五年级数学上册 第8讲 好玩（教师版含解析）（北师大版）

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第 8 讲 数学好玩
一.知识梳理
知识点一：设计秋游方案
最优化问题：最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、
物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的
一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容．下面我们就最优化问题做出汇总
分析．
最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，
增强数学能力很有益处．但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举．
知识点二：
：例：六一儿童节用彩色小灯泡布置教室，按“三红、二黄、二绿”的规律连接起来，第 37
个小灯泡是(　　)
A、红¬¬¬¬¬¬ B、黄¬¬¬¬¬¬ C、绿¬¬¬¬¬ D、不确定
分析：彩灯的排列规律是：按照颜色特点，7 个灯泡一个循环周期：按照 3 红、2 黄、2 绿依
次循环排列；
解：37÷7=5…2，
所以第 37 个小灯泡是第 6 个循环周期的第 2 个，与第一个周期的第 2 个灯泡颜色相同，是红
色；
故选：A．
点评：得出这组灯泡颜色排列的周期特点，是解决本题的关键．
知识点三：
：方法：假设法，方程法，抬腿法，列表法
公式 1：(兔的脚数×总只数-总脚数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)=鸡的只数；¬
总只数-鸡的只数=兔的只数
公式 2：( 总脚数-鸡的脚数×总只数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)=兔的只数；¬
总只数-兔的只数=鸡的只数
公式 3：总脚数÷2-总头数=兔的只数；¬ 总只数-兔的只数=鸡的只数
公式 4：鸡的只数=(4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数)÷2；¬ 兔的只数=鸡兔总只数-鸡
的只数
公式 5：兔总只数=(鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数)÷2；¬ 鸡的只数=鸡兔总只数-兔
总只数
公式 6：(头数 x4-实际脚数)÷2=鸡
公式 7：4×+2(总数-x)=总脚数 (x=兔，总数-x=鸡数，用于方程)
公式 8：鸡的只数：兔的只数=兔的脚数-(总脚数÷总只数)：(总脚数÷总只数)-鸡
的脚数．
二.精讲精炼
考 点 1
最优化问题
【例 1】学校准备印制 3400 份科普资料，现有甲、乙两家打印店提供了报价：甲打印店：每份 0.7 元，另
收3000 元的制版费；乙打印店：每份 1.55 元，不收制版费．学校从这两家店中选择了最省钱的店，支
付了　 5270
　 元．
【分析】根据甲乙两家印刷厂的收费标准，分别计算印刷 3400 份资料各需要多少钱，然后进行比较，
即可得出结论．
【解答】解：甲：
0.7×3400+3000
＝2380+3000
＝5380(元)
乙：1.55×3400＝5270(元)
5380＞5270
答：选择乙印刷厂比较省钱，支付了 5270 元．
故答案为：5270．
【点评】本题主要考查最优化问题，关键根据两家的收费政策，计算所需钱数．
1．李叔叔去店里购买瓷砖铺客厅．他想买边长为 100 厘米的正方形方砖，每块 100 元．商家推荐同一材质
边长为 50 厘米的正方形方砖，说这款现在更优惠，每块只要 40 元．请你帮李叔叔想一想，选边长为
100
　 厘米的方砖更划算．请说明理由(可以选择文字，计算，画草图等方式说明)．
【分析】设李叔叔需要 a块边长为 100 厘米的正方形方砖，通过面积相等，求出购买边长为 50 厘米的
