五年级数学下册第3讲因数与倍数(教师版）（知识梳理+典例分析+举一反三+阶梯训练）（苏教版）

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第 3 讲因数与倍数热点难点一网打尽

知识点一：因数和倍数

1、几个非零自然数相乘，每个自然数都叫它们积的因数，积是这几个自然数的倍数。因数与

倍数是相互依存绝不能孤立的存在.

2、一个数最小的因数是 1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。（找因数的

方法：成对的找。）

3、一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。（找一个数

倍数的方法：从自然数 1、2、3、……分别乘这个数）

4、一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。

知识点二：质数和合数

1 按照一个数因数个数的多少可以把非 0 自然数分成三类

① 只有自己本身一个因数的 1

② 只有 1 和它本身两个因数的数叫作质数（素数）。最小的质数是 2。在所有的质数中，2

是唯一的一个偶数。

③ 除了 1 和它本身两个因数还有别的因数的数叫作合数。（合数至少有 3 个因数）最小的

合数是 4。

按照是否是 2 的倍数可以把自然数分成两类偶数和奇数。最小的偶数是 0.

2.两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因

3.两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这两个数的最小公倍

数，用符号[ ，]表示。两个数的公倍数也是无限的。8、两个素数的积一定是合数。举例：

3×5=15，15 是合数。

4.两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。举例：[6，8]=24，(6，8)=2，24

是 2 的倍数。

5.求最大公因数和最小公倍数的方法：（列举法、图示法、短除法）

① 倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

举例：15 和 5，[15，5]=15，(15，5)=5

② 互质关系的两个数，最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。举例：[3，7]=21，

(3，7)=1

③ 一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除

法。

知识点四：质因数和分解质因数

1.质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。

2.是 2 的倍数的数叫作偶数，不是 2 的倍数的数叫作奇数。相邻偶数（奇数）相差 2。

知识点五：2 、5、3 的倍数的特征

2 的倍数的特征：个位是 0、2、4、6、8。

5 的倍数的特征：个位是 0 或 5。

3 的倍数的特征：各位上数字的和一定是 3 的倍数。

知识点六：和与积的奇偶性

偶数+偶数=偶数奇数+奇数=偶数偶数+奇数=奇数

偶数×偶数=偶数偶数×奇数=偶数奇数×奇数=奇数

考点 1：因数与倍数的意义

例 1．（2019 春•凤凰县期末）如果、、都是不等于 0的自然数），那么　　

A．是的倍数 B．和都是的倍数

C．和都是的因数 D．是的因数

【思路分析】根据因数和倍数的意义：如果数能被数整除，就叫做的倍数，就叫做的因

数；进行规范解答即可．

【规范解答】解：如果、、都是不等于 0的自然数），则，

即和都是的因数；

故选：．

【名师点评】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数的意义，注意基础知识的理解．

1．（2019 春•亭湖区期中），2和3是6的　　；6是2和3的　　．

【思路分析】根据因数和倍数的意义：如果数能被数整除，就叫做的倍数，就叫做的因

数；据此规范解答即可．

【规范解答】解：由题意可知：，则，，2和3是6的因数；6是2和3的倍数；

故答案为：因数，倍数．

【名师点评】考查了因数和倍数的意义，规范解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行思路分析、规

