1）分析每小段的长度和每条线段长度的关系；
（2）短除法求最大公因数。
注意：要看清题目问的是每个小段的长度还是求一共可以分成多少个小段。
【典型例题】
两条钢条，一根长 18 米，一根长 24 米，要把它们截成同样长的小段且没有剩
余，那么每段最长可以是多少米？一共截成多少段？
解析：
每段最长∶（18，24）=2×3=6（米）一共可以截∶18÷6+24÷6=7（段）。
【对应练习 1】
两根电线，第一根长 28 米，第二根长 42 米，要把它们截成同样长的小段，而
目不能有剩余，每小段最长是多少米?此时一共能截成几段?
解析：
最大公因数：（28，42）=2×7=14
28÷14+42÷14=2+3=5（段），每小段最长是 14 米，一共能截成 5 段。
【对应练习 2】
将两根长分别为 24 米和 16 米的绳子，截成相等的小段并且没有剩余，剪完后
的小段绳子最长是多少米?
解析：
（24，16）=8（米）
【对应练习 3】
有两根绳子，长度分别是 27 米和 45 米，要把它们截成同样长的小段，没有剩
余，每小段绳子最长是多少米？一共可以截成多少小段？
解析：
27＝3×3×3
45＝3×3×5
最大公因数：3×3＝9
27÷9＋45÷9
＝3＋5
＝8（段）
答：每小段绳子最长是 9 米，一共可以截成 8 小段。
【考点八】最大公因数的应用：分长方形问题。
【方法点拨】
分长方形问题解题步骤
（1）分析每个小正方形的边长和大长方形的长、宽之间的关系；
（2）短除法求最大公因数。
注意：要看清题目问的是小正方形的边长还是求一共可以分成多少个小正方形。
【典型例题】
给一个长 32 分米，宽24 分米的房间铺正方形地砖，如果要让使用的地砖必须
都是整块，选择的地砖边长最大是多少分米?至少需要几块?
解析：
32 和 24 的最大公因数是 2×2×2=8，即正方形地砖的边长是 8 分米
(32÷8)×(24÷8)=4×3 =12（块）
答：选择的地砖边长最大是 8 分米，至少需要12块。
【对应练习 1】
一个长方形铜片长24厘米，宽18 厘米，要剪成面积相等的小正方形，且没有
剩余，每个正方形的面积最大是多少平方厘米?一共可以剪成多少块这样的小正
方形?
解析：
24 和 18 的最大公因数是 6
6×6=36（cm2 ）
24÷6=4（个）
18÷6=3（个）
3×4=12（个）
答∶每个正方形的面积最大是 36cm²，一共可以剪成12块这样的小正方形。
【对应练习 2】
丁丁家卫生间地面是一个长方形，长 30dm，宽24dm。如果要选择正方形方砖来
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