五年级数学下册 精品 期末复习专题讲义（知识点归纳 典例讲解 同步测试）-4.长方体（二） （北师大版）

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北师大版五年级下册数学期末复习专题讲义-4.长方体（二）
【知识点归纳】
一．体积与容积
1、体积与容积的概念：
体积：物体所占空间的大小叫作物体的体积。（从外部测量）
容积：容器所能容纳入体的体积叫做物体的容积。（从内部测量）
注意：①同一个容器，体积大于容积；当容器壁很薄时，容积近等于体积。如果容器壁忽略不计时，
容积等于体积。
② 几个物体拼在一起时，它们的体积不发生改变（它们占空间的大小没有发生变化）
二．体积单位
1、认识体积、容积单位
常用的体积单位：立方米（米 3）、立方分米（ ）、立方厘米（ ）
常用的容积单位：升、毫升、1 升=1 、1 毫升=1
2、感受 1 立方米、1 立方分米、1 立方厘米以及 1 升、1 毫升的实际意义：
① 手指头、苹果、火柴盒体积较小，可用 作单位
② 西瓜、粉笔盒体积稍大，可以用 作单位
③ 矿泉水瓶、墨水瓶可以用毫升作单位
④ 热水瓶等较大盛液体容器、冰箱可用生升作单位
⑤ 卡车所装的体积用“立方米”作单位。
三．长方体的体积
1、长方体、正方体体积的计算方法
① 长方体的体积=长×宽×高，如果长用 a 表示，宽用 b 表示，高用 h 表示，体积用 V 表示，体积可表示
为 V=abh
② 正方体的体积=棱长*棱长*棱长,如果棱长用 a 表示，体积可表示为 V= =a×a×a
长方体（正方体）的体积=底面积×高 V=Sh
补充知识点：长方体的体积=横截面面积×长
2、能利用长方体（正方体）的体积及其他两个条件求出问题。如：长方体的高=体积÷长÷宽 长=体积
÷高÷宽 宽=体积÷高÷长
注意：计算体积时，单位一定要统一；表面积与体积表示的意义不一样，单位不同，无法比较大小
例如:棱长为 6cm 的正方体，表面积和体积都是 216，但无法比较，因为单位不统一
四．体积单位的换算
认识体积、容积单位。常用的体积单位有：立方厘米（cm³）、立方分米（dm³） 、立方米（m³）。
常用的容积单位有：升（L）、毫升（mL）
1、体积、容积单位之间的进率：相邻体积、容积单位间进率为 1000
1 =1000 1 =1000
1 升=1 1 毫升=1 1 升=1000 毫升
2、体积、容积单位之间的换算方法：体积、容积单位之间的换算，由高级(大)单位化成低级(小)单位乘
进率，由低级(小)单位化成高级(大)单位除以进率
五．有趣的测量
1、不规则物体体积的测量方法：一般都是把不规则物体的体积转化成可通过测量计算的水的体积（注意
液面是“升高了”还是“升高到”）
注意：在测量体积较小的不规则物体的体积时，要先测量出一定数量物体的体积，再算出一个物体的
体积
2、不规则物体体积的计算方法：现在液体体积减去原来液体体积
或者不规则物体的体积（就是变化的体积=长×宽×变化的高）=底面积×变化的高
【典例讲解】
例1．一个正方体容器，从里面量棱长为 4dm．先向容器里注入 3dm 高的水，再投入 1dm3的铅块，这时容
器所装物体的体积是（　　）
A．64dm3B．48dm3C．49dm3
【分析】根据题意可知，容器内水的体积加上铅块的体积就是这时容器所装物体的体积．根据长方体的
体积公式：V＝Sh，把熟记代入公式求出水的体积再加上 1立方分米即可．
【解答】解：4×4×3+1
＝48+1
＝49（立方分米）
答：这时容器所装物体的体积是 49 立方分米．
故选：C．
【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
例2．3.05dm3＝　 3
　 L　 50
　 mL
340cm3＝　 0.34
　 dm3＝　 0.34
　 L
0.04m3＝　 40
　 dm3＝　 40000
　 cm3
【分析】（1）立方分米与升是等量关系二者互化数值不变，即3.05 立方分米＝3.05 升，3.05 升看作3
升与 0.05 升之和，把 0.05 升乘进率 1000 化成 50 毫升．
（2）低级单位立方厘米化高级单位立方分米除以进率 1000；立方分米与升是等量关系二者互化数值不
变．
（3）高级单位立方米化低级单位立方分米乘进率 1000；化低级单位立方厘米乘进率 1000000．
【解答】解：（1）3.05dm3＝3L50mL
（2）340cm3＝0.34dm3＝0.34L
（3）0.04m3＝40dm3＝40000cm3．
故答案为：3，50；0.34，0.34；40，40000．
【点评】立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）相邻之间的进率是 1000，由高级单位化低级单
位乘进率，反之除以进率．
例3．有一个长方体刚好能切成两个体积相等的小正方体，这两个小正方体的体积之和等于长方体的体积．
　√　（判断对错）
【分析】根据长方体、正方体的体积的意义，长方体、正方体所占空间的大小叫做它们的体积．所以，
一个长方体刚好能切成两个体积相等的小正方体，这两个小正方体的体积之和等于长方体的体积．据此