正方形方砖需要多少块，然后分别计算购买两种方砖需要多少钱，进行比较即可．
【解答】解：设李叔叔需要 a块边长为 100 厘米的正方形方砖，
一块边长为 100 厘米的正方形方砖的面积为：100*100＝10000(cm2)
一块边长为 50 厘米的正方形方砖的面积为：50*50＝2500(cm2)
边长为 50 厘米的正方形方砖需要买：10000÷2500×a＝4a(块)
买边长为 100 厘米的正方形方砖需要：a×100＝100a(元)
买边长为 50 厘米的正方形方砖需要：4a×40＝160a(元)
100a＜160a
所以，选边长为 100 厘米的方砖更合算．
故答案为：100．
【点评】本题主要考查了最优化问题，需要特别注意正方形面积和边长的关系．
2．某超市一种品牌的香油共有三种规格．小瓶 200g售价 8.5 元、中瓶 400g售价 16 元、大瓶 600g售价
24.9 元．请你算一算，要在这家超市买 800g这种品牌的香油最少要花　 32
　 元钱．
【分析】小瓶 200g售价 8.5 元，用 8.5 元除以 200 克，求出小瓶每克需要的钱数，同理求出中瓶和大瓶
每克需要的钱数，然后比较得出哪种最便宜，那么买 800 克首先选择这一种包装的，再进一步根据总价
＝单价×数量求解．
【解答】解：8.5÷200＝0.0425(元)
16÷400＝0.04(元)
24.9÷600＝0.0415(元)
0.04＜0.0415＜0.0425
买中瓶的最便宜
800÷400＝2(瓶)
16×2＝32(元)
答：要在这家超市买 800g这种品牌的香油最少要花 32 元钱．
故答案为：32．
【点评】解决本题先根据单价＝总价÷数量求出每种的单价，再比较得出哪种的最便宜，然后得出需要
购买的瓶数，进而根据总价＝单价×数量求解．
3．两名教师带领 35 名同学出去春游，需要租船，租金最少为　 198
　 元．
【分析】本题根据需要坐船的人数，两种船的限载人数及租金进行分析即可：
由题意可知，大船每人次的成本为 30÷6＝5元，小船每人次的成本为 24÷4＝6元．
由此可得：在尽量满载的情况下，多租用大船最合算．据此解答即可．
【解答】解：35+2＝37(人)
大船每人次的成本为：30÷6＝5(元)
小船每人次的成本为：24÷4＝6(元)
5＜6
由此可得：在尽量满载的情况下，多租用大船最合算．
37÷6＝6(条)…1(人)
余1人，空座过多，调整为，即租用 5条大船，2条小船最省钱．
需花：30×5+24×2
＝150+48
＝198(元)
答：租金最少为 198 元．
故答案为：198．
【点评】通过分析大船与小船的租用成本得出在尽量满载的情况下，多租用大船最合算是完成本题的关
键．
考 点 2
【例 2】“抗震救灾，众志成城”重复写这几个字，第 21 个字应该是　众　．
【分析】观察题干可知，8个字一个循环周期，据此求出第 21 个字是第几个循环周期的第几个即可解答
问题．
【解答】解：21÷8＝2…5，
所以第 21 个字是第 3循环周期的第 5个，是众．
答：第 21 个字应该是 众．
故答案为：众．
【点评】解答此题的关键是明确这组汉字的排列规律．
1．我们爱数学我们爱数学…其中第 20 个字是　学　．
【分析】根据题干分析可得：5个汉字一个循环周期，分别按照：我们爱数学的顺序循环排列，据此计
算出第 20 个汉字是第几个循环周期的第几个字即可解答．
【解答】解：20÷5＝4，
所以第 20 个汉字是第 4循环周期的最后一个，是学；
答：第 20 个字是学．
故答案为：学．
【点评】根据题干，得出这组汉字的排列周期规律是解决本题的关键．
2．〇〇☆☆☆〇〇☆☆☆…左起第21 个图形是　〇　，前60 个图形〇有　 24
　 个，☆有　 36
　 个．
【分析】观察图形可知，这组图形的排列规律是：5个图形一个循环周期，分别按照：〇〇☆☆☆依次
循环排列，用 21(60)除以 5结合余数判断有几个〇和☆，由此即可解答．
【解答】解：21÷5＝4…1，
