五年级数学上册 5.分数的意义 （含详解）（北师大版）

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北师大版小学五年级数学上册期末复习专题讲义
分数的意义
【知识点归纳】
一．找一个数的倍数的方法
找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以 1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数
是无限的．
1．末尾是偶数的数就是 2的倍数．
2．各个数位加起来能被 3整除的数就是 3的倍数．9的道理和 3一样．
3．最后两位数能被 4整除的数是 4的倍数．
4．最后一位是 5或0的数是 5的倍数．
5．最后 3位数能被 8整除的数是 8的倍数．
6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被 11 整除的数是 11 的倍数．注意：
“0”可以被任何数整除．
【典例分析】
例 1：个位上是 3、6、9 的数，都是 3 的倍数．×．（判断对错）
分析：举个反例证明，3 的倍数的特征：各个数位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是
3 的倍数．
解：13，16，29 是个位上分别是 3，6，9 可是它们都不是 3 的倍数，所以个位上是
3、6、9 的数，都是 3 的倍数得说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查 3 的倍数的特征．注意个位上是 3、6、9 的数不一定是 3 的倍数，
各个数位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数．
例：一个三位数，既有因数 3，又是 2 和 5 的倍数，这个数最小是 120．
分析：既有因数 3，又是 2 和 5 的倍数，就是这个三位数同时是 2、3、5 的倍数，根据
2、3、5 的倍数特征可知：这个三位数个位必需是 0，因为只有个位上是 0 的数才能满
足是 2 和 5 的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数 1，然后分析各个数位上的和是
不是 3 的倍数，即百位上的 1 加上十位上的数和个位上的 0 是 3 的倍数，因为 1+0=1，1
再加 2、5、8 的和是 3 的倍数，即十位可以是；2、5、8，其中 2 是最小的，据此解答．
解：由分析可知；一个三位数，既有因数 3，又是 2 和 5 的倍数，这个数最小是；
120；
故答案为；120．
点评：本题主要考查 2、3、5 的倍数的特征，注意掌握只有个位上是 0 的数才能满足是
2 和 5 的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数 1．
二．分数的意义和读写
分数的意义：把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可用分
数表示．
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示把单位“1”平均
分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份．
分数的分类：
（1）真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数．真分数的分数值小于 1．
（2）假分数：和真分数相对，分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于 1
或等于 1．
带分数：分子不是分母的倍数关系．形式为：整数+真分数．
【典例分析】
两根 3 米长的绳子，第一根用 米，第二根用 ，两根绳子剩余的部分相比（　　）
A、第一根长 B、第二根长 C、两根同样长
分析：分别求得两根绳子剩余的长度，即可作出判断．
解：第一根剪去 米，剩下的长度是：3- =2 （米）；
第二根剪去 ，剩下的长度是 3×（1- ）= （米）．
所以第一根剩下的部分长．
故选：A．
点评：此题重在区分分数在具体的题目中的区别：有些表示是某些量的几分之几，有
些表示具体的数，做到正确区分，选择合适的解题方法．在具体的题目中，带单位是
一个具体的数，不带单位是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几．
三．分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变．这叫做分数
的基本性质．
【典例分析】
例 1： 的分子加上 6，如果要使这个分数的大小不变，分母应该（　　）
A、加上 20òòòò B、加上 6òòòòòC、扩大 2 倍òòòòò D、增加 3 倍
分析：分子加上 6 后是原来的几倍，根据分数的基本性质，那么分母也是原来的几倍，
分数的大小才不变．
解：分子：3+6=9ò 9÷3=3 说明分子扩大了 3 倍．要想分数的大小不变，那么分母也
要扩大 3 倍，或 10×3=30 30-10=20 说明分母应加上 20．
故选：A．
本题主要考查分数的基本性质，根据这一性质解答即可．
