五年级数学上册 第5讲 分数的意义（教师版含解析）（北师大版）

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第 5 讲 分数的意义
一.知识梳理
知识点一：分数的再认识
认识分数：把一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份，可以用分数表示。同一分数所
表示的具体数量不同。
认识分数单位：把一个整体“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫作分数单位。整体
“1”分的分数越多，分数单位就越小。
分饼-认识真分数、假分数、带分数：分数包括真分数和假分数，真分数小于 1，假分数大于
或等于 1。带分数是由整数和真分数合成的分数。
知识点二：分数与除法
1.分数与除法的关系
(1)带分数化假分数：用整数部分与分母的积加上分子的和做分子，分母不变。
(2)假分数化带分数或整数：用分子除以分母，没有余数，商是整数；有余数的，用余数作分
子，商作整数部分，分母不变。
2.利用分数与除法的关系解决问题
求一个数是另一个数的几分之几，就是用一个数除以另一个数。
3. 分数基本性质
一个分数的分母不变，分子扩大到原来的若干倍，这个分数也跟着扩大到原来的若干倍；一
个分数的分子不变，分母缩小到原来的几分之一，那么这个分数反而扩大到原来的几倍。
知识点三：找最大公因数、最小公倍数和约分
1. 找最大公因数-公因数和最大公因数的意义
找一组数的最大公因数的方法有：
(1)列举法
(2)筛选法
(3)短除法
(4)分解质因数法。
2. 约分-约分的含义及方法
约分的方法：(1)逐次的分法：用分子和分母分别依次除以分子分母的公因数(1 除外)，除到
分子和分母的公因数只有 1 为止。(2)一次的分法：用分子和分分别除以分子、分母的最大公
因数。
3. 找最小公倍数-公倍数和最小公倍数的意义
找两个数(不成倍数关系)的最小公倍数还可以用大数乘以 2，看是不是小数的倍数，若是，
那它们的最小公倍数就是大数乘以 2 的积，若不是，再用大数乘以 3，以此类推。
知识点四：分数的大小
比较异分母分数的大小：比较异分母分数的大小，一般要先通分，再按同分母分数大小比较
的方法进行比较。
二.精讲精炼
考 点 1
分数的再认识
【例 1】6个 是　 　，　 4
　 个 是 ．
【分析】分数的意义：把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可用分数表示，
所以一个分数的分子是几，它就含有几个这样的分数单位；据此解答即可．
【解答】解：6个是，4个是．
故答案为： ，4.
【点评】本题考查了分数的意义的灵活运用．
1．把 7千克糖平均装在 9个袋中，每袋糖是 7千克糖的　 　，每袋糖重　 　千克．
【分析】先把 7千克看成单位“1”，平均分成了 9份，每袋中装 1份，即装 9袋，每份就是总质量的 ；
求每袋的质量，用这些糖的质量除以袋数．
【解答】解：1÷9＝
7÷9＝(千克)
答：每袋糖是 7千克糖的 ，每袋糖重 千克．
故答案为： ， ．
【点评】解决此题关键是弄清求的是“分率”还是“具体的数量”，求分率：平均分的是单位“1”；
求具体的数量：平均分的是具体的数量，要注意：分率不能带单位名称，而具体的数量要带单位名称．
2．把 化成分子为 12 而大小不变的分数是　 　．
【分析】根据分数的基本性质，把 的分子分母同时扩大 12÷3＝4倍变成 ，据此解答即可．
【解答】解：12÷3＝4
7×4＝28
即把 化成分子为 12 而大小不变的分数是 ；
故答案为： ．
【点评】本题主要考查分数的基本性质，根据这一性质解答即可．分数的分子和分母同时乘或者除以相
同的数(0 除外)，分数的大小不变．这叫做分数的基本性质．
3． 的分子加上 9，要使分数大小不变，那么分母应加上　 24
　 ．
【分析】 的分子加上 9，9÷3＝3，即分子增加了 3倍，根据分数的基本性质，要使分数大小不变，分
母也要相应的增加 3倍，即分母应加上 8×3＝24．
【解答】解：9÷3＝3
8×3＝24
即要使分数大小不变，那么分母应加上 24．
故答案为：24．
【点评】分数基本性质为：分数的分子与分母同时扩大或缩小相同的倍数(0 除外)，分数的大小不变．
考 点 2
分数与除法
【例 2】下面分数中，　 　和　 　与 相等．
、、、、
【分析】根据分数的基本性质，把题目中给出的五个分数进行化简即可．
【解答】解：根据分数的基本性质，将下列分数化成最简分数，如下：
＝，＝，＝，＝，＝．
故答案为：，．
【点评】这道题目解题的关键是要熟练掌握分数的基本性质，同时会进行约分．
1．的分子减去 12，要使这个分数的大小不变，分母应变成　 6
　 ．
