五年级数学下册第7讲用方程解决问题（教师版）（知识梳理+典例分析+举一反三+阶梯训练）（北师大版）

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第 7 讲用方程解决问题

知识点一：形如 ax 士 bx=c 方程的解法

1.解形如“ax 士 bx=c”的方程时，要先运用乘法分配律转化为“（a 土 b）x=c”的形式，再

根据等式的性质求出 x 的值。

2.用方程解决含有两个未知数的实际问题，设其中一个未知量为 x，另一个未知量用含 x 的式

子表示出来，根据题中的等量关系列方程解答。

知识点二：用方程解决相遇问题

1.相遇问题的特征及等量关系：

甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，相遇时两人分别走的路程之和，就是两地之间的总

路程。然后根据速度、时间和路程三者之间的关系列出等量关系：

（1）甲走的路程+乙走的路程=总路程（2）甲走的路程=甲的速度×时间（3）乙走的路程=

乙的速度×时间

2.列方程解决问题的一般步骤：

（1）根据题意寻找等量关系；（2）根据等量关系列出方程；（3）解方程；（4）检查结果

是否正确。

考点 1：形如 ax 士 bx=c 方程的解法

【例 1】（2019 秋•清河区校级月考）看图列方程并求解．

【思路分析】（1）设红球个，则绿球有个，根据等量关系：红球个数绿球个数个，列方程解

答即可；

（2）设宽为米，则长米，根据等量关系：（长宽），列方程解答即可．

【规范解答】解：（1）设红球个，则绿球有个，

，

答：红球 7个；

（2）设宽为米，则长米，

，

答：宽为 0.3 米．

【名师点评】本题考查了图文应用题，关键是仔细读图，弄清数量关系；同时要掌握解形如“ax 士bx=c”

的方程的解法，要先运用乘法分配律转化为“（a土b）x=c”的形式，再根据等式的性质求出 x的值。

1．（2019 秋•张掖期中）解方程：

．

【思路分析】先算出的和，再根据等式的性质，方程两边同时除以 7解答，

先算出的差，再根据等式的性质，方程两边同时乘 5解答，

先算出，再根据等式的性质，方程两边同时减 12，再同时除以 7解答．

【规范解答】解：，，，

， 0.2 ，，

，，，

；；，

，

【名师点评】本题主要考查学生根据等式的性质，解方程的能力．

2．看图列方程，并求出方程的解．

【思路分析】（1）设苹果树有棵，则梨树就是棵，根据等量关系：苹果树棵数梨树棵数总棵数

120 棵，据此列出方程即可解答问题；

（2）设甲组有人，则乙组有人，根据等量关系：甲组人数乙组人数总人数 44 人，列出方程即

可解答问题．

【规范解答】解：（1）设苹果树有棵，则梨树就是棵，根据题意可得：

（棵

答：苹果树有 30 棵，梨树有 90 棵．

（2）设甲组有人，则乙组有人，根据题意可得：

（人

答：甲组有 20 人，乙组有 24 人．

【名师点评】解答此题容易找出基本数量关系，由此列方程解决问题．

3．（2019 春•沂源县期中）看图列方程并求解．

【思路分析】（1）根据图意，总长度为，又知总厂 125 米，由此列方程为，解方

程即可；

（2）女生人，男生人，那么男生比女生多人，又知男生比女生多 24 人，由此列方程为

．

【规范解答】解：（1）

答：是 50 米．

（2）设女生人，

答：女生 12 人．

【名师点评】解答此题的关键是根据图示找准等量关系式，然后再列方程解答即可．

考点 2：用方程解决相遇问题

【例 2】（2019 春•绍兴期末）两车同时从甲乙两地相对开出，甲每小时行 48 千米，乙车每小时行 54 千米，

相遇时两车离中点 36 千米，甲乙两地相距多少千米？（列方程解决问题）

【思路分析】乙的速度快，相遇时，乙已经行过了中点，比全路程的一半多 36 千米，甲行驶的路程就比全

路程的一半少 36 千米，它们的路程差就是千米；相遇时间相同，设相遇时间是小时，根据甲

行驶路程乙行驶路程路程差，列出方程进行解答，进而求出全程．

【规范解答】解：设相遇时间是小时；

（千米）．

答：甲乙两地相距 1224 千米．

【名师点评】本题明确相遇时间相同，设出相遇时间，根据甲行驶路程乙行驶路程路程差，列出方程

进行解答．

1．（2019 秋•射阳县期末）甲、乙两人沿着 400 米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行．

甲每分钟跑 280 米，乙每分钟跑 240 米．经过多少分甲比乙多跑两圈？（用方程解答）

【思路分析】设分钟后，甲比乙多跑两圈，则此时甲跑了米，乙跑了米，多跑两圈即

米，由此可得方程：．

【规范解答】解：设分钟后，甲比乙多跑两圈，可得方程：

．

，

．

答：经过 20 分钟后，甲比乙多跑两圈．

【名师点评】根据路程差速度差追及时间用算式法列式为：．

2．（2019 春•溧阳市期末）学校环形跑道长 400 米，笑笑和淘气从跑道的同一地点同时出发，都按顺时针

方向跑，经过 20 分钟，笑笑第一次追上淘气．淘气的速度是 240 米分，笑笑每分跑多少米？（列方程解

答）

【思路分析】笑笑第一次追上淘气时，笑笑比淘气多跑一圈，即 400 米，设笑笑每分钟跑米，在 20 分钟

跑米，淘气跑了米，然后根据笑笑跑的路程淘气跑的路程米列出方程求解．

【规范解答】解：设笑笑每分钟跑米，则：

答：笑笑每分钟跑 260 米．

【名师点评】本题考查了环形跑道上的追及问题．利用追及问题常用的等量关系为：甲路程乙路程环

形跑道的长度得出是解题关键．

3．（2019 春•盐城校级月考）甲、乙两人沿着 400 米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而

