五年级数学下册 第2讲 因数与倍数（教师版含解析）（知识梳理+典例分析+举一反三+阶梯训练）（人教版）

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第 2 讲 因数与倍数热点难点一网打尽
知识点一：因数与倍数
1、 如果 a×b=c(a、b、c 都是非 0 的自然数)那么 a 和 b 就是 c 的因数，c 就是 a 和 b 的
倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。例如 4×3=12，12 是 4 的
倍数,12 也是 3 的倍数,4 和 3 都是 12 的因数。
2、 因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是
它本身。例：10 的因数有 1、2、5、10，其中最小的因数是 1，最大的因数是 10。(1 是所有
非 0 自然数的因数)
一个数的因数的求法：成对地按顺序找
3、 倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。例：3 的
倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是 3 ，没有最大的倍数。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数
知识点二：2、5、3 的倍数的特征
1、2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数(2 的倍数的数叫做偶数、
不是 2 的倍数的数叫做奇数)。
2、5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。
3、3 的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
知识点三：奇数与偶数(自然数按能不能被 2 整除来分：奇数、偶数)
　　(1)定义：奇数：(也叫单数)自然数中不能被 2 整除的数 最小的奇数是 1，
　　 偶数：(也叫双数)自然数中能被 2 整除的数 最小的偶数是 0.
(2)特征：奇数：个位上是 1，3，5，7，9 的数
偶数：个位上是 0，2，4，6，8 的数
　　(3)字母表示：奇数：2n+1(n>=0) 偶数：2n(n>=0)
　　(4)公式：奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数
(5)自然数中，不是奇数就是偶数。0 是偶数。
知识点四：质数与合数(自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0 四类)
(1)定义：质数：只有 1 和它本身两个因数的数(共有 2 个因数)
　 　合数：除了 1 和它本身之外还有别的因数的数(至少有 3 个因数)，
　　(2)最小的质数是 2 最小的合数是 4
　　(3)“1”既不是质数，也不是合数。 (因为 1 只有 1 个因数)。
　　(4)自然数中，除了 0 和 1 之外，不是质数就是合数
　　(5)在自然数里，不是奇数的质数只有 2
　　(6)公式：质数*质数=合数 质数*合数=合数 合数*合数=合数
(7)100 以内的质数： 2、3、5、7和11， 13 后面是 17， 19、23、29，
31、37、41， 43、47、53， 59、61、67， 71、73、79， 83、89、97。
考点 1：因数与倍数
例1．(2019 秋•常山县校级期中)一个数既是 7的倍数，又是 56 的因数，这个数可能是多少？
【思路分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数试题本身；一个数的倍数的个
数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数．据此规范解答．
【规范解答】解：56 以内 7的倍数有：7、14、21、28、35、42、49、56；
56 的因数有：1、2、4、7、8、14、28、56；
所以，既是 7的倍数，又是 56 的因数的数可能是：7、14、28、56．
答：这个数可能是 7、14、28、56．
【名师点评】此题考查的目的是理解因数与倍数的意义，掌握求一个数的因数和求一个数的倍数的方法．
1．(2019 春•镇平县月考)1 2 3 4 5 6 8 10 12
16 18 20 24 36 42 56 60
(1)以上数中是 4的倍数有　 ；
(2)以上数中是 60 的因数有　 　 ；
(3)以上数中既是 4的倍数又是 60 的因数的数是　 　．
【思路分析】首先根据找一个数的倍数和因数的方法，分别找出给出的数中，4的倍数和 60 的因数分别有
哪些；然后找出既是 4的倍数又是 60 的因数的数即可．
【规范解答】解：(1)以上数中是 4的倍数有 4、8、12、16、20、24、36、42、56、60；
(2)以上数中是 60 的因数有 1、2、3、4、5、6、10、12、20、60；
(3)以上数中既是 4的倍数又是 60 的因数的数是 4、12、20、60．
故 答 案 为 ： 4、8、12 、16 、20 、24 、36 、42 、56 、60 ；1、2、3、4、5、6、10 、12 、20 、60 ；
