五年级数学上册 第4讲 多边形的面积（教师版含解析）（北师大版）

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第 4 讲 多边形的面积
一.知识梳理
知识点一：比较图形的面积
1.比较图形面积大小的方法-借助方格纸比较图形面积大小的方法
数方格法；重叠法；组合法；割补法；平移法等等。
2. 认识底和高-梯形、平行四边形与三角形的底和高及画法
底和高是相互垂直的；三角形有三条高，平行四边形、梯形有无数条高。
知识点二：平行四边形的面积
1.平行四边形的面积计算公式
求平行四边形的面积，可将平行四边形转化成已学过的长方形进行计算。
2.平行四边形面积公式的逆用
平行四边形的面积=底×高，用字母表示可以写成：s=ah， h=s÷a，a=s÷h
同(等)底等高的平行四边形面积相等。
知识点三：三角形的面积
1.三角形的面积计算公式
S=ah÷2
2.三角形面积公式的逆用
(1)在三角形中： 底=面积×2÷高，高=面积×2÷底
(2)等(同)底等高的三角形面积相等。
知识点四：梯形的面积
梯形的面积计算公式:
梯形的面积＝(上底＋下底)×高÷2，用字母表示可以写成 S=(a+b)h÷2
由梯形面积公式可以推出：a=2S÷h－b，b=2S÷h－a，h=2S÷(a＋b)
二.精讲精炼
考 点 1
比较图形的面积
【例 1】(2020 春•禹城市期末)一个长方形的宽是 6厘米，长比宽长 2厘米，它的周长是　 28
厘米　 ，面积
是　 48
平方厘米　 ．
【思路分析】长比宽长 2厘米，先用长方形的宽加数 2厘米，求出这个长方形的长，再根据长方形的周
长＝(长+宽)×2，以及长方形的面积＝长×宽求解．
【规范解答】解：6+2＝8(厘米)
(8+6)×2
＝14×2
＝28(厘米)
8×6＝48(平方厘米)
答：它的周长是 28 厘米，面积是 48 平方厘米．
故答案为：28 厘米，48 平方厘米．
【名师点评】解决本题先求出长方形的长，再根据长方形的周长公式和面积公式求解．
1．(2020 春•渭滨区期末)一个长方形花园的长是 15 米，宽是 12 米，这个花园的面积是　 180
　 平方米．若
把这个花园用篱笆围起来，至少需要　 54
　 米长的篱笆．
【思路分析】(1)是求长方形的面积，用长×宽＝面积即可解答．
(2)是求长方形的周长，用(长+宽)×2 即可解答．
【规范解答】解：(1)15×12＝180(平方米)
(2)(12+15)×2
＝27×2
＝54(米)
答：这个花园的面积是 180 平方米．若把这个花园用篱笆围起来，至少需要 54 米长的篱笆．
故答案为：180，54．
【名师点评】此题考查了长方形的面积公式和周长公式的直接应用．
2．(2020 春•新田县期中)长方形的面积是 0.24m2、宽是 0.4m，它的长是　 0.6
　 m，周长是　 2
　 m．
【思路分析】首先用面积除以宽求出长方形的长，然后根据长方形的周长＝ (长+宽)×2，把数据代入公
式解答．
【规范解答】解：0.24÷0.4＝0.6(m)
(0.6+0.4)×2
＝1×2
＝2(m)
答：它的长是 0.6m，周长是 2m．
故答案为：0.6，2．
【名师点评】此题主要考查长方形的面积公式、周长公式的综合运用．
3．(2020 春•新田县期中)一块长方形绿地长 50 米，宽 25 米，　 8
　 块这样的绿地面积约是 1公顷．
【思路分析】根据题意，利用长方形面积公式：S＝ab，计算一块长方形绿地的面积，然后用 1公顷除
以每块的面积，就是块数．注意单位要统一．
【规范解答】解：50×25＝1250(平方米)
1公顷＝10000 平方米
10000÷1250＝8(块)
答：8块这样的绿地面积约是 1公顷．
故答案为：8．
【名师点评】本题主要考查长方形的面积，关键利用长方形面积公式计算．
考 点 2
平行四边形的面积
【例 2】一个面积是 30 平方厘米的平行四边形，沿对角线剪开，就得到两个完全一样的三角形．每个三角
形的面积是　 15
　 平方厘米．
【思路分析】因为等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半，所以用平行四边形的面积除以 2
