五年级数学下册 第4单元 长方体（二）_第02讲_长方体和正方体的体积(教师版)（北师大版）

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高思爱提分演示（KJ)初中语文教师辅导讲义
[教师版]
学员姓名 寒假班 年 级 初一
辅导科目 初中语文 学科教师 李红娟
上课时间 2020-02-05 08:00:00-09:00:00
知识图谱
长方体和正方体的体积公式
知识精讲
一．长方体的体积公式
1．长方体体积的意义：长方体的体积就是长方体所含体积单位的多少．
2．长方体体积公式：长方体体积=长×宽×高，
3．用字母表示长方体的体积公式： ．
二．正方体的体积公式
1．正方体体积的意义：正方体的体积就是正方体所含体积单位的多少．
2．正方体体积公式的推导：正方体可以看作长、宽、高都相等的长方体，根据二者之间的关系，可以推导出
正方体的体积计算公式．
3．用字母表示正方体的体积公式： ，一般写成 ．
典型例题把一个棱长为 6 dm 的正方形铁块，铸造成一块长 24 dm、宽 12 dm 的长方体铁块（不计损耗），这块长
方体铁块的高是多少厘米？
名师学堂解题思路．把正方体铁块铸造成长方体铁块，铸造前后的体积是不变的，也就是说原本正方体铁块的体
积就是铸造出来的长方体铁块的体积．此题就转化成了已知长方体的体积、长和宽，求高的问题．
正确答案． （dm3）
（dm）
0.75 dm=7.5 cm
答：这块长方体铁块的高是 7.5 cm．
三点剖析
重点：掌握长方体和正方体的体积公式．
难点：理解体积公式的推导公式．
易错点：如果一个正方体的棱长扩大到原来的 n倍，那么它的体积就扩大到原来的 n3倍．
长方体的体积公式
例题
例题 1、数一数，填一填．
（1）下图是由棱长为 1cm 的小正方体搭成的．这个长方体共用了（ ）个小正方体，所以长方体的体积是
（ ）．
（2）通过观察发现：小正方体的总个数可以用长方体的（ ）×（ ）×（ ）迅速求出，所
以推得长方体的体积＝（ ）×（ ）×（ ），用字母表示是（ ）．
【答案】（1）36 36cm3
（2）长 宽 高 长 宽 高 V=abh
【解析】（1）36 36cm3
（2）长 宽 高 长 宽 高 V=abh
例题 2、计算下面长方体和正方体的体积和表面积。（单位：cm）
【答案】（1）,；（2） ， ；（3） ，
【解析】（1）
（2）3×3×3=27 ；3×3×6=54
（3）6×3×4=72 ；（6×3+6×4+3×4）×2=108
例题 3、一个长 8dm、宽 6dm、高 5dm 的长方体纸盒，最多能放（ ）个棱长为 2dm 的正方体木块．
A.36 B.30 C.24 D.10
【答案】 C
【解析】此题的陷阱在于 5不能被 2整除，即长方体纸盒无法放满．不能简单地用体积计算．
例题 4、把三个棱长为 5cm 的正方体粘合成一个长方体，这个长方体的体积是（ ）cm3；表面积比原来 3
个小正方体的表面积的和减少了（ ）cm2．
【答案】375cm3 100cm2
【解析】因为是 3个正方体，所以只能横着粘成一排，中间的正方体有两个面分别与左右两边的两个正方体重叠．
例题 5、—个长方体的长扩大到原来的 6倍，宽缩小到原来的 ，高不变，体积会（ ）到原来的（
）．
【答案】扩大 2倍
【解析】扩大 2倍
例题 6、一个长方体的体积是 630dm3，这个长方体的宽是多少？
【答案】630÷14÷5=9（dm）
【解析】630÷14÷5=9（dm）
随练
随练 1、一个长方体，长 6cm，宽和高都是 5cm，棱长总和是（ ）cm，表面积是（ ）cm2，体积
是（ ）cm3．
【答案】64 170 150
【解析】64 170 150
随练 2、计算下面各图形的表面积和体积。（单位：cm）
【答案】（20×6+20×8+6×8）×2=656（cm2）
20×6×8=960（cm3）
5×5×6=150（cm2） ；5×5×5=125（cm3）
【解析】（20×6+20×8+6×8）×2=656（cm2）
20×6×8=960（cm3）
5×5×6=150（cm2） ；5×5×5=125（cm3）
随练 3、一块长方体木料的体积是 1.08 立方米，它的横截面的面积是 0.6 平方米，它的高是多少？
【答案】1.08÷0.6=1.8（米）