【分析】的分子减去 12，分子变成了 4，分子由 16 变成 4，缩小到原来的 4倍，根据分数的基本性质，
分母也要缩小到原来的 4倍，由 24 变成 6．
【解答】解：16÷(16﹣12)
＝16÷4
＝4
24÷4＝6
所以的分子减去 12，要使这个分数的大小不变，分母应变成 6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了分数的基本性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分数的分子
和分母同时乘或者除以相同的数(0 除外)，分数的大小不变．
2．将的分母加 36，要使分数的大小不变，分子应该加　 8
　 ．
【分析】将的分母加 36，分母由 9变成 45，扩大到原来的 5倍，根据分数的基本性质，分子也要扩大
到原来的 5倍，由 2变成 10，所以要使分数的大小不变，分子应该加 8．
【解答】解：(9+36)÷9×2﹣2
＝45÷9×2﹣2
＝5×2﹣2
＝10﹣2
＝8
所以将的分母加 36，要使分数的大小不变，分子应该加 8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了分数的基本性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分数的分子和分母
同时乘或者除以相同的数(0 除外)，分数的大小不变．
3．＝4÷　 14
　 ．
【分析】根据分数的性质，可知把的分子和分母同时除以 3可化成，把的分子和分母同时乘 3可化成；
根据分数与除法的关系，用的分子 2作被除数，分母 7作除数，可改写成除法算式 2÷7，再根据商不变
的性质，把 2÷7 的被除数和除数同时乘 2可化成 4÷14．据此进行解答．
【解答】解：＝＝＝4÷14；
故答案为：7，18，14．
【点评】此题主要考查分数基本性质的灵活运用，也考查了分数与除法关系的运用．
考 点 3
找最大公因数、最小公倍数和约分
【例 3】写出下面各分数分子和分母的最大公因数．
　 1
　 ． 　 12
　 ． 　 5
　 ．
　 6
　 ． 　 10
　 ． 　 8
　 ．
【分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，通常可先把每个分数中的分子分母分解
质因数，再把它们公有的质因数相乘，有倍数关系的两个数的最大公因数是两个数中较小的那个数，由
此解决问题即可．
【解答】解：
1．12．5．
6．10．8．
故答案为：1，12，5，6，10，8．
【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，有倍
数关系的两个数的最大公因数是两个数中较小的那个数，数字大的可以用短除解答．
1．写出下列各分数分子和分母的最大公因数．
　 4
　
　 6
　
　 1
　
　 5
　
【分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，通常可先把每个分数中的分子分母分解
质因数，再把它们公有的质因数相乘；有倍数关系的两个数的最大公因数是两个数中较小的那个数；如
果两个数是互质数它们的最大公因数是 1；由此解决问题即可．
【解答】解：(1)8＝2×2×2，
36＝2×2×3×3，
所以 8和36 的最大公因数是 2×2＝4；
(2)12＝2×2×3
18＝2×3×3
所以 12 和18 的最大公因数是 2×3＝6；
(3)因为 6和7是互质数，
所以 6和7的最大公因数是 1；
(4)因为 10 是5的2倍，
所以 5和10 的最大公因数是 5．
故答案为：4；6；1；5．
【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，有倍
数关系的两个数的最大公因数是两个数中较小的那个数，如果两个数是互质数，它们的最大公因数是
1；数字大的可以用短除解答．
2．50 以内 12 和8的最小公倍数是　 24
　 ．
【分析】一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数，两个数公有的倍数叫做
这两个数的公倍数．其中最小的一个就是这两个数的最小公倍数．据此解答．
【解答】解：
50 以内 12 和8的最小公倍数是 24.
故答案为：24.
【点评】此题考查的目的是理解倍数、公倍数的意义，掌握求两个数的公倍数以及最小公倍数的方法．
3．如果 a，b两个数的最大公因数是 1，那么它们的最小公倍数是　 ab
　 ．
【分析】如果两个非零自然数 a、b的最大公因数是 1，那么 a、b互质，则它们的最小公倍数是它们的
积，据此得解．
【解答】解：如果 a，b两个数的最大公因数是 1，那么它们的最小公倍数是 ab.