就是每个三角形的面积．
【规范解答】解：30÷2＝15(平方厘米)
答：每个三角形的面积是 15 平方厘米．
故答案为：15．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的三角形与平行四边形面积之间的关系及应用．
1．一个三角形和一个平行四边形的面积相等，底也相等．如果平行四边形的高是 12 厘米，那么三角形的
高是　③　厘米．如果三角形的高是 12 厘米，那么平行四边形的高是　①　厘米．
①6
②12
③24
【思路分析】因为等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的 2倍，所以当平行四边形和三角形的面
积相等，底也相等时，三角形的高是平行四边形高的 2倍，平行四边形的高是三角形高的一半．据此解
答．
【规范解答】解：12×2＝24(厘米)
12÷2＝6(厘米)
答：三角形的高是 24 厘米，平行四边形的高是 6厘米．
故答案为：③，①．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的平行四边形和三角形面积之间的关系及应用．
2．(2020•中原区)“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如，在学习小数乘法时，
先把它转化为整数乘法，然后探究它的计算方法；在探究平行四边形面积公式时，先把它转化为长方形
然后推导出计算公式．
请你再举一个学习数学知识时应用“转化”的例子：　我们在学习圆面积公式推导时，是将圆平均方程
若干份沿半径剪开，拼成一个近似长方形来学习的．这一过程中运用了
转化的数学思想方法　 ．
【思路分析】圆、三角形、梯形的面积公式的推导都是通过转化的方法进行推导的．据此解答．
【规范解答】解：我们在学习圆面积公式推导时，是将圆平均方程若干份沿半径剪开，拼成一个近似长
方形来学习的．这一过程中运用了 转化的数学思想方法．
三角形、梯形的面积公式的推导都是通过转化的方法进行推导的．
故答案为：我们在学习圆面积公式推导时，是将圆平均方程若干份沿半径剪开，拼成一个近似长方形来
学习的．这一过程中运用了 转化的数学思想方法
【名师点评】此题考查的是吗理解掌握“转化”的应用．
3．(2019 秋•武川县期末)一个平行四边形的底是 2.6 厘米，高是 4厘米，面积是　 10.4
　 平方厘米，一个三
角形的底是 2.5 厘米，面积是 10 平方厘米，高是　 8
　 厘米．
【思路分析】因为平行四边形的面积 S＝ah，所以 2.6 乘4即可解答，因为三角形的面积 S＝ah÷2，所以
三角形的高 h＝2S÷a，据此代入数据即可求解．
【规范解答】解：2.6×4＝10.4(平方厘米)
10×2÷2.5＝8(厘米)
故答案为：10.4，8．
【名师点评】此题主要考查平行四边形面积、三角形面积的计算方法的灵活应用．
考 点 3
三角形的面积
【例 3】一个直角三角形，其中两条直角边分别是 3cm、4cm，斜边上的高是 2.4cm，那么斜边长是　 5
cm．
【思路分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，那么 a＝2S÷h，把数据代入公式求出这个三角形的面
积，进而求出斜边的长度，
【规范解答】解：3×4÷2×2÷2.4
＝12÷2.4
＝5(厘米)
答：斜边长是 5厘米．
故答案为：5．
【名师点评】此题主要考查三角形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
1．如图，把一个高是 0.5dm 的平行四边形剪成一个梯形和一个三角形．三角形的面积是　 0.1
　 dm2，梯形
的面积是　 0.3
　 dm2．
【思路分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，把数据代入公式求出三角形的面积；根据平行四边形
的面积公式：S＝ah，把数据代入公式求出平行四边形的面积，用平行四边形的面积减去三角形的面积
