五年级数学下册 第6讲 圆(教师版）（知识梳理+典例分析+举一反三+阶梯训练）（苏教版）

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第 6 讲 圆热点难点一网打尽
知识点一：圆的认识
1、圆是由一条曲线围成的平面图形。(以前所学的图形如长方形、梯形等 都是由几条线段
围成的平面图形)
2、画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母 O 表示;连接圆心和圆上任意一点的线段是
半径，通常用字母 r 表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母 d 表示。
在同一个圆里，有无数条半径和直径。在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的
长度都相等。
3、用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须
固定在一点，不可移动;两脚间的距离必须保持不变； 要旋转一周。
4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的 2 倍。(d=2r,r=d÷2)
5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径。
6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。所以要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径
或半径。
7、正方形里最大的圆: 两者联系：边长=直径画法：
画出正方形的两条对角线;以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。
8、长方形里最大的圆: 两者联系：宽=直径画法：
画出长方形的两条对角线;以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆 9、同一个圆内的所有线
段中，圆的直径是最长的。
知识点二：扇形的认识
1.圆上两点间的曲线是弧；
2.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形；
3.顶点在圆心的角叫作圆心角；
4.在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。
知识点三：圆的周长
1、车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。 每分前进米数(速度)=车轮的周长×转数
2、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做 圆周率。用字母
π(读 pài)表示。π 是一个无限不循环小数。π=3.141592653……我们在计算时，一般保留
两位小数，取它的近似值 3.14。π>3.14
3、如果用 C 表示圆的周长，那么 C=πd 或 C = 2πr
4、求圆的半径或直径的方法： d=C÷π r =C÷ π÷2= C÷2π
5、半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。C 半圆= πr+2r C 半圆= πd÷2+d
6、常用的 3.14 的倍数：
3.14×2=6.28 3.14×3=9.42 3.14×4=12.56 3.14×5=15.7
3.14×6=18.84 3.14×7=21.98 3.14×8=25.12 3.14×9=28.26
知识点四：圆及圆环的面积
1、圆的面积公式：S=πr²。 圆的面积是半径平方的 π 倍。
2、圆的面积推导：圆可以切拼成近似的长方形，长方形的面积与圆的面 积相等(即 S 长方
形=S 圆);长方形的宽是圆的半径(即 b=r);长方形的长是圆周长的一半(即 a=c/2=πr)。
即：S 长方形= a × b S 圆 = πr × r=πr²
注意：切拼后的长方形的周长比圆的周长多了两条半径。
C 长方形=2πr+2r=C 圆+d
3、半圆的面积和周长。S 半圆=πr²÷2 C 半圆=C/2+d
4、大小两个圆比较，半径的倍数=直径的倍数=周长的倍数， 面积的倍数=半径的倍数的平方
5、周长相等的平面图形中，圆的面积最大； 面积相等的平面图形中，圆的周长最短。