范解答．

2．（2019 春•新密市月考）能被整除，是　倍数　，是的　　．

．倍数．因数．公倍数．公因数．

【思路分析】如果能被除外）整除，我们就说是的倍数，是的约数．

【规范解答】解：能被整除，是倍数，是的因数；

故选：，．

【名师点评】此题考查了倍数与约数的关系．

3．（2019 秋•南开区校级期中）若、、都是非零自然数），则是的　倍　数，是

的　　数．

【思路分析】根据因数和倍数的关系：如果数能被数整除，就叫做的倍数，就叫做的因

数；进行规范解答即可．

【规范解答】解：若、、都是非零自然数），则是的倍数，是的因数；

故答案为：倍，因．

【名师点评】此题考查了因数和倍数的意义，应注意基础知识的积累．

考点 2：运用列举法解决有关因数和倍数的问题

例 2．（2019 秋•乳源县期中）一个数，既是 6的倍数，又是 24 的因数，这个数可能是多少？

【思路分析】一个数既是 24 的因数，又是 6的倍数，即求既是 24 的因数又是 6的倍数的数，找出共同的

数即可．

【规范解答】解：24 的因数：1、2、3、4、6、8、12、24

24（包括以内 6的倍数有：6、12、18、24；

所以，一个数既是 24 的因数又是 6的倍数，这个数可能是 6、12、24．

答：这个数可能是 6、12、24．

【名师点评】规范解答此题应根据找一个数的因数的方法和找一个数倍数的方法分别列举，进而得出结论．

1．（2019 春•潍坊期中）五年级（3）班的学生排队做操，每行 8人，10 人都能排成长方形，已知这个班

学生人数在人之间，那么这个班有学生多少人？

【思路分析】每行 8人，10 人都能排成长方形，则学生人数应是 8和10 的公倍数，先求出 8和10 的公倍

数，再找出在之间的数即可．

【规范解答】解：，；

8和10 的最小公倍数是：；

8和10 的公倍数有：40、80、；

答：这个班有学生 40 人．

【名师点评】规范解答本题的关键是把问题转化为求公倍数的问题，再根据求公倍数方法规范解答即可．

2．（2019 秋•东莞校级期中）王老师买了 36 支铅笔，48 本练习本奖励给一些进步的学生，刚好发完，没

有剩余，一共有多少个进步的学生？

【思路分析】求有多少个进步的学生，即求 36 和48 的公因数，根据找一个数因数的方法，进行直接列举，

然后排除掉不合适的即可．

【规范解答】解：36 的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36；

48 的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；

36 和48 的公因数有：1、2、3、4、6、12，因为是奖励给一些进步的学生，所以 1排除，

所以可以有 2、3、4、6、12 个进步的学生．

【名师点评】规范解答此题应明确：要求有多少个进步的学生，即求 36 和48 的公因数．

3．（1）一个数是 48 的因数，这个数可能是多少？

（2）一个数既是 48 的因数，又是 8的倍数，这个数可能是多少？

（3）一个数既是 48 的因数，又是 8的倍数，同时还是 3的倍数，这个数是多少？

【思路分析】①一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数试题本身；

②一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数；

③先根据求因数的方法求出 48 的因数，再根据求倍数的方法分别求出 8和3在48 以内的倍数，找出符合

这三个条件的数．据此规范解答．

【规范解答】解：①48 的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24，48，

答：一个数是 48 的因数，这个数可能是 1、2、3、4、6、8、12、16、24，48；

②48 的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24，48．

8的倍数：8、16、24、32、40、48．

答：一个数既是 48 的因数，又是 8的倍数，这个数可能是 8、24、16、48；

③48 的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24，48．

8的倍数：8、16、24、32、40、48．

3的倍数：3、6、9、12、15、18、21、24、27，30，33、36、39、42，45、48．

答：这个数是 24 或48．

【名师点评】此题考查的目的是理解因数与倍数的意义，掌握求一个数的因数和求一个数的倍数的方法．

考点 3：运用 2，5 和 3 的倍数的特征解决问题

例 3．（2019 春•吉林期中）牡丹江百货大楼新进一批不同样式的书包，其价格都既是 2的倍数，也是 3

的倍数，还是 5的倍数．

（1）这批书包中最低价格是多少元？

（2）如果价格不超过 100 元，有哪几种价格？

【思路分析】根据 2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是 2的倍数；

根据 5的倍数的特征，一个数的个位是 0或5，这个数就是 5的倍数；

根据 3的倍数的特征，一个数各位上数的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数．

依据公倍数的意义，即在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍

数，据此即可进行规范解答．

【规范解答】解：（1）既是 2的倍数，又是 5的倍数，同时还是 3的倍数的数可以说是 2、3、5的公倍数．

所以它的最小值为：．

所以这批书包中最低价格是 30 元．