所以第 21 个图形是经历了4个循环周期零 1个图形，
所以，左起第21 个图形是〇；
60÷5＝12，
〇有：2×12＝24(个)，
☆有：3×12＝36(个)；
故答案为：〇，24，36．
【点评】解此类题关键是观察图形，看看是怎么循环的，循环周期是什么，有几个循环周期．
3．找出规律，填一填．
△□〇☆△□〇☆△□〇☆△□〇☆…第 33 个图形是　△　．
【分析】观察图形可知，这组图形的排列规律是：4个图形一个循环周期，分别按照△□〇☆的顺序依
次循环排列，据此求出第 33 个图形是第几个循环周期的第几个图形即可解答．
【解答】解：33÷4＝8…1，
所以第 33 个图形是第 9循环周期的第一个图形是△．
故答案为：△．
【点评】根据题干得出这组图形的排列规律是解决此类问题的关键．
考 点 3
【例 3】鸡、兔同笼，有 20 个头，54 条腿，兔有　 7
　 只．
【分析】此类问题可以利用假设法，假设全是鸡，那么就有20×2＝40 条腿，这比已知54 条腿少了 54﹣
40＝14 条腿，1只兔比1只鸡多4﹣2＝2条腿，由此即可得出兔有：14÷2＝7只由此即可解答．
【解答】解：假设全是鸡，那么兔有：
(54﹣20×2)÷(4﹣2)
＝14÷2
＝7(只)
答：兔有7只．
【点评】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设法，也可以用方程进行解答．
1．小明用 10 元钱正好买了 2角和5角的邮票共35 张，2角邮票有　 25
　 张．
【分析】假设35 张全是5角的邮票，则一共花掉35×5＝175 角，这比已知的 10 元＝100 角多了 175﹣
100＝75 角，又因为一张5角的邮票比一张2角的邮票多5﹣2＝3角，所以可以得出 2角的邮票是75÷3
＝25 张，据此即可解答问题．
【解答】解：10 元＝100 角
(35×5﹣100)÷(5﹣2)
＝75÷3
＝25(张)
答：2角邮票有25 张．
故答案为：25．
【点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程
进行解答．
2．鸡兔同笼，有 20 个头，54 条腿，鸡有　 13
　 只．
【分析】假设笼子里都是鸡，那么就有20×2＝40 条腿，这样就多出 54﹣40＝14 条腿；因为一只兔比一
只鸡多(4﹣2)＝2条腿，也就是有 14÷2＝7只兔；所以有 20﹣7＝13 只鸡．
【解答】解：兔：(54﹣20×2)÷(4﹣2)
＝14÷2
＝7(只)
鸡：20﹣7＝13(只)
答：鸡有13 只．
故答案为：13．
【点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程
进行解答．
3．“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这是我国古代数学著作《孙子算
经》中的一道题目，把它翻译成现代汉语是：现在有一些鸡和兔子被关在同一个笼子里，鸡和兔共35
个头、94 只脚．请问鸡有　 23
　 只．
【分析】根据题意，假设35 只都是兔子，则脚的只数应该为：35×4＝140(只)，与实际相差140﹣94＝
46(只)，一只鸡比一只兔子少脚的只数：4﹣2＝2(只)，所以鸡的只数为：46÷2＝23(只)，据此解答．
【解答】解：(35×4﹣94)÷(4﹣2)
＝(140﹣94)÷2
＝46÷2
＝23(只)
答：鸡有23 只．
故答案为：23．
【点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程
进行解答．
三.巩固提升
一．选择题(共10 小题)
1．江城一日游，旅行社推出 A、B两种优惠方案．2个大人，4个小孩，选择哪种方案省钱？(　　)
A．江城一日游：大人每人 150 元，小孩每人 50 元
B．江城一日游：每人 100 元，团体 5人以上(含5人)优惠
C．两种方案同样优惠
【分析】本题根据参加旅游的人数及两种不同的方案分别进行分析即能得出应选择哪种方案比较划算．
