五年级数学上册第3单元倍数与因数_第01讲_因数与倍数(教师版)（北师大版）

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高思爱提分演示（KJ)初中语文教师辅导讲义

[教师版]

学员姓名寒假班年级初一

辅导科目初中语文学科教师李红娟

上课时间 2020-02-05 08:00:00-09:00:00

知识图谱

因数与倍数

知识精讲

一．因数倍数的概念

在整数除法中，如果商是整数而没有余数，那么被除数就是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数．

字母表示：如果（a，b，c是非 0自然数），那么 b、c就是 a的因数，a是b、c的倍数．

二．找一个数的因数的方法

1．找一个数的因数的方法：（1）列除法算式找．用此数分别除以大于等于 1且小于它本身的所有整数，所

得的商是整数且没有余数，这些除数和商就是这个数的因数；（2）列乘法算式找．把这个数写成两个整数相乘的

形式，算式中的每个整数都是这个数的因数．

2．表示一个数的因数的方法：（1）列举法；（2）集合法．

3．一个数的因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身．

三．找一个数的倍数的方法

1．找一个数的因数的方法：（1）列除法算式找．看哪些非 0自然数除以这个数商是整数且没有余数，这些

数就是这个数的倍数；（2）列乘法算式找．用这个数依次与非 0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数．