4、12、20、60．
【名师点评】此题主要考查了找一个数的倍数和因数的方法，要熟练掌握．
2．(2019 春•宁都县校级月考)猜电话号码
提示：
的最小倍数
最小的自然数
的最大因数
它既是 4的倍数，又是 4的因数
它的因数有 1，2，3，
它的所有因数是 1，3
它只有一个因数
这个号码就是　 5054631 　 ．
【思路分析】 的最小倍数是 5； 最小的自然数是 0； 的最大因数是 5； 它既是 4的
倍数，又是 4的因数是 4；
它的因数有 1，2，3，所以是 6； 它的所有因数是 1、3，所以它是 3； 它只有一个因数，
是1；
这个号码就是 5054631．
【规范解答】解：由思路分析可知： 是 5， 是 0， 是 5， 是 4， 是 6， 是 3， 是 1，
所以这个电话号码是：5054631．
故答案为：5054631．
【名师点评】此题主要考查根据因数、倍数和自然数的意义灵活解决问题．
3．(2019 春•徽县期中)一个数是 42 的因数，同时又是 3的倍数，这个数可以是多少？
【思路分析】求这个数可能是多少，即求 42 以内(包括 的 3的倍数，根据找一个数因数的方法和一个数
倍数的方法，分别列举出 42 的因数和 3的倍数，继而得出结论．
【规范解答】解：42 的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42；
3的倍数有：3、6、9、12、14、15、18、21、24、27、30、33、36、39、 ；
一个数既是 42 的因数，又是 3的倍数．这个数可能是 3、6、21、42；
答：这个数可能是 3、6、21、42．
【名师点评】此题考查的目的是理解因数与倍数的意义，明确要求的问题即 42 以内(包括 的 3的倍数，
是规范解答此题的关键．
考点 2：2,5,3 的倍数的特征
例 2．写出符合要求的数：一个四位数 372□
(1)要使它是 2的倍数，□中可以填　 0 、 2 、 4 、 6 、 8 　 ．
(2)要使它是 5的倍数，□中可以填　　．
(3)要使它是 3的倍数，□中可以填　　．
(4)要使它同时是 2、3、5的倍数，□中可以填　　．
【思路分析】(1)根据 2的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8的数，据此规范解答即可；
(2)5 的倍数的特征：个位上是 0或5的数，根据特征思路分析规范解答即可；
(3)根据 3的倍数的特征：即该数各个数位上数的和能被 3整除；进行规范解答即可．
(4)要使它同时是 2、3、5的倍数，个位上必须是 0．
【规范解答】解：一个四位数是 372□，
(1)要使它是 2的倍数，□里可以填 0、2、4、6、8；
(2)要使它是 5的倍数，□里可以填 0、5；
(3)要使它是 3的倍数，因 ，12 分别加上 0、3、6、9的和都是 3的倍数，所以□里可以填
0、3、6、9；
(4)要使它同时是 2、3、5的倍数，□中可以填 0．
故答案为：0、2、4、6、8；0、5；0、3、6、9；0．
【名师点评】本题主要考查能被 2、3、5数的特征，注意牢固掌握能被 2、3、5数的特征．注意基础知识
的灵活运用．
1．(2019 春•麻城市期中)从0，4，5，7，9中各选出四个数字组数．(各写三个)
(1)是2的倍数：　 　
(2)是3的倍数：　 　
(3)是5的倍数：　 　
(4)同时是 2，3，5的倍数：　 　．
【思路分析】(1)能被 2整除的特征：个位上是 0、2、4、6、8的数；
(2)能被 3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被 3整除；
(3)能被 5整除的数的特征：个位上的数字是 0或者 5的数；
(4)要同时能被 2、3和5整除，这个数的个位一定是 0，各个数位上的数字相加的和能被 3整除，规范解答
即可．
【规范解答】解：由思路分析规范解答如下：(答案不唯一)
(1)是2的倍数：4570、4790、5794
(2)是3的倍数：4590、5490、7950
(3)是5的倍数：2790、4795、5740；
(4)同时是 2，3，5的倍数：4590、5490、7590．
故答案为：4570、4790、5794；4590、5490、7950；2790、4795、5740；4590、5490、7590．
【名师点评】此题主要根据能被 2、3、5整除的数的特征解决问题．
2．(2019 秋•新城区月考)在下面卡片中选出两个数字组成一个两位数，分别满足以下条件．
(1)是3的倍数：　 60 　 ；
(2)同时是 2和3的倍数　 　；
(3)同时是 2、3、5的倍数　 　；
(4)是5的倍数，而且是奇数　 　．
【思路分析】(1)是3的倍数要满足各位上的数字之和是 3的倍数；
(2)同时是 2和3的倍数特征，个位上是 0、2、4、6、8；而且各个数位上数的和是 3的倍数；
(3)同时是 2、3和5的倍数要满足个位上是 0，而且各个数位上的数的和是 3的倍数；
(4)是5的倍数，而且是奇数，个位上是 5的数，据此选数组数即可．
【规范解答】(1)是3的倍数：60；
(2)同时是 2和3的倍数 60；
(3)同时是 2、3、5的倍数 60；
(4)是5的倍数，而且是奇数：65、25；
故答案为：60；60；60；65、25．
【名师点评】此题考查同时是 2和5的倍数以及同时是 2、3和5的倍数的特征，熟记特征是解决此类题的