【解析】1.08÷0.6=1.8（米）
正方体的体积公式
例题
例题 1、正方体的体积＝（ ）×（ ）×（ ），用字母表示是（ ）．
【答案】棱长 棱长 棱长 V=
【解析】棱长 棱长 棱长 V=
例 题 2、一 个 长 方 体 橡 皮 泥 长 2m ， 宽 5dm ， 高 4cm ， 把 它 捏 成 一 个 正 方 体 ， 这 个 正 方 体 的 体 积 是 （
）dm3．
【答案】40
【解析】
例题 3、判断．（对的画“√”，错的画“×”）
（1）一个长是 3dm，宽是 2dm，高是 12cm 的长方体的体积是 3×2×12＝72（dm3）．（ ）
（2）棱长是 6cm 的正方体，它的表面积和体积相等．（ ）
（3）棱长是 5dm 的正方体的体积是 53＝5×3＝15（dm3）．（ ）
【答案】（1）×
（2）×
（3）×
【解析】（1）长和宽的单位是 dm，高的单位是 cm，应该先转换单位再相乘．题中忽略了单位的统一性．
（2）表面积的单位是 cm2和体积的单位是 cm3，单位不一致，不能比较大小．
（3）
例题 4、填空．
一个正方体的棱长总和是 72cm，这个正方体的表面积是（ ），体积是（ ）．
【答案】216 cm2 216 cm3
【解析】216 cm2 216 cm3
随练
随练 1、一个正方体粉笔盒的棱长是 8cm，这个粉笔盒的体积是多少立方厘米？
【答案】8×8×8=512（cm3）
【解析】8×8×8=512（cm3）
随练 2、一个棱长总和是 30dm 的正方体，它的表面积是（ ）dm2，体积是（ ）dm3．
【答案】37.5 15.625
【解析】37.5 15.625
长方体和正方体体积公式的应用
知识精讲
一、长方体表面积计算方法
长方体表面积： ．
二、长方体的体积公式
1．长方体体积的意义：长方体的体积就是长方体所含体积单位的多少．
2．长方体体积公式：长方体体积=长×宽×高，
3．用字母表示长方体的体积公式： ．
三、正方体表面积的计算方法
正方体表面积： ．
四、正方体的体积公式
1、正方体体积的意义：正方体的体积就是正方体所含体积单位的多少．
2、正方体体积公式的推导：正方体可以看作长、宽、高都相等的长方体，根据二者之间的关系，
可以推导出正方体的体积计算公式．
3、用字母表示正方体的体积公式： ，一般写成 ．
三点剖析
重点：运用体积公式解决问题．
难点：理解体积公式的推导过程．
易错点：体积和表面积不是同类量，二者之间不能比较；在计算 时，不要把 看做，应是 ．
长方体和正方体体积公式的应用
例题
例题 1、如图，将一个长方体截去一个高 2cm 的长方体后，表面积减少了 48cm2，剩下部分成为一个正方体，求原
来长方体的体积．
【答案】底面周长：48÷2=24（cm） 正方体棱长 24÷4=6（cm）
原来长方体体积：6×6×（6+2）=288(cm3 )
【解析】底面周长：48÷2=24（cm） 正方体棱长 24÷4=6（cm）
原来长方体体积：6×6×（6+2）=288(cm3 )
例题 2、一个长方体木块，长 60cm，宽 30cm，高 50cm，要把它锯成一个最大的正方体木块，截去部分的体积是
多少？
【答案】60×30×50-30×30×30=63000（cm3）
【解析】60×30×50-30×30×30=63000（cm3）
例题 3、学校把8m3的黄沙填入沙坑，已知沙坑长5m，宽 32dm．沙坑铺了多少厘米厚？
【答案】8m3=8000 dm3 5m=50dm 8000÷50÷32=5（dm）=50cm
【解析】8m3=8000 dm3 5m=50dm 8000÷50÷32=5（dm）=50cm
例题 4、在一个长 60cm，宽 32cm，高 22cm 的长方体的箱子里，最多可以装进棱长为 4cm 的正方体物品多少个？
【答案】60÷4=15（个）32÷4=8（个）
22÷4=5（个）……2（cm）
15×8×5=600（个）
点拨：此题关键是要注意长、宽、高里是否刚好放的是整个数
【解析】60÷4=15（个）32÷4=8（个）
22÷4=5（个）……2（cm）
15×8×5=600（个）
点拨：此题关键是要注意长、宽、高里是否刚好放的是整个数
例题 5、计算下面图形的表面积和体积．（单位：cm）
【答案】表面积：
[12×2+（12-8）×（4-2）]×2=64（cm2）