2．表示一个数的倍数的方法：（1）列举法；（2）集合法．

3．一个数的倍数的特征：一个数的因数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数．

典型例题†（1）观察下面的算式并分类．

（2）18 的因数有哪几个？30 的因数有哪些？36 呢？

（3）2的倍数有哪些？3的倍数有哪些？5呢？

名师学堂（1）根据商的特点为算式分类．分类标准：观察发现，9道除法算式中，被除数和除数都是整数，得数

既有整数又有小数，有的得数还有余数，可以根据“得数是不是整数和有没有余数”这一标准进行分类．

分类展示．

明确因数、倍数的意义．在第一类算式中，被除数和除数都是整数，得数也是整数且没有余数．这样的算式

中，可以说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数．

举例说明因数和倍数的关系．

在中，12 是2和6的倍数，2和6是12 的因数．

在中，30 是5和6的倍数，5和6是30 的因数．

在中，20 是2和10 的倍数，2和10 是20 的因数．

明确：①因数与倍数的条件．被除数、除数和商都是大于 0的自然数．②因数与倍数的依存性．因数与倍数

都不能单独存在，不能说谁是因数，谁是倍数，应该说谁是谁的倍数，谁是谁的因数．

“一个数的因数”与“乘法算式中的因数”的区别．

“倍数”与“几倍”的区别．

明确 0的特殊性．为了方便，在研究因数和倍数时，所说的数一般指的是不包括 0的自然数．

（2）探究找 18 的因数的方法．

方法一：列除法算式找．根据因数的意义去想：被除数 18 不变，改变除数，看商是不是整数，如果是，则除

数和商都是 18 的因数．列除法算式时，除数从 1开始试除：，，，再继续找下去，发

现18 除以 4、5、7、8、10、11、12、13、14、15、16、17 时，都不能得到整数商．所列举的这三个算式中的商

和除数都是 18 的因数．

方法二：列乘法算式找．根据除法各部分间的关系，用被除数=除数×商来找出 18 的因数．看 18 是哪两个数相

乘的积，那么这两个数就是 18 的因数．，，，这三个算式中等号左边的数都是 18 的

因数．

明确 18 的因数的表示方法．

方法一：列举法．方法说明：在表示 18 的因数时，可以把 18 的因数按从小到大的顺序排列，每两个因数之间

用逗号隔开，全部写完后加句号表示结束．具体表示方法：18 的因数有 1，2，3，6，9，18．

方法二：集合法．方法说明：画一个椭圆，在椭圆的上面写上“18 的因数”．把 18 的因数按从小到大的顺序

有规律地写在椭圆里，每两个因数之间也用逗号隔开，全部写完后，不用加句号．具体表示方法：

根据找 18 的因数的方法找出 30 和36 的因数．30 的因数有 1，2，3，5，6，10，15，30．36 的因数有

1，2，3，4，6，9，12，18，36．

探究一个数的因数的特征．观察 18、30 和36 的因数发现：18 的因数有 6个，30 的因数有 8个，36 的因数有

9个，它们最小的因数都是 1，最大的因数分别是 18、30 和36．由此可知，一个数的因数的个数是有限的，其中

最小的因数是 1，最大的因数是它本身．

（3）探究找 2的倍数的方法．

方法一：列除法算式找．根据倍数的意义，可以列除法算式找出 2的倍数．看哪个数除以 2，商是整数且没有

余数，这个数就是 2的倍数，如，，，……，那么 2、4、6、……都是 2的倍数．

方法二：列乘法算式找．根据除法各部分之间的关系，用被除数=除数×商来找出 2的倍数．2与非零自然数的

积都是 2的倍数．用 2分别乘 1、2、3、……即，，，……那么 2、4、6、……都是 2的

倍数．

2的倍数的表示方法．

方法一：列举法．方法说明：2的倍数的个数是无限的，写数时从 2本身开始，依次写出几个后，2的其他倍

数用省略号代替．书写时每两个倍数之间用逗号隔开，不再列举时，也写一个逗号，然后加三个圆点形式的省略

号，最后写一个句号．具体的表示方法：2的倍数有 2，4，6，…．

方法二：集合法．方法说明：画一个椭圆，在椭圆的上面写上“2的倍数”，表示 2的倍数的集合．把 2的倍

数按从小到大的顺序写在集合里，每两个倍数之间用逗号隔开，不再列举时，也写一个逗号，然后加三个圆点形

式的省略号，不用加句号．具体表示方法：

根据找 2的倍数的方法，找出 3和5的倍数．3的倍数有 3，6，9，…．5的倍数有 5，10，15，…．

观察 2、3、5的倍数，发现一个数的倍数的特征：2、3、5的倍数都有无数个；2、3、5的最小倍数是它们的

本身；2、3、5都没有最大的倍数；由此可知，一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最

大的倍数．

三点剖析

重点：理解因数和倍数的意义．

难点：有序地找出一个数的因数和倍数．

易错点：一个数的因数个数是有限的，而一个数的倍数个数却是无限的．因数倍数是对于整数而言，小数是不存

在因数和倍数的．

因数、倍数的意义

例题

例题 1、想一想，填一填．

（1）32＝（）×（）＝（）×（）＝（）×（），32 的全部因数有

（）．

（2）1有（）个因数，11 的因数有（）个，36 的全部因数有（）．

（3）一个数的因数的个数是（）的，其中最小的因数是（），最大的因数是（）．

（4）一个数既是 12 的因数，又是 12 的倍数，它是（）．

【答案】（1）1 32 2 16 4 8 1，2，4，8，16，32

（2）1 2 1，2，3，4，6，9，12，18，36

（3）有限 1 它本身（4）12

【解析】（1）1 32 2 16 4 8 1，2，4，8，16，32

（2）1 2 1，2，3，4，6，9，12，18，36

（3）有限 1 它本身（4）12

第一类第二类

例题 2、