（2）如果价格不超过 100 元，只要是 30 元的倍数都可以，所以答案可以为：30 元，60 元，90 元三种．

答：30 元，60 元，90 元三种不同的价格．

【名师点评】本题考查的目的是掌握 2、3、5的倍数的特征．记住它们的特征是解题的关键．

1．（2019 春•会昌县期中）人 85 个面包，如果每 2个装成一袋，能正好装完吗？如果每 5个装成一袋，能

正好装完吗？如果每 3个装成一袋，能正好装完吗？为什么？

【思路分析】（1）根据能被 2整除的特征：即个位上是 0、2、4、6、8的数判断即可；

（2）根据能被 5整除的特征：即个位上是 0或5的数判断即可；

（3）根据能被 3整除的特征：各个数位上的数字之和能被 3整除这个数就能被 3整除，判断即可．

【规范解答】解：（1）85 个位上是 5，不能被 2整除，

所以每 2个装一袋，不能正好装完；

答：不能正好装完；

（2）85 个位上是 5，能被 5整除，

所以每 5个装一袋，能正好装完；

答：能正好装完；

（3），不能被 3整除，

所以每 3个装一袋，不能正好装完；

答：不能正好装完．

【名师点评】此题根据能被 2、3、5整除的数的特征，解决实际问题．

2．（2019 春•海南期末）从下面先选三张数字卡片，再按要求组成三位数，（要求写全）

6 0 5 7

（1）是 3的倍数

（2）同时是 2、5的倍数

（3）是 2的倍数．

【思路分析】（3）3的倍数：各个数位上的和能被 3整除；

（4）2和5的倍数：末尾是0即可；

（3）能被 2整除的特征：个位上是 0、2、4、6、8的数，据此规范解答即可．

【规范解答】解：（1）是 3的倍数有：570、750、657、675、567、576、756、765；

（2）同时是 2、5的倍数有：650、560、570、750、670、760；

（3）是 2的倍数有：560、650、506、670、760、706、570、750、576、756．

【名师点评】规范解答此题应根据题意，根据能被 2、3、5、整除数的特征进行规范解答即可．

3．（2019 春•麻城市期中）从0，4，5，7，9中各选出四个数字组数．（各写三个）

（1）是 2的倍数：　　

（2）是 3的倍数：　　

（3）是 5的倍数：　　

（4）同时是 2，3，5的倍数：　　．

【思路分析】（1）能被 2整除的特征：个位上是 0、2、4、6、8的数；

（2）能被 3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被 3整除；

（3）能被 5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数；

（4）要同时能被 2、3和5整除，这个数的个位一定是0，各个数位上的数字相加的和能被 3整除，规范解

答即可．

【规范解答】解：由思路分析规范解答如下：（答案不唯一）

（1）是 2的倍数：4570、4790、5794

（2）是 3的倍数：4590、5490、7950

（3）是 5的倍数：2790、4795、5740；

（4）同时是 2，3，5的倍数：4590、5490、7590．

故答案为：4570、4790、5794；4590、5490、7950；2790、4795、5740；4590、5490、7590．

【名师点评】此题主要根据能被 2、3、5整除的数的特征解决问题．

考点 4：运用数的奇偶性解决实际问题

例 4．（2019 秋•罗定市期中）乐乐家卧室的开关最初在关闭状态，若按1次之后灯是开着的，那么在开

和关 13 次后，灯是开的还是关的呢？如果开和关 200 次后，灯又是怎么样的？为什么？请简单说明理

由．

【思路分析】灯最初是关闭状态，拉一次，打开，拉两次，灯关闭；三次，打开；四次，关闭．由此可

以发现，拉奇数次时，灯为打开状态，拉偶数次时，灯为关闭状态，由此求解．

【规范解答】解：根据思路分析可知：拉奇数次时，灯为打开状态，拉偶数次时，灯为关闭状态．

因为 13 是奇数，开关 13 次后，是打开状态；

因为 200 是偶数，开关 200 次后，灯处于关闭状态．

【名师点评】灯的开关状态改变的规律为：拉奇数次，状态改变，拉偶数次，状态不变；所以完成此类题

目时，一定要注意开关的初始状态是怎样的．

1．（ 2019 春 • 漳平市校级期末）小丽写了这样的一个算式让小军判断结果是奇数还是偶数：

，小军根据所学知识很快就作出了正确的判断，那么，你认为结果应是奇数还是偶数

呢？你是用什么方法来解决这个问题的？

【思路分析】，则在的自然数中，有 496 个偶数，有 497 个奇数，根据数和的奇偶

性可知，496 个偶数之和一定是偶数，奇数个奇数之和是奇数，所以 497 个奇数之和是奇数．偶数奇

数奇数，所以原式之和一定是奇数．

【规范解答】解：，则在的自然数中，

有496 个偶数，有 497 个奇数，

根据数和奇偶性可知，

496 个偶数之和一定是偶数，497 个奇数之和是奇数．

偶数奇数奇数，

所以原式之和一定是奇数．

本题是根据数的奇偶性进行思路分析解决的．

【名师点评】本题是从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质进行思路分析规范解答的．

2．（2019 春•永康市月考）三个连续的偶数之和是 120，这三个偶数分别是多少？

【思路分析】自然数中，相邻的两个偶数相差2，由此可设和为 120 的三个连续偶数中的最小的一个为，

则另两个分别为，，由此可得等量关系式：．解此方程即可．

【规范解答】解：可设和为 120 的三个连续偶数中的最小的一个为，可得方程：

则

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