关键．
3．(2019 秋•沈河区校级月考)把下面的数按要求填入相应的圈里．
46、78、210、355、388、790、270、555、96、870、435、102
【思路分析】能被 2整除的特征：个位上是 0、2、4、6、8的数，能被 3整除的数的特征：各个数位上的
数字相加的和能被 3整除，能被 5整除的数的特征：个位上的数字是 0或者 5的数，同时是 2、3、5的
倍数：个位上是 0，还得各个数位上的数的和是 3的倍数，规范解答即可．
【规范解答】解：由思路分析可得：
把下面的数按要求填入相应的圈里．
46、78、210、355、388、790、270、555、96、870、435、102
【名师点评】本题主要考查是 2、3、5的倍数的数的特征．注意基础知识的灵活运用．
例3．(2019 春•东台市期末)五年级一班的男生人数是偶数，在 之间，如果每 3人一组进行实践活
动，则全部分完，没有剩余，这个班可能有多少人？(请写出你的想法)
【思路分析】根据求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘以自然数 1、2、3、 ，从中找出符合要求
的倍数，即可规范解答．
【规范解答】解： 之间 3的倍数有：42、45、48，又因五年级一班的男生人数是偶数，所以这个班
可能有 42 人，也可能有 48 人．
我是这样想的：用 3分别乘以自然数 1、2、3、 、15、16，从中找出符合要求的倍数即可．
答：这个班可能有 42 人，也可能有 48 人．
【名师点评】此题的关键是根据能被 3整除的数的特征：各个数位上数的和能被 3整除进行规范解答．
1．(2019 春•吉林期中)牡丹江百货大楼新进一批不同样式的书包，其价格都既是 2的倍数，也是 3的倍数，
还是 5的倍数．
(1)这批书包中最低价格是多少元？
(2)如果价格不超过 100 元，有哪几种价格？
【思路分析】根据 2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是 2的倍数；
根据 5的倍数的特征，一个数的个位是 0或5，这个数就是 5的倍数；
根据 3的倍数的特征，一个数各位上数的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数．
依据公倍数的意义，即在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍
数，据此即可进行规范解答．
【规范解答】解：(1)既是 2的倍数，又是 5的倍数，同时还是 3的倍数的数可以说是2、3、5的公倍数．
所以它的最小值为： ．
所以这批书包中最低价格是 30 元．
(2)如果价格不超过 100 元，只要是 30 元的倍数都可以，所以答案可以为：30 元，60 元，90 元三种．
答：30 元，60 元，90 元三种不同的价格．
【名师点评】本题考查的目的是掌握 2、3、5的倍数的特征．记住它们的特征是解题的关键．
2．(2019 春•郑州校级月考)在28 的后面添上三个数字组成五位数，使这个五位数既是偶数，又同时有因数
3和5．这个五位数最大是多少？最小呢？(要有说明过程)
【思路分析】因为这个五位数既是偶数，同时又有因数 3和5，所以这个数的个位是 0，又因为最大，所以
百位是 9，因为是 3的倍数，所以各个位数上数的和能被 3整除， ，27 是3的倍数，
所以最大是 28980；同理可知：因为求最小，所以百位是 0，因为是 3的倍数，所以各个位数上数的和
能被 3整除， ，12 是3的倍数，所以最小是 28020；由此规范解答即可．
【规范解答】解：在 28 的后面添上三个数字组成五位数，使这个五位数既是偶数，又同时有因数 3和5．
因为 ，27 是3的倍数，所以这个五位数最大是 28980；
因为 ，12 是3的倍数，所以这个五位数最小是 28020．
答：这个五位数最大是 28980，最小是 28020．
【名师点评】明确偶数的含义及能被 3、5整除的数的特征，是规范解答此题的关键．
3．(2019 春•绵阳校级月考)食品店运来45 个面包，如果每 2个装一袋，能正好装完吗？如果每 3个装一袋，
能正好装完吗？为什么？
【思路分析】回忆能2、3、5倍数的特征，一个数的个位上是 0、2、4、6、8的数，这个数就是 2的倍数；
一个数的各个数位上的和如果是 3的倍数，这个数就是 3的倍数；据此规范解答．
【规范解答】解：45 的个位上是 5，不符合 2的倍数的特征，所以如果每 2个装一袋，不能正好装完；
因 ，9是3的倍数，所以每 3个一袋能正好装完．
【名师点评】本题主要考查了学生对2、3、5倍数特征知识的掌握情况．
考点 3：奇数与偶数
例 4．(2019 秋•高台县校级月考)把下列各数按要求填入圈里
1 2 5 8 17 20 37 65 100 121 345 41
【思路分析】自然数中，是 2的倍数的数叫做偶数，不是 2的倍数的数叫做奇数；除了 1和它本身以外，
不含其它因数的数是质数；除了 1和它本身外，还含有其它因数的数是合数；据此规范解答即可．
【规范解答】解：
【名师点评】规范解答此题主要明确质数、合数、奇数、偶数的概念．
1．(2019 春•东莞校级月考)把下面各数填在相应的地方．
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