五年级数学上册 第3讲 倍数和因数（教师版含解析）（北师大版）

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第 3 讲 倍数和因数
一.知识梳理
知识点一：倍数与因数-倍数、因数的意义和求一个数的倍数的方法
1.找一个数的倍数就是将这个数依次乘 1，2，3，4 ， 5······
2.一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数就是它本身。
3. 2、5 的倍数的特征与奇偶数
(1)5 的倍数个位上是 0 或 5。
(2)2 的倍数个位上是 0、2、4、6、8。
(3)既是 2 的倍数又是 5 的倍数的数个位上的数字一定是 0；
(4)是 2 的倍数的数叫偶数；不是 2 的倍数的数叫奇数。
4. 3 的倍数的特征
3 的倍数好判断，计算各位数字和，只要是 3 的倍数，此数定是 3 的倍数。
知识点二：找因数和质数
1.找一个数的全部因数的方法：
(1)找某数的因数很容易，借助乘法算式依次找；
(2)最小因数都是 1；
(3)最大因数是自己；
2. 找质数的方法：
(1)质数的因数只有 1 和它本身；
(2)合数除 1 和它本身以外还有别的因数；
(3)除 0 和 2 以外，所有的偶数都是合数。
二.精讲精炼
考 点 1
倍数、因数的意义和求一个数的倍数的方法
【例 1】在2，6，15，21，40，56，72，84 这些数中，　 6
、 15
、 21
、 72
、 84
　 是 3的倍数，　
40
、 56
、 72
、 84
　 是4的倍数．
【思路分析】首先根据找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以 1、2、3、4、5、6…，判断出在
2，6，15，21，40，56，72，84 这些数中，3、4的倍数各有哪些．
【规范解答】解：在 2，6，15，21，40，56，72，84 这些数中，6、15、21、72、84 是3的倍数，
40、56、72、84 是4的倍数．
故答案为：6、15、21、72、84，40、56、72、84．
【名师点评】此题主要考查了找一个数的倍数的方法，要熟练掌握．
1．根据算式“63÷7＝9”，我知道：　 63
　 是 7和9的倍数，　 7
　 和　 9
　 是 63 的因数．
【思路分析】根据因数和倍数的意义：如果整数 a能被整数 b整除(b≠0)，a就叫做 b的倍数，b就叫做
a的因数；进行解答即可．
【规范解答】解：根据算式“63÷7＝9”，我知道：63 是7和9的倍数，7和9是63 的因数．
故答案为：63，7，9．
【名师点评】此题应根据因数和倍数的意义进行解答．
2．根据算式“5×6＝30”，我知道：30 是　 5
　 和　 6
　 的倍数；5和　 6
　 是 30 的因数．
【思路分析】根据因数和倍数的意义：如果整数 a能被整数 b整除(b≠0)，a就叫做 b的倍数，b就叫做
a的因数；进行解答即可．
【规范解答】解：根据算式“5×6＝30”，则 30÷5＝6，我知道：30 是5和6的倍数；5和6是30 的因
数．
故答案为：5，6，6．
【名师点评】此题应根据因数和倍数的意义进行解答．
3．(2020 春•隆回县期末)在3×7＝21 中，　 21
　 是 3的倍数，　 3
　 和　 7
　 都是 21 的因数．
【思路分析】根据因数和倍数的意义：如果数 a能被数 b整除(b≠0)，a就叫做 b的倍数，b就叫做 a的
因数；进行解答即可．
【规范解答】解：在 3×7＝21 中，21 是3的倍数，3和7都是 21 的因数．
故答案为：21，3、7．
【名师点评】此题应根据因数和倍数的意义进行分析、解答．
考 点 2
找因数和质数的方法
【例 2】找一找．
1、42、2、36、3、18、4、48、6、9、10、12、20、24、30、90、5、60、54、15
6的倍数：　 42
， 36
， 18
， 48
， 6
， 12
， 24
， 30
， 90
， 60
， 54
　 ．
60 的因数：　 1
， 2
， 3
， 6
， 10
， 12
， 20
， 30
， 5
， 60
， 15
　 ．
既是 6的倍数，又是 60 的因数：　 6
， 12
， 30
， 60
　 ．
【思路分析】根据因数、倍数的意义可知：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因
