五年级数学上册 第5讲 简易方程（教师版含解析）（人教版）

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第 5 讲 简易方程
用字母表示数量关系
用字母表示运算定律和计算公式
用字母
表示数
借助字母解决实际问题并代入求值
方程的意义
解方程
解简易
方程
实际问题与方程
解不同类的方程
解方程
等式的性质
方程和
等式
(1)等式的意义：表示等号两边是相等关系
的式子叫等式。
(2)方程的意义：含有未知数的等式叫方程。
(3)方程与等式的关系：等式的范围比方程
的范围大。
方程都是等式，但等式不一定是方程。
方程的
意义
使方程左右两边相等的未知数的值，叫
做方程的解。方程的解实际上是一个数。
求方程的解的过程叫做解方程。解方程
实际上是一个过程。
知识点一：用字母表示数
1. 用字母表示数量关系
(1)可以用字母或含有字母的式子来表示一个数或表示数量关系；
(2)字母与数字相乘时，把乘号省略。省略乘号时，一般把数字写在字母前面。含有字母的式
子中的加、减、除号不能省略。
2. 用字母表示运算定律和计算公式
(1)在含有字母的式子里，只有字母与字母、数字与字母之间的“×”才能简写成“.” 或者
省略不写。
注意：省略乘号后，数字必须写在字母的前边。
(2)应用公式求值解决问题的步骤：
第一步：写出字母公式
第二步：把字母表示的数值代入公式
第三步：计算出结果，记住写单位
3. 用字母表示复杂的数量关系
(1)不同的式子可以表示相同的数量关系。
(2)将字母的具体数值代入含有字母的式子中,即可求得相应式子的值。
4. 化简含有字母的式子并代入数据求值
计算含有字母的式子的时候，可以先运用运算定律将含有字母的式子进行化简,再求值。
知识点二：解简易方程
1.方程的意义
(1)方程的意义：含有未知数的等式是方程。
方程的
意义
使方程左右两边相等的未知数的值，叫
做方程的解。方程的解实际上是一个数。
求方程的解的过程叫做解方程。解方程
实际上是一个过程。
(2)方程必须具备的两个条件：一是等式；二含有未知数。
2.方程一定是等式；但等式不一定是方程。
3. 所有的方程都是等式，但等式不一定都是方程。
4.等式的性质
等式的性质 1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
等式的性质 2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为 0 的数,左右两边仍然相等。
5.方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。
考点一：用字母表示数
【例 1】(2020•顺德区)林老师用 500 元钱去买体有用品，每个篮球 a元．若他买了 6个篮球，还剩　 (500﹣
6
a
)
　 元；若 a＝50，买 6个篮球还剩　 200
　 元．
【思路分析】根据“总价＝单价×数量”即可计算出林老师买篮球用的钱数，用 500 元减买篮球用的钱
数就是还剩下的钱数．把 a＝50 代入表示含有 a的表示还剩钱数的式子计算即可求出若 a＝50，买 6个
篮球还剩的钱数．
【规范解答】解：500﹣a×6＝500 6﹣a(元)
当a＝50 时
500 6﹣a
＝500 6×50﹣
＝500 300﹣
＝200(元)
答：每个篮球 a元．若他买了 6个篮球，还剩(500 6﹣a)元；若 a＝50，买 6个篮球还剩 200 元．
故答案为：(500 6﹣a)，200．
【名师点评】此题是考查学生在现实情景中理解用字母表示数的意义，初步掌握用字母表示数的方法；
会用含有字母的式子表示数量；使学生在理解含有字母式子的具体意义的基础上，会根据字母的取值，
求含有字母式子的值．
1．(2020•荥阳市)红星体育用品商店里，每个篮球售价 a元，每个足球售价 b元．
(1)买5个篮球和 2个足球要　 (5
a
+2
b
)
　 元．
(2)根据篮球、足球的单价，写出一个含有字母的式子：　 2
a
+
b
　 ，这个式子表示　买
2
个篮球和
1
个足
球要花的钱数　．
【思路分析】(1)用每个足球售价乘足球的个数，用每个篮球售价乘篮球的个数，再相加即可；
(2)2a+b，用每个篮球售价乘 2，得出 2个篮球的单价，再加每个足球的个数，即可得买 2个篮球和 1个
足球要花的钱数．
【规范解答】解：(1)5×a+2×b
＝5a+2b(元)
答：买 5个篮球和 2个足球要(5a+2b)元．
(2)2a+b，
这个式子表示的意思是：买 2个篮球和 1个足球要花的钱数．
故答案为：(1)(2a+3b)；(2)2a+b，买 2个篮球和 1个足球要花的钱数．(答案不唯一)