例 2：一个假分数，如果分子、分母同时加上 1，则分数的值小于原分数．×．
分析：分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于 1 或等于 1．可以用赋值法
来判断这道题目的正误即可．
解：假设这个假分数是 ，分子和分母同时加上 1， = ，因 =1， =1，则这
两个分数相等，与分数的值小于原分数不相符．
故答案为：×．
本题是考查假分数的定义，用赋值法来判断正误就比较容易解决．
四．约分和通分
约分：把一个分数化成同它相等，但分子分母都比较小的分数，叫做约分．
约分就是把分数化简成最简分数．
约分时一般用分子和分母的公因数（1除外）去除分数的分子和分母，通常要除到得出
最简分数为止．
通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分．通分就是把
分母不同分数化成分母相同的分数．
约分和通分的依据是分数的基本性质：分数的分子和分母同乘以或除以同一个不等于 0
的数，分数的大小不变．ò
（分数的分子和分母同时扩大或同时缩小相同的倍数（0除外），分数的大小不变）
约分方法：
约分：将分子和分母数共同的约数约去（也就是除以那个数）剩下如果还有相同因数
就继续约去，直到没有为止；
通分的方法：
通分：使两个分数的分母相同但不改变原数大小的过程．先求出原来几个分母的最小
公倍数，然后把各分数分别化成用这个最小公倍数作分母的分数．
【典例分析】
例 1：一个分数约分后，它的大小不变，但分数单位却变大了．√．（判断对错）
分析：把一个分数化成和它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分，据此可
知：一个分数约分后，它的大小不变，分母变小了，分母变小分数单位就变大了，举
例说明更好理解．
解： = ， 的分数单位是 ， 的分数单位是 ， ＞，所以一个分数
约分后，它的大小不变，但分数单位却变大了这是正确的；
故答案为：√．
点评：本题主要考查约分的意义．
例 2：一个分数，用 3 约了两次，用5约了一次，最后得到最简分数 ，则这个分数
原来是 ．
分析：根据分数的基本性质，一个分数，用 3 约了两次，用5约了一次，最后得到最简
分数 ，把 的分子和分母分别乘两个 3、一个 5 即可求出原来的分数．据此解答．
解： = = ；
故答案为： ．
点评：此题主要考查分数的基本性质的灵活运用．
五．最简分数
分子、分母只有公因数 1 的分数叫做最简分数或者说分子和分母是互质数的分数，叫
做最简分数，又称既约分数．如： ， ， 等．
【典例分析】
例 1：分数单位是 的最简真分数的和是 1．
分析：最简真分数的意义：分子分母是互质数并且分子小于分母的分数就是最真简分
数，据此找出分数单位是 的最简真分数，把它们求和即可．
解：分数单位是 的最简真分数有： 、 ，
它们的和是： + =1；
故答案为：1．
本题主要考查最简真分数的意义，注意先找出分数单位是 的最简真分数，再求和．
例 2：分子和分母是不同的质数的分数一定是最简分数．√．（判断对错）
分析：最简分数的意义：分子分母是互质数的分数就是最简分数，据此分析判断．
解：不同的质数一定是互质数，所以分子和分母是不同的质数的分数一定是最简分数
的说法是正确的；
故答案为：√．
点评：本题主要考查最简分数的意义，注意不同的质数一定是互质数．
六．分数大小的比较
分数比较大小的方法：
（1）真、假分数或整数部分相同的带分数；分母相同，分子大则分数大；分子相同，
则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进
行比较大小．
（2）整数部分不同的带分数，整数部分大的带分数就比较大．
【典例分析】
例 1：小于 而大于 的分数只有 一个分数．×（判断对错）
分析：依据分数的基本性质，将两个分数的分子和分母同时扩大若干倍，介于它们中
间的真分数就会有无数个，据此即可进行判断．
解：分别将和 的分子和分母扩大若干个相同的倍数，在 和 间会出现无数个
真分数，所以，大于 而小于 的真分数只有一个是错误的．
故答案为：×．
点评：解答此题的关键是依据分数的基本性质将两个的分子和分母扩大若干倍，即可
找到无数个介于它们中间的真分数，从而能推翻题干的说法．
七．找一个数的因数的方法
1．分解质因数．例如：24 的质因数有：2、2、2、3，那么，24 的因数就有：
1、2、3、4、6、8、12、24．
2． 找 配对．例如：24=1×24 、2×12 、3×8 、4×6 ，那么，24 的因数就有：
1、24、2、12、3、8、4、6．
3．末尾是偶数的数就是 2的倍数．
4．各个数位加起来能被 3整除的数就是 3的倍数．9的道理和 3一样．
5．最后两位数能被 4整除的数是 4的倍数．
6．最后一位是 5或0的数是 5的倍数．
7．最后 3位数能被 8整除的数是 8的倍数．
8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被 11 整除的数是 11 的倍数．注意：
“0”可以被任何数整除．
【典例分析】
例：从18 的约数中选 4个数，组成一个比例是 1 ： 2=3 ： 6 ．
分析：先写出 18 的约数，然后根据比例的含义，写出两个比相等的式子即可．
解：18 的约数有：1，2，3，6，9，18；
1：2=3：6；
故答案为：1：2=3：6．