数是它本身，一个数的倍数的个数无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数．两个数公有的因数就
是这两个数的公因数．据此解答．
【规范解答】解：在 1、42、2、36、3、18、4、48、6、9、10、12、20、24、30、90、5、60、54、15
中，
6的倍数有：42，36，18，48，6，12，24，30，90，60，54．
60 的因数有：1，2，3，6，10，12，20，30，5，60，15．
既是 6的倍数，又是 60 的因数的数有：6，12，30，60．
故答案为：42 ，36 ，18 ，48 ，6，12 ，24 ，30 ，90 ，60 ，54 ；
1，2，3，6，10，12，20，30，5，60，15；6，12，30，60．
【名师点评】此题考查的目的是理解因数、倍数的意义，掌握求一个数的因数的方法、求一个数的倍数
的方法及用．
1．用 18 个相同的小正方形拼成一个大长方形，有几种拼法？填一填．
长18
宽1
18 的全部因数：　 1
， 2
， 3
， 6
， 9
， 18
　 ．
【思路分析】根据长方形的面积＝长×宽，因为 18＝18×1＝9×2＝6×3，所以有 3种拼法．一个数的因数
的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身．据此解答．
【规范解答】解：因为 18＝18×1＝9×2＝6×3，所以有 3种拼法．
用18 个相同的小正方形拼成一个大长方形，有几种拼法？填一填．
长18 9 6
宽1 2 3
18 的因数有：1，2，3，6，9，18．
故答案为：1，2，3，6，9，18．
【名师点评】此题考查的目的是理解因数的意义，掌握求一个数的因数的方法及应用．
2．(2019 秋•惠城区校级期末)16 的最大因数是　 16
　 ，最小倍数是　 16
　 ．16 和24 的最小公倍数是　 48
．
【思路分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身．一个数的倍数的
个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数；由此可知：16 的最大因数是 16，最小倍数是
16；
然后根据求两个数的最小公倍数的方法：求两个数的最小公倍数的方法：这两个数的公有的因数和它们
独有的质因数的连乘积就是它们的最小公倍数；由此解答即可．
【规范解答】解：16 的最大因数是 16，最小倍数是 16．
16＝2×2×2×2，24＝2×2×2×3，所以 16 和24 的最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48；
故答案为：16，16，48．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数的方法及应用，以及求两个的数的公倍数的方
法及应用．
3．(2020 春•雁塔区期末)在横线上填上不同的质数．
21＝　 3
　 +　 5
　 +　 13
　
50＝　 3
　 ×　 7
　 +　 29
　
【思路分析】根据质数的定义：一个数只有 1和它本身两个因数，这个数叫作质数(素数)；所以 21＝
3+7+11；50＝3×7+29．
【规范解答】解：根据质数的定义，则 21＝3+5+13；50＝3×7+29．
故答案为：2，7，11，3，7，29．
【名师点评】本题主要考查了质数的定义．
三.巩固提升
1．两个数(不为 0的自然数)的积一定是这两个数的(　　)
A．公倍数 B．最小公倍数 C．公约数 D．最大公约数
【思路分析】根据因数和倍数的意义，以及研究因数和倍数时，为了方便，在研究因数和倍数的时候，
我们所说的数指的是整数(一般不包括 0)．由此解决问题．
【规范解答】解：两个数(不为 0的自然数)的积一定是这两个数的公倍数．
故选：A．
【名师点评】此题主要考查因数和倍数、公倍数和最小公倍数、公约数和最大公约数的意义．
2．(2020 春•隆回县期末)如果 a÷b＝12(a，b为整数)，那么(　　)
A．a一定是 b的倍数 B．a可能是 b的倍数
C．b一定是 a的倍数
【思路分析】根据因数和倍数的意义：如果数 a能被数 b整除(b≠0)，a就叫做 b的倍数，b就叫做 a的
因数；进行解答即可．
【规范解答】解：如果 a÷b＝12(a，b为整数)，那么 a一定是 b的倍数；
故选：A．
【名师点评】此题应根据因数和倍数的意义进行分析、解答．
3．(2020 春•顺义区期末)用2、3、4这三张数字卡片任意摆出一个三位数，这个三位数一定是(　　)的倍