判断．
【解答】解：一个长方体刚好能切成两个体积相等的小正方体，这两个小正方体的体积之和等于长方体
的体积．这种说法是正确的．
故答案为：√．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体体积的意义及应用．
例4．下面是一个长方体的展开图，分别求出这个长方体的表面积和体积．
【分析】根据长方体的展开图可知：这个长方体的长是 10 厘米，宽是 8厘米，高是 5厘米，根据长方
体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，把数据分别代入公式解答．
【解答】解：表面积：（8×10+5×10+5×8）×2
＝（80+50+40）×2
＝170×2
＝340（平方厘米）
体积：10×8×5＝400（立方厘米）
答：这个长方体的表面积是 340 平方厘米，体积是 400 立方厘米．
【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是找出长、宽、高，再根据公
式解答．
例5．一种汽车油箱，从里面量长 8dm、宽 3dm，高 25cm．如果汽车每千米的耗油量是 0.08L，这个油箱
装满油最多可以供汽车行驶多少千米？
【分析】根据长方体的容积（体积）公式：V＝abh，把数据代入公式求出油箱内能装油的体积，然后根
据“包含”除法的意义，用除法解答．
【解答】解：25 厘米＝2.5 分米
8×3×2.5＝60（立方分米）
60 立方分米＝60 升
60÷0.08＝750（千米）
答：这个油箱装满油最多可以供汽车行驶 750 千米．
【点评】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：体积单位与容
积单位之间的换算．
【同步测试】
一．选择题（共10 小题）
1．把 36 个棱长是 1cm 的小正方体摆成一个大的长方体，它的体积是（　　）cm3．
A．18 B．36 C．48 D．24
2．数学课本的体积约是400（　　）
A．立方厘米 B．立方分米
C．立方米 D．以上均不正确
3．下面说法正确的是（　　）
A．1000 毫升水比 10 升水多
B．升、毫升、毫米都是容量单位
C．毫升是比升小的容量单位
4．用棱长 1cm 的小正方体拼成棱长是 2cm 的大正方体，这个大正方体的体积是（　　）
A．2cm3B．4cm3C．6cm3 D．8cm3
5．把一个棱长是 2分米的正方体木块放入一个长 12 分米、宽 9分米、高 8分米的长方体盒子里面，最多
能放（　　）个正方体木块．
A．90 B．96 C．108
6．用混凝土铺一段长为 80 米、宽为 15 米的路面，混凝土厚为25 厘米．一辆运料车每次最多运 6立方米
的混凝土，这辆运料车至少运（　　）次才能完成任务．
A．5000 B．200 C．50
7．一个长方体木箱，从里面量得长6分米，宽 4分米，高 5分米．如果在木箱里放棱长是 2分米的正方体
包装盒，最多能放（　　）个包装盒．
A．7 B．12 C．15
8．将6升水倒入一个长方体玻璃容器中（玻璃厚度不计），如果要计算容器中水面的高度，需要知道长方
体玻璃容器的（　　）
A．侧面积 B．底面积 C．表面积
9．把一个长 10dm、宽 5dm、高 7dm 的长方体，截成棱长为 2dm 的小正方体，最多可以截成（　　）个．
A．43 B．44 C．30
10．从前面、右面和上面分别观察一个长方体，看到的形状如图：
这个长方体的体积是（　　）立方厘米．
A．45 B．60 C．80 D．100
二．填空题（共8小题）
11．一根长 3分米的长方体木材，把它横截成 2段时，表面积增加了 40 平方厘米，原来木材的体积是
立方厘米．
12．在横线里填上合适的数．
3.05m3＝　
　 dm37200cm3＝　
　 dm3
2m3＝　
　 dm335cm3＝　
　 dm3
8460dm3＝　
　 m33dm350cm3＝　
　 dm3＝　
　 cm3
6.25m3＝　
　 m3　
　 dm3
13．78.4 立方分米＝　
　 立方米； 升＝　
　 毫升．
14．如图，甲的体积　
　 乙的体积；甲的表面积　
　 乙的表面积．
A．＞B．＝C．＜
15．把一根 2米长的长方体钢材截成 3段，表面积比原来增加了 24 平方分米，这根钢材原来的体积是
立方米．
16．李叔叔从一个长方体的一端截下一个最大的正方体后，长方体剩余部分的长是 8分米，宽和高与原来
相同，表面积减少了36 平方分米．剩余长方体的体积是　
　 立方分米．
17．一个商品盒是正方体形状，棱长为 6厘米，这个商品盒的体积是　
　 立方厘米，在这个盒的四周贴
上商标，贴商标的面积是　
　 平方厘米．
18．如图是由棱长为 1cm 的小正方体摆成的，它的体积是　
　 ，表面积是　
　 ．
三．判断题（共5小题）
19．求容积和求体积，计算方法相同．　
　 ．（判断对错）
20．当正方体的棱长为 6cm 时，正方体的体积和表面积的数值相等．　
　 （判断对错）
21．两个体积一样大的杯子，它们的容积不一定相等．　