2个大人带 4个小孩旅游，共 4+2＝6人，A方案：150×2+40×5＝500 元；B方案：100××6＝540 元，A
方案省钱．据此解答．
【解答】解：A方案：150×2+40×5＝500 元；
B方案：100××6＝540 元，
因为500＜540，
∴A方案省钱．
故选：A．
【点评】选用哪种方案优惠与大人、小孩的多少有关系，如果小孩多于一定数值则用A方案合算，否则
选择 B方案合算．
2．〇〇△●●□〇●●〇〇△●●□〇●●…按照这样排列下去，第 2014 个圆形是(　　)
A．〇B．△C．●D．□
【分析】观察图形可得：这组图形的排列规律是：9个图形一个循环周期，分别按照：〇〇△●●□〇
●●循环排列的；由此计算得出第 2014 个圆形是第几个周期的第几个即可解答．
【解答】解：这组图形的排列规律是：9个图形一个循环周期，分别按照：〇〇△●●□〇●●循环排
列的；
2014÷9＝223…7，
所以第 2014 个圆形是第 224 周期的第 7个图形，是〇，
故选：A．
【点评】根据题干得出这组图形的排列周期特点是解决此类问题的关键．
3．沿道路的一边，按3面红旗、2面黄旗、1面蓝旗的顺序插了一行彩旗．第 180 面应该是(　　)
A．红旗 B．黄旗 C．蓝旗
【分析】因“沿道路的一边，按3面红旗、2面黄旗、1面蓝旗的顺序插了一行彩旗”，所以每 3+2+1
＝6面旗一个循环，循环的顺序是红、红、红、黄、黄、蓝，用循环数除 180，求出它的循环周期数进
行解答．
【解答】解：180÷(3+2+1)
＝180÷6
＝30(个)
第180 面旗是第 30 个循环的最后一个，是蓝旗．
故选：C．
【点评】本题的关键是求出循环数，再根据循环周期数进行解答．
4．□□★▲★◎◎◎□□★▲★◎◎◎□□★▲★◎◎◎□□…中排在第 43 个的是(　　)
A．□B．★C．▲D．◎
【分析】根据观察，这组图形的排列规律是：8个图形一个排列周期，分别按照：□□★▲★◎◎◎的
顺序循环排列，只要用 43 除以 8计算出第 43 个图形是第几个周期的第几个图形即可解决问题．
【解答】解：43÷(2+1+1+1+3)，
＝43÷8，
＝5(个)…3(个)，
余数是 3，所以排在第 43 个的是★．
故选：B．
【点评】根据题干得出图形的排列周期规律是解决此类问题的关键．
5．某单位买了台灯和电扇共10 台，总价 750 元．台灯买了(　　)台．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】假设都是电扇共需要 10×85＝850 元，比实际 750 元多了 850﹣750＝100 元，因为每台电扇比
台灯多85﹣60＝25 元，所以台灯买了 100÷25＝4台．
【解答】解：(10×85﹣750)÷(85﹣60)
＝100÷25
＝4(台)
答：台灯买了 4台．
故选：B．
【点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程
进行解答．
6．钢笔每支 12 元，圆珠笔每支 7元．小明共买了 6支笔，用了 62 元，钢笔买了(　　)支．
A．5 B．4 C．3
【分析】此题可用方程解答，设钢笔买了 x支，则圆珠笔买了(6﹣x)支，由题意列出方程12x+7×(6﹣x)
＝62，解方程即可．
【解答】解：设钢笔买了 x支，则圆珠笔买了(6﹣x)支，得：
12x+7×(6﹣x)＝62
12x+42﹣7x＝62
5x＝20
x＝4
答：钢笔买了 4支．
故选：B．
【点评】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是可以用假设法进行分析比较，进而得出结
论；也可以用方程，设其中的一个数为未知数，另一个数也用未知数表示，列出方程解答即可．
7．小马虎去年的压岁钱有 50 元和 100 元的人民币共22 张，一共是 1850 元．其中50 元的人民币有(　　)
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