数．
A．2 B．3 C．5 D．6
【思路分析】根据能被 2、3、5整除数的特征可知；能被 2整除的数个位上要首先满足是
0、2、4、6、8，然后分析能被 3整除的数的特征，即求出各个数位上的和，分析是不是 3的倍数，能
被5整除的数个位上是 0和5，据此分析由 2、3、4组成的所有三位数是否满足即可．
【规范解答】解：因为 3+4+2＝9，
9是3的倍数，
所以 2，3，4这三张数字卡片任意摆出一个三位数，这个三位数一定是 3的倍数．
故选：B．
【名师点评】解答此题的关键是：根据能被 3整除的数的特征，进行解答．
4．(2020 春•蕲春县期末)已知 a＝2×2×3×5，b＝2×3×5×7，a和b的最大公因数和最小公倍数分别是(　　)
A．6，210 B．30，210 C．30，420 D．15，420
【思路分析】(1)根据两个数的最大公约数等于这两个数的公有质因数的连乘积，可求出 a与b的最大公
约数；
(2)根据两个数的最小公倍数等于这两个数的公有质因数和各自独有质因数的连乘积，可求出 a与b的最
小公倍数．
【规范解答】解：因为 a＝2×2×3×5，b＝2×3×5×7，
所以 a与b的最大公因数为：2×3×5＝30；
a与b的最小公倍数为：2×3×5×2×7＝420．
故选：C．
【名师点评】此题考查的目的是要求学生掌握求两个数最大公约数与最小公倍数的方法．
5．(2020•长春)6 是(　　)的最大公因数．
A．2和3 B．3和6 C．12 和13 D．18 和24
【思路分析】根据求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积；当两个数是倍数关系时，
较小的数是它们的最大公因数；当两个数是互质数时，最大公因数是 1；据此解答判断．
【规范解答】解：A、2和3互质，它们的最大公因数是 1；
B、3和6是倍数关系，它们的最大公因数是 3；
C、12 和13 互质，它们的最大公因数是 1；
D、18＝18＝2×3×3，24＝2×2×2×3，所以 18 和24 的最大公因数是 2×3＝6；
故选：D．
【名师点评】此题主要考查求两个数的最大公因数的方法：当两个数为互质数时，这两个数的最大公因
数是 1；当两个数成倍数关系时，较小的那个数，是这两个数的最大公因数；对于一般的两个数，这两
个数的公有质因数连乘积是最大公因数．
6．(2020•扶风县)自然数 a除以自然数 b，商是 10，那么 a和b的最大公约数是(　　)
A．aB．bC．10 D．无法确定
【思路分析】由自然数 a除以自然数 b，商是 10，可知 a和b是倍数关系，b是较小数，根据倍数关系
的两个数的最大公约数是较小数，据此解答然后选择．
【规范解答】解：自然数 a除以自然数 b，商是 10，那么 a和b的最大公约数是：b；
故选：B．
【名师点评】解答本题关键是理解：自然数 a除以自然数 b，商是 10，可知 a和b是倍数关系．
7．(2020•惠安县)下列(　　)组数的公因数是 1、2、7和14．
A．1，14 B．14，21 C．24，56 D．28，42
【思路分析】分别求出每组的的公因数，即可得出结论．
【规范解答】解：A、1和14 的公因数是 1；
B、14 和21 的公因数是 1、7；
C、24 和56 的公因数是 1、2、4、8；
D、28 和42 的公因数是 1、2、7、14；
故选：D．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握求两个数的公因数的方法．
8．(2020•嘉兴)用0、4、5这三个数字，可以组成不同的三位数．在这些三位数中，(　　)最多．
A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．10 的倍数
【思路分析】根据 2、3、5的倍数的特征，个位上是 0、2、4、6、8的数都是 2的倍数；一个数各位上
的数字之和是 3的倍数，这个数一定是 3的倍数；个位上是 0或5的数都是 5的倍数；先求出用
0、4、5这三个数字，可以组成不同的三位数，然后进行比较即可．
【规范解答】解：用 0、4、5组成的三位数有：405、450、504、540．
因为 0+4+5＝9，9是3的倍数，所以组成的这些三位数都是 3的倍数，其中 450、504、540 是2的倍数；
405、450、540 是5的倍数．
所以在这些三位数中，3的倍数最多．
故选：B．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握 2、3、5的倍数的特征及应用．