行．甲每分钟跑 265 米，乙每分钟跑 225 米．经过多少分钟甲比乙多跑一圈？（列方程解答）

【思路分析】设分钟后，甲比乙多跑 1圈，则此时甲跑了米，乙跑了米，多跑 1圈即 400 米，

由此可得方程：，解方程即可．

【规范解答】解：设分钟后，甲比乙多跑 1圈，

答：经过 10 分钟甲比乙多跑一圈．

【名师点评】根据路程差速度差追及时间用算式法列式为：．

考点 3：用方程解决和差倍问题

【例 3】（2019 秋•古丈县期末）果园里桃树和杏树一共有 180 棵，杏树的棵数是桃树的 3倍，桃树和杏树

各有多少棵？（列方程解）

【思路分析】根据题干分析可得，此题等量关系是：“桃树的棵数杏树的棵数总棵数 180 棵”，由此

设桃树棵，则杏树就是棵，根据等量关系列出方程即可解答问题．

【规范解答】解：设桃树棵，则杏树就是棵，根据题意可得方程：

，

则杏树有：（棵，

答：桃树 45 棵，杏树 135 棵．

【名师点评】此题也可以利用和倍公式解答：把总棵数看做 4份，则桃树占其中的 1份，杏树占其中的 3

份，则根据除法的意义求出 1份就是桃树的棵数，再乘 3就是杏树的棵数：（棵，

（棵，答：桃树 45 棵，杏树 135 棵．

1．（2019 秋•贵池区校级期中）平江市今年和去年共建商品房 560 万平方米，今年建商品房的面积是去年

的4倍．两年各建商品房多少平方米？（方程解）

【思路分析】首先根据今年建商品房的面积是去年的 4倍，设去年建商品房的面积是万平方米，则今年

建商品房的面积是万平方米；然后根据平江市今年和去年共建商品房 560 万平方米，列出方程即可．

【规范解答】解：设去年建商品房的面积是万平方米，则今年建商品房的面积是万平方米，

，

（万平方米），

答：今年建商品房 448 万平方米，去年建商品房 112 万平方米．

【名师点评】解答此题的关键是：找出题中数量间的关系式，然后根据关系式列出方程进行解答．

2．（2019 春•亭湖区期中）爸爸比小明大30 岁，爸爸年龄是小明的 6倍．爸爸和小明各多少岁？（用方

程解）

【思路分析】根据题干，设小明是岁，则爸爸就是岁，再根据等量关系：爸爸的年龄小明的年龄

，据此列出方程解决问题．

【规范解答】解：设设小明是岁，则爸爸就是岁，根据题意可得方程：

（岁

答：小明 6岁，爸爸 36 岁．

【名师点评】解答此题容易找出基本数量关系，由此列方程解决问题．

3．（2019 秋•历城区校级期末）某工厂的甲、乙两个车间共有工人160 人，如果从甲车间调8人到乙车间，

两个车间的人数正好相等．甲、乙两个车间原来各有多少人？（列方程解）

【思路分析】根据“从甲车间调8人到乙车间后，两个车间的人数相等”，说明两车间原来的人数相差

人，设乙车间有人，则甲车间就有人，又因为两个车间共有工人160 人，据此列出方程即

可解答．

【规范解答】解：设乙车间有人

（人

答：甲车间原来有72 人，乙车间原来有88 人．

【名师点评】本题主要考查和差问题，本题还可以运用和差问题的公式即：（和差）大数，（和

差）小数，或和大数小数解答．

考点 4：用方程解决鸡兔同笼问题

【例 4】（2019•铜仁市模拟）某区举行数学竞赛，试题共有 10 道，每做对一题得 8分，每做错一题倒扣 5

分，李强最终得41 分，他做对了多少道题？（用方程解）

【思路分析】设他做对了道题，根据等量关系：做对题得的分做错题倒扣的分最终得分，列方程解

答即可．

【规范解答】解：设他做对了道题，

答：他做对了 7道题．

【名师点评】本题考查了鸡兔同笼问题，关键是根据等量关系：做对题得的分做错题倒扣的分最终得

分，列方程．

1．（2019•徐州）小明参加数学测试，共有 20 题．做对一题得 5分，做错一题扣3分，结果取得60 分．

小明做错了几题？（用方程解）

【思路分析】由题意，设小明做错了题，则做对题，那么做对题共得分，做错题共扣

分，根据“做对题的分数做错题的扣分 ”列方程解答即可．

【规范解答】解：设小明做错了题，则做对题，

答：小明做错了5题．

【名师点评】利用方程和假设法是解答鸡兔同笼问题的常用方法，希望同学们熟练掌握．

2．（2019 秋•龙陵县期末）笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有 36 个头，从下面数有 120 只脚，笼子里

鸡和兔各有多少只？（用方程解答）

【思路分析】设这个笼中的鸡有只，则兔有只；结合题意可得方程，解可得

答案．

【规范解答】解：这个笼中的鸡有只，则兔有只，

则可列方程：，

，

；

兔有：（只；

答：笼子里鸡有12 只，兔有24 只．

【名师点评】此题的关键是要联系实际，知道鸡有两只脚，兔有四只脚．

3．（2019 秋•大田县期末）停车场有相同数量的二轮摩托车和小汽车，共有 78 个车轮，二轮摩托车和小

汽车各有多少辆？（用方程解）

【思路分析】设小汽车有辆，则二轮摩托车也有辆，根据二轮摩托车轮子总数小汽车轮子总数，

列方程解答即可．

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