6、求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积，还可以利用乘法 分配律进行简便计
算。S 圆环=πR²－πr²=π(R²－r²)
7、常用的平方数：
11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16² =256
17²=289 18²=324 19²=361 20²=400
考点 1：圆和扇形的认识
例 1．（2019 秋•花都区期末）下面说法正确的是（　　）
A．所有半径都相等，所有直径都相等
B．在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关
C．大圆的圆周率比小圆的圆周率大
【思路分析】根据圆的特点、以及圆的各部分之间的关系逐项规范解答即可．
【规范解答】解：A：所有的直径都相等，所有的半径都相等，说法错误，前提是：在同圆或等圆中．
B：根据扇形的面积公式可知，在同一个圆里，半径一定，圆心角越大扇形的面积就越大，因此同一圆
内圆心角的大小决定扇形的大小，说法正确；
C：圆周率是圆的周长与直径的比，是一个常数，是不变的，所以本选项说法错误；
故选：B．
【名师点评】本题考查了有关圆的知识，属于基础题，要根据各自的概念和关系规范解答．
1．（2019 秋•河北区期末）下面说法正确的是（　　）
A．圆规两脚张开 3厘米，画出的圆的直径就是 3厘米
B．周长是 6.28 米的圆，它的直径是 1米
C．半径是 2厘米的圆，它的周长和和面积相等
D．半径相等的圆，它们的面积也一定相等
【思路分析】根据题意，对各题进行依次思路分析、进而得出结论．
【规范解答】解：A、圆规两脚张开 3厘米，画出的圆的直径就是 6厘米，所以本题说法错误；
B、周长是 6.28 米的圆，它的直径是 6.28÷3.14＝2米，所以本题说法错误；
C、半径是 2厘米的圆，它的周长和和面积相等，说法错误，因为周长和面积单位不同，不能相比较；
D、半径相等的圆，它们的面积也一定相等，说法正确；
故选：D．
【名师点评】此题涉及的知识点较多，但都比较简单，属于基础题，只要认真，容易完成，注意平时基
础知识的积累．
2．（2019 秋•碑林区校级期中）轮子之所以做成圆形，是因为（　　）
A．圆有无数条对称轴
B．圆心到圆周上每一点的距离都相等
C．圆是曲线图形
D．圆的每一条直径都是对称轴
【思路分析】根据圆的特征：连接圆心到圆上任意一点的线段，叫做半径；在同圆中所有的半径都相等；
可知：把车轮做成圆形，车轴定在圆心，是因为圆形易滚动，而且车轮上各点到车轴即圆心的距离都等
于半径，当车轮在平面上滚动时，车轴与平面的距离保持不变；据此规范解答．
【规范解答】解：把车轮做成圆形，车轴定在圆心，是因为圆形易滚动，而且车轮上各点到车轴即圆心
的距离都等于半径，即圆心到圆周上每一点的距离都相等；
故选：B．
【名师点评】此题考查了圆的特征，应注意基础知识的积累和应用．
3．（2019 秋•方城县期末）下列图形中，涂色部分不是扇形的是（　　）
A．B． C．
【思路分析】扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形；据此规范解答．
【规范解答】解：由扇形的意义可知，选项 A、B都是扇形，选项 C两条线段不经过圆心，不是半径，
所以不是扇形；
故选：C．
【名师点评】此题考查了对扇形的认识和判断．
考点 2：圆及半圆和圆环有关的周长和面积的算
例 2．（2019 秋•古丈县期末）求阴影部分的面积和周长．
【思路分析】根据图示可知，该阴影部分的面积等于外直径是 20 厘米、内直径是 12 厘米的环形面积的
一半；周长等于直径是 20 厘米的圆的周长的一半，加上直径是 12 厘米的圆的周长的一半，加上（20﹣
12）厘米．
【规范解答】解：3.14×[（20÷2）2﹣（12÷2）2]÷2
＝3.14×[100 36]÷2﹣
＝3.14×64÷2
＝100.48（平方厘米）
3.14×20×2÷2+3.14×12×2÷2+（20 12﹣）
＝62.8+37.68+8
＝108.48（厘米）
答：阴影部分的面积为 100.48 平方厘米，周长为 108.48 厘米．
【名师点评】本题主要考查组合图形的周长鹅面积，关键把组合图形转化为规则图形，利用规则图形的
周长和面积公式计算．
1．（2019•番禺区校级模拟）求如图的周长和面积．
【思路分析】半圆的周长＝πd÷2+d；半圆的面积＝πr2÷2，由此代入数据即可计算．
【规范解答】解：周长是：3.14×8÷2+8