就是梯形的面积．
【规范解答】解：0.4×0.5÷2＝0.1(平方分米)
0.8×0.5﹣0.1
＝0.4﹣0.1
＝0.3(平方分米)
答：三角形的面积是 0.1 平方分米，梯形的面积是 0.3 平方分米．
故答案为：0.1，0.3．
【名师点评】此题主要考查三角形的面积公式、平行四边形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
2．(2020 春•微山县期末)把一根 18cm 长的铁丝折成一个等边三角形铁框，铁框的一条边长　 6
　 cm，若折
成一个腰为 5cm 的等腰三角形铁框，铁框底边长　 8
　 cm．
【思路分析】等边三角形的三条边相等，用 18 除以 3就是这个等边三角形的边长；等腰三角形的两腰
相等，用周长减去 2个腰长即可求出底边的长度．
【规范解答】解：18÷3＝6(cm)
18﹣5×2
＝18﹣10
＝8(cm)
答：铁框的一条边长 6cm，铁框底边长 8cm．
故答案为：6；8．
【名师点评】此题考查了等边三角形的性质及学生对正三角形和等腰三角形三条边关系知识的掌握情况．
3．(2019 秋•嘉陵区期末)一个三角形的底边是 4cm，高是 2.5cm，这个三角形的面积是　 5
　 cm2；和它等底
等高的平行四边形的面积是　 10
　 cm2．
【思路分析】三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，则三角形的面积是与其等底等高
的平行四边形面积的一半，依此即可求解．
【规范解答】解：4×2.5÷2
＝10÷2
＝5(平方厘米)
5×2＝10(平方厘米)
答：这个三角形的面积是 5cm2；和它等底等高的平行四边形的面积是 10 平方厘米．
故答案为：5，10．
【名师点评】解答此题的主要依据是：三角形的面积是与其等底等高的平行四边形面积的一半．
考 点 4
梯形的面积
【例 4】(2019 秋•雅安期末)一个梯形的上底是 6.4m，下底是 9.2m，高是 5m．在这个梯形中画出一个最大
的三角形，这个三角形的面积是　 23
　 平方米．
【思路分析】在梯形中画出一个最大的三角形，这个三角形的底等于梯形的下底，三角形的高等于梯形
的高，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，把数据代入公式解答．
【规范解答】解：9.2×5÷2
＝4.6×5
＝23(平方米)
答：这个三角形的面积是 23 平方米．
故答案为：23．
【名师点评】此题主要考查三角形面积公式的灵活运用，关键是找出三角形的高和底，并熟记公式．
1．(2019 秋•蓬溪县期末)一堆木材堆成近似的梯形，最上层有 2根，最底层有 6根，每下一层都比上一层
多一根，这堆木材一共有　 20
　 根．
【思路分析】先求出这堆木材的层数：10﹣5+1＝6层，然后根据梯形的面积公式＝(上底+下底)×高
÷2，代入数据即可求出这堆木材共有的根数．
【规范解答】解：木材的层数：6﹣2+1＝5(层)
(2+6)×5÷2
＝8×5÷2
＝20(根)
答：这堆木材一共有 20 根．
故答案为：20．
【名师点评】本题明确梯形的面积＝(上底+下底)×高÷2 是解答的关键．
2．(2019 秋•孝昌县期末)一个梯形的上、下底之和是 16 厘米，高是 5厘米，它的面积是　 40
　 平方厘米；
用两个这样的梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的底是　 16
　 厘米，面积是　 80
　 平方厘米．
【思路分析】根据梯形面积公式：S＝(a+b)h÷2，梯形的面积为：16×5÷2＝40(平方厘米)；根据题意，拼
成的平行四边形的底等于原梯形上、下两底的和，高为梯形的高，所以其面积等于原梯形面积的 2倍．
【规范解答】解：16×5÷2
＝80÷2
＝40(平方厘米)
40×2＝80(平方厘米)
答：一个梯形的面积是 40 平方厘米；用两个这样的梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的底是 16 厘