9．(2020 春•芦溪县期末)要使 64□能被 3整除，同时又有因数 2，□最小可填　 2
　 ．
【思路分析】根据能被 2、3整除的数的特征可知：该数的个位数是偶数，该数各个数位上数的和能被 3
整除；进而解答即可．
【规范解答】解：根据能被 2整除的数的特征可知：该数的个位是 0，2，4，6，8．又因为该数能被 3
整除，所以该数个位上可以取 2，8．题目中由强调了□里取符合题意的最小值．
故答案为：2．
【名师点评】此题考查了能被 2、3整除的数的特征：即能被 2整除的数的特征：该数的个位是偶数；
能被 3整除的数的特征：该数各个数位上数的和能被 3整除．
10．(2010•西藏)甲数＝2×3×7，乙数＝2×5×7，则甲数和乙数的最大公约数是　 14
　 ，最小公倍数是　 210
．
【思路分析】求两数的最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积；最小公倍数是共有质因数与
独有质因数的连乘积．
【规范解答】解：因为甲数＝2×3×7，乙数＝2×5×7，
则甲数和乙数的最大公约数是 2×7＝14，最小公倍数是 2×7×3×5＝210．
故答案为：14，210．
【名师点评】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是
最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法
解答．
11．(2010 春•遂溪县校级期中)一些数是 42 的因数，又是 7的倍数，这样的数一共有　 4
　 个．
【思路分析】先根据找一个数的因数的方法找出 42 的因数，再根据求一个数倍数的方法找出 7的倍数，
再找到共同的数即可．
【规范解答】解：42 的因数：1、2、3、6、7、14、21、42，
7的倍数：7、14、21、28、35、42…，
即是 42 的因数，又是 7的倍数的数：7、14、21、42，共 4个；
故答案为：4．
【名师点评】此题主要考查求一个数的约数和倍数的方法，关键根据题意找出符合条件的数．
12．(2009 秋•旅顺口区期末)24 和16 的公因数有　 4
　 个，最大公因数是　 8
　 ．
【思路分析】根据公因数的意义：两个数公有的因数叫做这两个数的公因数，其中最大的一个叫做它们
的最大公因数．据此解答．
【规范解答】解：24 的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；
16 的因数有：1、2、4、8、16；
所以 24 和16 的公因数有：1、2、4、8；一共 4个，最大公因数是 8．
故答案为：4个，8．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握公因数、最大公因数的意义，掌握求两个数的公因数、最大公
因数的方法．
13 ．(2020 春 • 武 川县期末)在2、9、23 、39 、110 、111 中 ， 　 2
， 110
　 能 被 2整除，3的倍数有
9
， 39
， 111
　 ，质数有　 2
， 23
　 ，合数有　 9
， 39
， 110
， 111
　 ．
【思路分析】能被 2整除的特征：个位上是 0、2、4、6、8的数，能被 3整除的数的特征：各个数位上
的数字相加的和能被 3整除，除了 1和它本身没有别的因数的数是质数，还有别的因数的数是合数，据
此填空．
【规范解答】解：(1)2，110 个位上分别是 2和0，所以这两个数能被 2整除．
(2)9，39，111 这三个数各个数位上的数字相加的和能被 3整除，所以这三个数是 3的倍数．
(3)2 的因数有：1.2.23 的因数有：1，23．所以 2，23 是质数．
(4)9 的因数有：1，3，9.39 的因数有：1.3，13，39.110 的因数有：1，2，11，55，110.111 的因数有：
1，3，37，111．
故答案为：2，110；9，39，111；2，23；9，39，110，111．
【名师点评】这道题目解题的关键是熟练掌握 2，3，5的倍数特征，以及质数和合数的概念．
14．(2020 春•隆回县期末)7 和6的最小公倍数是　 42
　 ，8和32 的最大公因数是　 8
　 ．
【思路分析】当两个数是互质数时，最小公倍数是它们的乘积，7×8＝42．先把 8和32 分解质因数，然
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