（1）一共有多少个？

（2）根据算式，说一说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数。

【答案】（1）2×5=10（个）

（2）10 是2和5的倍数，2和5是10 的因数

【解析】（1）2×5=10（个）

（2）10 是2和5的倍数，2和5是10 的因数

例题 3、把下面的算式进行分类，并说一说分类依据是什么。

①18÷6＝3 ②35÷7＝5

③30÷4＝7.5 ④46÷5＝9……1

⑤91÷7＝13 ⑥12÷0.2＝60

分类依据：________________________。

【答案】第一类：①②⑤；第二类：③④⑥；分类依据：是否存在因数与倍数的关系

【解析】第一类：①②⑤；第二类：③④⑥；分类依据：是否存在因数与倍数的关系

例题 4、写出下面各数的因数或倍数．

【答案】略

【解析】略

随练

随练 1、一个数的倍数的个数是（　　　　），其中最小倍数是（　　　　）；一个数的因数的个数是（

　），其中最大的是（　　　　），最小的是（　　　　）．

【答案】无限的它本身有限的它本身 1

【解析】无限的它本身有限的它本身 1

随练 2、一个数既是 15 的因数，又是 15 的倍数，这个数是（　　　　）．

【答案】15

【解析】15

找一个数的因数的方法

例题

例题 1、分一分，填一填．

4的倍数有：（）；16 的因数有：（）；

既是 4的倍数，又是 16 的因数的有：（）．

【答案】4的倍数有：16，20，12，48，36 16 的因数有：16，2，1

既是 4的倍数，又是 16 的因数的有：16

【解析】4的倍数有：16，20，12，48，36 16 的因数有：16，2，1

既是 4的倍数，又是 16 的因数的有：16

例题 2、用18 个小正方形摆长方形，有几种摆法？填一填，想一想，18 的因数有哪些？

【答案】

有3种摆法，18 的因数有：1，2，3，6，9，18

【解析】

有3种摆法，18 的因数有：1，2，3，6，9，18

例题 3、一个长方形房间长45dm，宽33dm，现在计划用方砖铺地，需要用边长为多少的方砖（整块）才能正好把

房间的地面铺满？（方砖边长为整数分米，且大于 1dm）

【答案】3dm．点拨：45 的因数有 1，3，5，9，15，45．33 的因数有 1，3，11，33．因为方砖的边长想相等，所

以方砖的边长是45 和33 公有的因数．

【解析】3dm．点拨：45 的因数有 1，3，5，9，15，45．33 的因数有 1，3，11，33．因为方砖的边长想相等，所

以方砖的边长是45 和33 公有的因数．

例题 4、如果，那么的因数有哪些？

【答案】的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24．

点拨：方法一：由，求出，在找出 24 的全部因数；方法二：由，可推出

2，3，4，2×3，2×4，3×4，2×3×4 以及1都是 a的因数．

【解析】的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24．

点拨：方法一：由，求出，在找出 24 的全部因数；方法二：由，可推出

2，3，4，2×3，2×4，3×4，2×3×4 以及1都是的因数．

例题 5、把27 个球装在盒子里，每个盒子里球的个数相同，需要几个盒子？有几种装法？如果有 11 个球呢？

【答案】因为 27=1

27=3

9，即 27 有1，3，9，27 这4个因数，所以最多有4种装法，但由条件“每个盒子里球

的个数相同”可知至少要用2个盒子，所以共有3种装法，具体见下表．

11 只有1和11 两个因数，所以只有一种装法，每个盒子装 1个，需要 11 个盒子．

【解析】因为 27=1

27=3

9，即 27 有1，3，9，27 这4个因数，所以最多有4种装法，但由条件“每个盒子里球

的个数相同”可知至少要用2个盒子，所以共有3种装法，具体见下表．

11 只有1和11 两个因数，所以只有一种装法，每个盒子装 1个，需要 11 个盒子．

例题 6、甲、乙、丙三个班同学去公园划船，甲班42 人，乙班35 人，丙班28 人．把各班同学分别分成若干小组，

按小组分乘若干条小船，使每条船上人数相等．每条船最多乘多少人？最少需要租多少条船？

【答案】7人；15 条船

【解析】7人；15 条船

随练

随练 1、48 有（）个因数．

A.8 B.9 C.10 D.11

【答案】 C

【解析】C

随练 2、根据 3×9＝27，我们可以说（）是（）和（）的倍数，（）和（）是（）的因数。

【答案】27，3，9，3，9，27

【解析】27，3，9，3，9，27

找一个数的倍数的方法

例题

例题 1、写一写，想一想，填一填．

（1）请你写出 100 以内9的所有倍数；

（2）请你写出 100 以内7的所有倍数；

（3）通过找9和7的倍数，我发现一个数的倍数的个数是（），其中最小的倍数是（）．

【答案】（1）100 以内9的倍数有：9，18，27，36，45，54，63，72，81，90，99

（2）100 以内7的倍数有：7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98

点拨：找一个数的倍数注意不重复，不遗漏．

（3）无穷的它本身

【解析】（1）100 以内9的倍数有：9，18，27，36，45，54，63，72，81，90，99

（2）100 以内7的倍数有：7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98

点拨：找一个数的倍数注意不重复，不遗漏．

（3）无穷的它本身

例题 2、看谁找得快。

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