【名师点评】本题考查了用字母表示数，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，
然后根据题意列式计算即可得解．
2．(2020 春•复兴区期末)食堂运来 a袋大米，每袋重 25 千克，已经吃了 x千克．还剩下　 (25
a
﹣
x
)
　 千克．
当a＝20，x＝360 时，还剩下　 140
　 千克．
【思路分析】食堂运来 a袋大米，每袋重 25 千克，共重 a个25 千克，根据乘法的意义，a个25 千克即
25a千克，吃了 x千克还剩下(25a﹣x)千克；把 a＝20，x＝360 代入含有字母 a、x的表示还剩下克数的
式子计算即可．
【规范解答】解：25×a﹣x＝25a﹣x(千克)
当当 a＝20，x＝360 时
25a﹣x
＝25×20 360﹣
＝500 360﹣
＝140(千克)
答：还剩下(25a﹣x)千克．当 a＝20，x＝360 时，还剩下 140 千克．
故答案为：(25a﹣x)，140．
【名师点评】此题是考查学生在现实情景中理解用字母表示数的意义，初步掌握用字母表示数的方法；
会用含有字母的式子表示数量；使学生在理解含有字母式子的具体意义的基础上，会根据字母的取值，
求含有字母式子的值．
3．(2020•藁城区)一本书共有 m页，小明每天看 a页，看了 b天，还剩 19 页．小明看了　 ab
　 页，还可以
表示为　 (
m
19)﹣
　 页．
【思路分析】先根据“每天看的页数×看的天数＝看了的页数”求出看了的页数，即 ab 页，也可以根据
“这本书的总页数﹣剩下的页数＝看了的页数”求出即可．
【规范解答】解：一本书共有 m页，小明每天看 a页，看了 b天，还剩 19 页．小明看了 ab 页，还可以
表示为(m19)﹣页．
故答案为：ab，(m19)﹣．
【名师点评】做对这道题的关键是分清总页数，看的页数和剩下的页数这三者之间的关系．
考点二：解简易方程
【例 2】(2019 春•吴忠期中)在6+2＝8、27﹣x、52÷2＝26、x7﹣＞12、a15﹣＝32、7x＝30、x+y＝30 中，
等式有　 5
　 个，方程有　 3
　 个．
【思路分析】等式是指用“＝”连接的式子，方程是指含有未知数的等式；据此进行分类．
【规范解答】解：等式有：6+2＝8、52÷2＝26、a15﹣＝32、7X＝30、X+Y＝30，因为它们是用“＝”
号连接的式子，共 5个；
方程有：a15﹣＝32、7X＝30、X+Y＝30，因为它们是含有未知数的等式，共 3个．
故答案为：5，3．
【名师点评】此题考查等式和方程的辨识，熟记定义，才能快速辨识．
1．(2019 春•射阳县期中)在5.6+x＝7.8； 95 37﹣＝58； 8﹣y；30+x＜75；9x＝72+18 中，等式有　 5.6+
x
＝ 7.8
、 95 37﹣
＝ 58
、 9
x
＝ 72+1
　 ，方程有　 5.6+
x
＝ 7.8
、 9
x
＝ 72+18
　 ．
【思路分析】等式是指用“＝”连接的式子，方程是指含有未知数的等式；据此进行分类．
【规范解答】解：等式有：5.6+x＝7.8、95 37﹣＝58、9x＝72+18
方程有：5.6+x＝7.8、9x＝72+18．
故答案为：5.6+x＝7.8、95 37﹣＝58、9x＝72+18，5.6+x＝7.8、9x＝72+18．
【名师点评】此题考查等式和方程的辨识，熟记定义，才能快速辨识．
2．(2019•衡阳模拟)如果 3x+4＝25，那么 4x+3＝　 31
　 ．
【思路分析】根据题意，先求出方程 3x+4＝25 的解，然后把 x的值代入 4x+3 进行计算即可．
【规范解答】解：3x+4＝25，
3x+4 4﹣＝25 4﹣，
3x＝21，
3x÷3＝21÷3，
x＝7，
把x＝7代入 4x+3＝4×7+3＝31，
故答案为：31．
【名师点评】本题主要考查解方程，根据等式的性质进行解答即可．
3．(2018 春•获嘉县月考)等式的两边同时加上或减去同一个数，所得的结果仍是　等式　．
【思路分析】等式的性质：在等式的两边都加上(或减去)一个相同的数，等式依然成立；据此进行判断．
【规范解答】解：等式的两边同时加上或减去同一个数，所得的结果仍是等式；
故答案为：等式．
【名师点评】此题考查等式的性质：在等式的两边同时都加上(或减去)一个相同的数；两边同时都乘上
(或除以)一个相同的数(0 除外)，等式依然成立．要注意：必须是同一个数才行．
一．选择题(共6小题)
1．笼子里有 a只鸡.8 只兔，这些鸡和兔﹣﹣共有多少只脚？下面列式错误的是(　　)
A．2a+8×4 B．(a+8)×4 2﹣a
C．(a+8)×(4+2)
【思路分析】因为一只鸡有 2只脚，一只兔有 4只脚，由此根据：鸡的只数×2+兔的只数×4＝鸡和兔的
总脚数；算出即可；
或者把鸡的脚的只数看作4只，则这样鸡和兔共有[(a+8)×4]只脚，这时鸡和兔的总只数就多算出了 2a