12×4×2=96（cm2）
4×4×2=32（cm2）
64+96+32=192（cm2）
体积：12×4×2+4×（12-8）×（4-2）=128（cm3）
【解析】表面积：
[12×2+（12-8）×（4-2）]×2=64（cm2）
12×4×2=96（cm2）
4×4×2=32（cm2）
64+96+32=192（cm2）
体积：12×4×2+4×（12-8）×（4-2）=128（cm3）
例题 6、一个长方体，如果长增加 2cm，那么体积增加 40cm3；如果宽增加 3cm，那么体积增加 90cm3；如果高增
加4cm，那么体积增加 96cm3，原来长方体的表面积是多少平方厘米？
【答案】宽×高=40÷2=20（cm ）
长×高=90÷3=30（cm ）
长×宽=96÷4=24（cm ）
表面积=（20+30+24）×2=148（cm ）
【解析】宽×高=40÷2=20（cm ）
长×高=90÷3=30（cm ）
长×宽=96÷4=24（cm ）
表面积=（20+30+24）×2=148（cm ）
随练
随练 1、修一段长3km，宽 60m 的公路，共用去混凝土 45000m3，这些混凝土可以铺多厚？
【答案】3km=3000m 45000÷3000÷60=0.25 m
【解析】3km=3000m 45000÷3000÷60=0.25 m
随练 2、一个从里面量长是 6dm，宽是 4dm，高是 5dm 的长方体纸盒，最多能放多少个棱长是 2dm 的正方体木块？
【答案】6÷2=3（个） 4÷2=2（个）
5÷2=2（个）…1dm 3×2×2=12（个）
【解析】此题容易出现的错误是用长方体的容积直接除以正方体木块的体积，因为长方体的高是 5dm，不是 2 dm
的整数倍，所以只能求出沿长、宽、高各放几个．再把它们相乘得出最多能放的正方体木块数．
随练 3、一个长方体，如果长减少 4cm，就变成了一个正方体，这个正方体的表面积是 150cm2，原来长方体的体积
是多少立方厘米？
【答案】150÷6=25 （cm2） 25=5×5
（5+4）×5×5=225（cm3）
【解析】150÷6=25 （cm2） 25=5×5
（5+4）×5×5=225（cm3）
随练 4、把棱长为 6dm 的正方体平均分成棱长为 3dm 的小正方体，一共可以分成多少个？分成小正方体后，表面
积增加了多少平方分米？
【答案】一共可以分成 8个
表面积增加了：6×6×（3×2）=216(dm2 )
【解析】一共要锯 3次，分成了 8个小正立方体，增加了3×2=6（个）边长为 6dm 的正方形面．
长方体和正方体统一的体积公式
例题
例题 1、填一填。
【答案】48；100；8；5.1
【解析】48；100；8；5.1
例题 2、选择．（将正确答案的字母填在括号里）
（1）长方体或正方体都可以用（ ）求出体积．
A．长×宽×高
B．棱长×棱长×棱长
C．底面积×高
D．棱长×12
（2）长方体的底面积扩大到原来的 2倍，高也扩大到原来的 2倍，体积（ ）．
A．扩大到原来的 2倍
B．扩大到原来的 4倍
C．扩大到原来的 8倍
D．不变
【答案】
【解析】（1）C
（2）B
例题 3、判断：长方体和正方体的底面积相等，它们的体积也相等．（ ）
【答案】×
【解析】×
例题 4、家具厂订购了200 根方木，每根方木横截面的面积是 25dm2，长是 3m．这些方木的体积一共是多少立方
米？
【答案】25 dm2=0.25dm2 0.25×3×200=150（m3）
【解析】25 dm2=0.25dm2 0.25×3×200=150（m3）
随练
随练 1、选一选。（将正确答案的序号填在括号里）
（1）一个长方体长 15cm，宽 12cm，高 5cm，把它切成棱长是 1cm 的小正方体，最多可以切（ ）个。
①180 ②60 ③900
（2）至少用（ ）个棱长 2cm 的正方体，能拼成一个体积是 96cm3大长方体。
①48 ②24 ③12
（3）一个长方体，底面积是 12dm2，如果它的高增加 5dm，体积增加（ ）。
①17dm3 ②60dm3 ③300dm3
【答案】
【解析】（1）③
（2）③
（3）②
随练 2、辨一辨。（对的画“√”，错的画“×”）
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