故答案为：ab．
【点评】此题考查了两个数互质，最大公因数是 1，最小公倍数是它们的积．
考 点 4
比较异分母分数的大小
【例 4】如果 a×﹣＝b×＝c×(a，b，c均大于 0)，那么这三个数中　 c
　 最小．
【分析】首先根据分数大小比较的方法，判断出、、的大小关系，然后根据两个非零数的乘积一定时，
其中的一个因数越小，则另一个因数越大，判断出哪个数最大即可．
【解答】解：因为，a×＝b×＝c×，
所以 a＞b＞c，
所以这三个数中 c最小．
故答案为：c．
【点评】此题主要考查了分数比较大小的方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个非零
数的乘积一定时，其中的一个因数越小，则另一个因数越大．
1．已知甲×＝乙×＝丙×(甲、乙、丙三个数都不为 0)，把甲、乙、丙三个数按从小到大的顺序排列是　乙
＜甲＜丙　．
【分析】根据“积一定，一个因数越小另一个因数就越大”解答即可.
【解答】解：甲×＝乙×＝丙×
因为，＞＞
所以，乙＜甲＜丙
故答案为：乙＜甲＜丙.
【点评】解答本题关键是明确：积一定，一个因数越小另一个因数就越大；反之，一个因数越大另一个
因数就越小.
2．在横线里填“＞”、“＜”或“＝”．
　＞　 　＜　 　═　3.4 　＞　1
【分析】(1)分子相同，分母小的反而大．
(2)可以将两个分数通分，化成同分母分数比较．
(3)可以将题目中的分数化成小数，再进行比较．
(4)先通分，计算出左边算式的结果，看结果是真分数还是假分数再作比较．
【解答】解：
＞＜═3.4 ＞1
故答案为：＞，＜，═，＞．
【点评】这道题目解题的关键是熟练掌握分数大小比较的方法．
3．把、1、1.6、、0.36 按从小到大的顺序排列　 0.36
＜＜＜ 1
＜ 1.6
．　 ．
【分析】根据题意，把，化成小数，然后再根据小数的大小比较的方法进行解答即可．
【解答】解：＝0.6．
＝0.625．
所以 0.36＜＜＜1＜1.6．
【点评】此题解题的关键是根据题意把分数数都化成小数，然后再根据小数的大小比较的方法进一步解
答即可．
三.巩固提升
一．选择题(共10 小题)
1．两根同样长的铁丝，从第一根上截去它的，从第二根上截去米，余下部分(　　)
A．无法比较 B．第一根长 C．第二根长 D．长度相等
【分析】余下部分的长度可分铁丝长度大于 1米，等于 1米，小于 1米三种情况讨论剩下铁丝的长度，
然后进行比较，据此解答．
解：(1)当铁丝长度大于 1米时，第一根上的，长度大于米．截去的比第二根多，剩下的就比第二根剩下
的短；
(2)当铁丝长度等于 1米时截去的和第二根一样多，剩下的就和第二根剩下的一样长；
(3)当铁丝长度小于 1米时截去的比第二根少，剩下的就比第二根剩下的长；
因铁丝的长度不确定．故剩下的长度无法确定．
故选：A．
【点评】本题关键是让学生分情况讨论铁丝大于 1米，等于 1米，小于 1米时截去的长度，然后确定剩
下的长度．
2．在 2、、1、这四个分数中，(　　)的分数单位最大．
A．2 B．C．1 D．
【分析】2的分数单位是，的分数单位是，1的分数单位是，的分数单位是，再根据“分子相同，看分
母，分母小的分数反而大；分母大的，分数反而小”进行比较即可．
解：2的分数单位是，的分数单位是，1的分数单位是，的分数单位是；
＞＞＞；
所以，在 2、、1、这四个分数中，1的分数单位最大．
故选：C．
【点评】解决此题关键是理解判定一个分数的单位看分母，分母是几，分数单位就是几分之一，再根据
同分子分数的大小比较方法求出分数单位最大的分数．
3．与相等的分数(　　)
A．只有1个B．只有2个C．有无数个
【分析】根据分数的基本性质，的分子和分母同时乘上相同的数，分数的大小不变，即可知与相等的分
数有无数个．
解：＝＝＝＝…，
所以与相等的分数有无数个；
故选：C．
【点评】此题主要利用分数的基本性质解答问题，分子、分母不同且大小相等的分数有无数个．
4．已知 A＝2×2×2×5，B＝2×5×7，则 A和B的最大公因数是(　　)
A．2 B．10 C．280 D．5
【分析】根据最大公因数的求法可知：最大公因数是这两个数的公有的质因数的乘积，据此解答．
解：已知 A＝2×2×2×5，B＝2×5×7，这两个数共有的质因数是 2与5；
所以，A和B的最大公因数是 2×5＝10．
故选：B．
【点评】本题主要考查两个数的最大公因数的求法，注意找准两个数的公有的质因数．
5．下面分数中，最接近 1的分数是(　　)
A．B．C．
【分析】分别用1同各个选项中的分数相减，再根据差的大小来确定谁最接近 1，据此解答．
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