＝12.56+8
＝20.56（cm）；
面积是：3.14
׿
2
＝3.14×16÷2
＝25.12（平方厘米）；
答：这个图形的周长是 20.56 厘米，面积是 25.12 平方厘米．
【名师点评】此题考查了半圆的周长和面积的计算方法；注意半圆的周长＝圆周长的一半+直径．
2．（2019 秋•禅城区期末）求阴影部分的面积．
【思路分析】（1）圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：S＝πr22﹣πr12＝π（r22﹣
r12）；
（2）阴影部分的面积＝正方形的面积﹣以 4÷2＝2分米为半径的圆的面积，据此利用正方形 S＝a2和圆
的面积公式 S＝πr2即可求解．
【规范解答】解：（1）3.14×（623﹣2）
＝3.14×27
＝84.78（平方厘米）
答：阴影部分的面积是 84.78 平方厘米．
（2）4÷2＝2（分米）
4×4 3.14×2﹣2
＝16 12.56﹣
＝3.44（平方分米）
答：阴影部分的面积是 3.44 平方分米．
【名师点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形
构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式规范解答即可．
3．（2019•天津模拟）计算阴影部分的面积和周长．（单位：厘米）
【思路分析】圆环的面积＝π×（R2﹣r2），由此代入数据即可规范解答；圆环的周长等于大圆的周长加
上小圆的周长．
【规范解答】解：3.14×623.14×2﹣2
＝3.14×36 3.14×4﹣
＝3.14×32
＝100.48（平方厘米）
3.14×6×2+3.14×2×2
＝3.14×16
＝50.24（厘米）
答：这个圆环的面积是 100.48 平方厘米；周长是 50.24 厘米．
【名师点评】此题考查了圆环的面积和周长公式的灵活应用．
考点 3：与圆有关的组合图形周长和面积的计算
例 3．（2019 春•新田县期末）求下列图形的周长或面积
【思路分析】（1）此图是两端部分是直径为 40 米的半圆，中间部分是为长为 100 米，宽为40 米的长
方形，两端的两个半圆通过平移可看作一个同直径的圆．这个图形的周长为圆周长加上长方形长的 2倍
面积为圆面积加长方形面积．根据长方形面积计算公式“S＝ab”、圆面积计算公式“S＝πr2”、圆周长
计算公式“C＝πd”及半径与直径的关系“r
”即可规范解答．
（2）把这个图形的下部分的阴影半圆通过旋转可以到上部分空白半圆的位置，这样阴影部分就是一个
半径为 4厘米的半圆．这个图形的周长就是半圆周长，即圆周长的一半加半径；面积就是圆面积的一半
根据圆面积计算公式“S＝πr2”、圆周长计算公式“C＝2πr”即可规范解答．
【规范解答】解：（1）3.14×40+100×2
＝125.6+200
＝325.6（米）
3.14×（
40
2
）2+100×40
＝3.14×202+100×40
＝1256+4000
＝5256（平方米）
答：这个图形的周长是 325.6 米，面积是 5256 平方米．
（2）3.14×4×2÷2+4×2
＝12.56+8
＝20.56（cm2）
3.14×42÷2
＝3.14×16÷2
＝50.24÷2
＝25.12（cm2）
答：这个图形的周长是 20.56cm，面积是 25.12cm2．
【名师点评】规范解答此题的关键是对图形进行整合，然后再根据整合后相关图形的周长、面积计算公
式规范解答．
1．（2019 秋•江南区期末）求阴影部分的周长与面积．
【思路分析】（1）阴影部分的周长为长方形的 2条宽加上 1条长再加半圆弧的长度；
（2）阴影部分的面积＝长方形的面积﹣以长方形的长为直径的半圆的面积，长方形的宽已知，从而可
以求出阴影部分的面积．
【规范解答】解：圆的直径：3×2＝6（厘米）
周长：3.14×6÷2+3+3+6
＝9.42+12
＝21.42（厘米）
面积：6×3 3.14×3×3÷2﹣
＝18 14.13﹣
＝3.87（平方厘米）
答：阴影部分的周长是 21.42 厘米，阴影部分的面积是 3.87 平方厘米．
【名师点评】规范解答此题的关键是明白：阴影部分的周长是指哪部分的长度；阴影部分的面积＝长方
形的面积﹣以长方形的长为直径的半圆的面积．
2．（2019 春•武城县期末）求图中阴影部分的周长和面积．（单位：cm）
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