只脚，然后用鸡和兔的总只数减去多算出的鸡的脚的只数即可．
【规范解答】解：笼子里有 a只鸡.8 只兔，这些鸡和兔﹣﹣共有多少只脚？
列式为：2a+8×4 或(a+8)×4 2﹣a，
所以列式错误的是(a+8)×(4+2)；
故选：C．
【名师点评】明确题中数量间的关系，是解答此题的关键．
2．(2020•齐齐哈尔)如果 a、b均为质数，且3a+7b＝41，则a+b＝(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路分析】因为 41 是奇数，只有奇数加偶数和才为奇数，且3、7、a，b均为质数，所以 a，b中必
有一个是 2．假设 a＝2，则b＝(41 6)÷7﹣＝5．所以 a+b＝7．
【规范解答】解：假设 a＝2，则b＝(41 3×2)÷7﹣＝5，
a+b＝7；
a+b＝7．
故选：C．
【名师点评】完成本题首先要明白一个偶数加一个奇数等于一个奇数．
3．(2020 春•綦江区期末)一个长方体的长、宽、高分别是a，b，h米，如果长与宽不变，高增加2米后，
那么现在的长方体的体积比原来长方体的体积增加(　　)立方米．
A．2ab B．2abh C．ab(h+2) D．4a+4b
【思路分析】根据长方体的体积公式V＝abh，分别求出原来和后来的长方体体积，再相减就是增加的
体积．
【规范解答】解：原来长方体的体积：V＝abh
后来长方体的体积：a×b×(h+2)＝ab(h+2)＝abh+2ab
增加的体积：abh+2ab﹣abh＝2ab(立方米)．
答：新的长方体体积比原来长方体体积增加2ab 立方米．
故选：A．
【名师点评】解答此题的关键是把所给出的字母当做已知数，再根据长方体的体积公式分别求出长方体
的体积，进而得出答案．
4．(2020•李沧区)一个两位数，十位上的数字是 a，个位上的数字是 b，这个两位数用含有字母的式子表示
是(　　)
A．ab B．10a+bC．10b+a
【思路分析】用十位上的数字乘以 10，加上个位上的数字，即可列出这个两位数．
【规范解答】解：因为十位数字为 a，个位数字为 b，
所以这个两位数可以表示为 10a+b．
故选：B．
【名师点评】此题考查了用字母表示数，以及两位数的表示方法．两位数字的表示方法：十位数字
×10+个位数字．
5．(2018 春•台安县期末)下列式子中是方程的是(　　)
A．5x+3.2 B．10＝x+8 C．2.8 0.5﹣xD．12+23＝35
【思路分析】方程是指含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此
进行选择．
【规范解答】解：A、5x+3.2，只是含有未知数的式子，不是等式，不是方程；
B、10＝x+8，既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程；
C、2.8 0.5﹣x，只是含有未知数的式子，不是等式，不是方程；
D、12+23＝35，只是等式，不含有未知数，不是方程．
故选：B．
【名师点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程．
6．(2020•中原区)如果 2m(m是一个自然数)表示一个偶数，那么 2m+1 一定表示的是(　　)
A．奇数B．合数C．质数
【思路分析】在自然数中奇数与偶数相差1，即一个偶数加 1或减 1都是奇数，一个奇数加 1或减 1都
是偶数，如果 2m(m是一个自然数)表示一个偶数，那么 2m+1 一定表示的是奇数．
【规范解答】解：如果 2m(m是一个自然数)表示一个偶数，那么 2m+1 一定表示的是奇数．
故选：A．
【名师点评】此题是考查学生在现实情景中理解用字母表示数的意义，初步掌握用字母表示数的方法；
会用含有字母的式子表示数量．一个偶数加 1或减 1都是奇数，如果 2m(m是一个自然数)表示一个偶数，
那么 2m+1 一定表示的是奇数．
二．填空题(共6小题)
7．(2020•唐县)我们所穿鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，他们之间的换算关系是 m＝2n10(﹣m
表示码数，n表示厘米数)．那么 25 厘米长的鞋子用“码”作单位是　 40
　 码．
【思路分析】根据“码”和“厘米”之间的换算关系 m＝2n10﹣，把 n＝25 厘米代入式子，求得 m的值
也就是“码”数．
【规范解答】解：当 n＝25 厘米时，
m＝2n10﹣，
＝2×25 10﹣，
＝40；
答：25 厘米的鞋子用”码“作单位就是 40 码．
故答案为：40．
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