　 （判断对错）
22．一根方木的体积是 60 立方分米，长 20 分米，这根方木的横截面积是 3分米．　
　 （判断对错）
23．体积大的长方体的表面积一定大．　
　 （判断对错）
四．计算题（共1小题）
24．计算下面长方体和正方体的表面积和体积．（单位：cm）
（1）
（2）
五．应用题（共6小题）
25．一间长方体形状仓库从里面量长 9米，宽 6米，高 米．这间仓库的容积是多少立方米？
26．某建筑工地运来8m3的生石灰，把它倒进一个长 5m、宽 36dm、高 50cm 的池子里，能把池子倒满吗？
27．在冰雕大赛中，李叔叔把一个长是 9m、宽是 8m、高是 12m的长方体冰块加工成了一个棱长是 8m的
正方体冰块．
（1）这个正方体冰块的体积是多少立方米？
（2）被加工掉的冰块的体积是多少立方米？
28．为了迎接六一儿童节，实验小学五年级学生用棱长 4cm 的正方体积木在宣传栏旁边搭了一面长 8m、
宽12cm、高 2m的宣传墙．这面墙一共用了多少块积木？
29．将一块长 10dm，宽 8dm 的长方形铁皮四个角各剪下一个边长为 2dm 的正方形（如图），然后焊成一
个无盖的长方体水槽．这个水槽用了多少铁皮？水槽盛水多少升？（不计铁皮的厚度）
30．一个长方体形状的玻璃容器的底面是一个边长为 2分米的正方形，容器里面装有 5升水，将一个铁球
浸没在水中（水未溢出），这时水深1.5 分米．这个铁球的体积是多少立方分米？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10 小题）
1．【分析】根据题意，把 36 个棱长 1cm 的正方体摆成一个长方体，体积没有改变，是这 36 个小正方体的
体积和，由正方体的体积计算公式 V＝a3解答可得．
【解答】解：1×1×1×36
＝1×36
＝36（立方厘米）
答：这个长方体的体积是 36 立方厘米．
故选：B．
【点评】关键是明确无论拼成什么图形，体积没有改变，都是这 36 个小正方体的体积和．
2．【分析】根据对1立方厘米、1立方分米、1立方米实际有多大的认识，结合生活实际及数值的大小，
数学课本的体积用“立方厘米”作计量单位．
【解答】解：数学课本的体积约是400 立方厘米．
故选：A．
【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活
的选择．
3．【分析】根据题意，对各选项进行依次分析、进而得出结论．
【解答】解：A、1000 毫升＝1升
1升＜10 升
因此，1000 毫升水比 10 升水多是错误的；
B、升、毫升、毫米都是容量单位，说法错误，因为毫米是长度单位；
C、毫升是比升小的容积单位，说法正确；
故选：C．
【点评】此题涉及的知识点较多，但比较简单，只要认真，容易完成，注意平时基础知识的积累．
4．【分析】大正方体的棱长是 2cm，然后根据正方体体积公式 V＝a3解答即可．
【解答】解：2×2×2
＝4×2
＝8（立方厘米）
答：这个大正方体的体积是 8立方厘米．
故选：D．
【点评】本题考查了正方体体积公式 V＝a3的灵活运用．
5．【分析】首先分别求出沿长方体的长一排可以放几个，沿长方体的宽可以放几排，沿长方体的高可以
放几层，然后根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答．
【解答】解：12÷2＝6（个）
9÷2＝4（排）…1（分米）
8÷2＝4（层）
6×4×4＝96（个）
答：最多能放96 个正方体木块．
故选：B．
【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
6．【分析】首先根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出铺这段路需要混凝土的体积，然
后用混凝土的体积除以运料车每次运的体积即可．
【解答】解：25 厘米＝0.25 米
80×15×0.25÷6
＝1200×0.25÷6
＝300÷6
＝50（次）
答：这辆运料车至少运 50 次才能完成任务．
故选：C．
【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：长度单位相邻单位之间
进率及换算．
7．【分析】先求出每条棱长上最多能放的块数，即沿长方体木箱的长每排可以放多少块，沿长方体木箱
的宽可以放多少块，沿长方体木箱的高可以放多少层，再根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入
公式解答．
【解答】解：以长为边最多放：6÷2＝3（块）
以宽为边最多放：4÷2＝2（块）
以高为边最多放：5÷2＝2（层）…1（分米）
所以：3×2×2＝12（块）
答：最多能放12 块．
故选：B．
【点评】解答此题时不要用大体积除以小体积来计算块数，因为高还有剩余．
8．【分析】根据长方体的容积（体积）公式：V＝sh，那么 h＝V÷S，由此得：将6升水倒入一个长方体玻
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