米，面积是 80 平方厘米．
故答案为：40；16；80．
【名师点评】本题主要考查梯形面积的应用，关键利用梯形面积公式计算．
3．(2019 秋•濉溪县期末)一堆钢管，每相邻两层都相差1根，最上层2根，最下层8根，这堆钢管共　 35
根．
【思路分析】根据题意，这堆钢管共有(8﹣2+1)层，可利用梯形的面积公式计算这堆钢管的根数，列式
解答即可．
【规范解答】解：(2+8)×(8﹣2+1)÷2，
＝10×7÷2，
＝70÷2，
＝35(根)；
答：这堆钢管共有 35 根．
故答案为：35．
【名师点评】解答此题的关键的确定这堆钢管的层数，然后再根据梯形的面积公式进行计算即可．
三.巩固提升
1．(2019 秋•潍坊期末)如图，两平行线之间还能画出(　　)个与三角形 ABC 等底等高的三角形．
A．1 B．2 C．4 D．无数
【思路分析】因为两平行线间的距离处处相等，所以在上面的平行线上的点 A外任取一点，这一点和点
B点C构成的三角形都和三角形 ABC 等底等高，由此即可判断．
【规范解答】解：由分析知，在上面的平行线上的点 A外任取一点，这一点和点 B点C构成的三角形都
和三角形 ABC 等底等高，如下图所示；
所以两平行线之间还能画出无数个与三角形 ABC 等底等高的三角形．
故选：D．
【名师点评】此题主要考查等底等高的三角形的判断，关键是理解两平行线间的距离处处相等．
2．(2020 春•陕州区期末)比较下面两个图形，说法正确的是(　　)
A．甲和乙的面积相等，周长也相等
B．甲和乙的面积相等，但甲的周长长
C．甲和乙的周长相等，但乙的面积大
【思路分析】由图形可知，甲的面积小于正方形面积的，乙的面积大于正方形面积的，根据周长的意义
可知，甲乙周长相等．
【规范解答】解：根据周长的意义可知，甲乙周长相等，
甲的面积小于正方形面积的，乙的面积大于正方形面积的，
所以，甲和乙的周长相等，但乙的面积大．
故选：C．
【名师点评】此题考查的目的是理解周长的意义，掌握长方形的面积的计算方法．
3．(2020•永嘉县)根据如图给出的数据，请你判断哪两个图形的面积一样大？(　　)
A．①和③ B．②和③ C．①和④D．②和④
【思路分析】如图，平行线之间，这四个图形的高都相等，是 5．其中①为长方形，根据长方形面积＝
长×宽可知，①的面积为：3.2×5＝16；
图②为三角形，三角形面积＝底×高÷2，②的面积为：6.5×5÷2＝16.25；
图③为平行四边形，平行四边形面积＝底×高，③的面积为：3.5×5＝17.5；
图④为梯形，梯形的面积＝(上底+下底)×高÷2，④的面积为：(2.4+4)×5÷2＝16．
【规范解答】解：长方形面积＝长×宽可知，①的面积为：3.2×5＝16；
三角形面积＝底×高÷2，②的面积为：6.5×5÷2＝16.25；
平行四边形面积＝底×高，③的面积为：3.5×5＝17.5；
梯形的面积＝(上底+下底)×高÷2，④的面积为：(2.4+4)×5÷2＝16．
故选：C．
【名师点评】本题主要考查面积的大小比较．
4．(2019 秋•兴国县期末)一个平行四边形的面积是 16 平方分米，与它等底等高的三角形面积是(　　)
A．32 B．8 C．16
【思路分析】等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半，据此解答即可．
【规范解答】解：16÷2＝8(平方分米)
答：一个平行四边形的面积是 16 平方分米，与它等底等高的三角形面积是 8平方分米．
故选：B．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的三角形与平行四边形面积之间的关系及应用．
5．(2019 秋•平山县期末)一个三角形和一个平行四边形的面积相等，底边也相等．已知平行四边形的高是
0.8dm，三角形的高是(　　)dm．
A．0.4 B．0.8 C．1.6
【思路分析】根据题意，假设平行四边形的底是 1分米，那么平行四边形的面积是 1×0.8＝0.8 平方分米；
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