点评：此题解答方法是根据比例的意义或比例的基本性质进行解答，此题答案很多种，
写出其中的一种即可．
八．求几个数的最大公因数的方法
方法：1．分别分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘．
2．用短除法，写短除算式，道理与第一种方法相似，只是找公共因数的过程与除法过
程合并了．
【典例分析】
例 1：如果 A 是 B 的 ，A 和 B 的最小公倍数是 B，它们的最大公因数是 A．
分析：如果两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小
公倍数，由题目条件可以得知：A 是 B 的 ，也就是 B 是 A 的 5 倍，由此可以解决．
解：因为 A 和 B 是倍数关系，所以它们的最大公约数是较小的那个数 A，最小公倍数是
较大的那个数 B，
故答案为：B；A．
此题主要考查了求两个成倍数关系的数的最大公约数和最小公倍数的方法：两个数是
倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数．
例 2：甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，甲、乙两数的最大公约数是 12，最小公倍数
120．
分析：根据甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，可知这两个数公有的质因数是 2、2、3，
公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；除了公有质因数外，甲数独有的质因
数为 2，乙数独有的质因数为 5，那么公有质数与各自独有质因数的连乘积就是这两个
数的最小公倍数．据此进行解答．
解：甲=2×2×2×3；
乙=2×2×3×5；
甲和乙的最大公因数是：2×2×3=12；
甲和乙的最小公倍数是：2×2×3×2×5=120；
故答案为：12，120．
点评：此题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，公有质因数的乘积
就是这两个数的最大公因数；公有质因数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的
最小公倍数．
九．求几个数的最小公倍数的方法
方法：（1）分解质因数法：先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和
其中几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它
们的最小公倍数．
（2）公式法．由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积．即
（a，b）×[a，b]=a×b．所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约
数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数．
【典例分析】
例 1：育才小学六（1）班同学做广播操，体育委员在前面领操，其他学生排成每行 12
人或每行 16 人都正好是整行，这个班至少有学生 49
人．
分析：要求这个班至少有学生多少人，即求 12 与 16 的最小公倍数再加 1 即可，根据求
两个数的最小公倍数的方法：把 12 和 16 进行分解质因数，这两个数的公有质因数与独
有质因数的连乘积，由此解决问题即可．
解：12=2×2×3，
16=2×2×2×2，
则 12 和 16 的最小公倍数是：2×2×2×2×3=48，
48+1=49（人）；
答：这班至少有学生 49人；
故答案为：49．
点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独
有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
例 2：A 和 B 都是自然数，分解质因数 A=2×5×C；B=3×5×C．如果 A 和 B 的最小公倍
数是 60，那么 C=2．
分析：利用求最小公倍数的方法：几个数的公有因数与独有因数的连乘积；由此可以
解决问题．
解：分解质因数 A=2×5×C，
B=3×5×C，
所以 2×3×5×C=60，则 C=2．
故答案为：2．
点评：此题考查了求几个数的最小公倍数的灵活应用．
同步测试
一．选择题（共 10 小题）
1．下面分数中，与相等的是（　　）
A．B．C．D．
2．一个数是 9的倍数，这个数一定是（　　）的倍数．
A．3 B．2 C．5 D．6
3．的分子加上 10．要使分数的大小不变，分母应（　　）
A．加上 24 B．乘 2 C．加上 10 D．除以 2
4．一个大于 0的数除以真分数，商（　　）这个数．
A．大于 B．小于 C．小于或等于 D．等于
5．两根绳子的长度都是 1米，第一根剪去绳子的，第二根剪去米，这时剩下的绳子（
）
A．第一根长 B．第二根长 C．一样长
6．A是合数，A有（　　）个因数．
A．2 B．3 C．至少 3 D．无数
7．a、b都是非 0自然数，a÷b＝8，a和b的最大公因数是（　　）
A．1 B．8 C．aD．b
8．若甲×0.95＝乙÷0.95（甲、乙均不等于 0），则（　　）
A．甲＜乙 B．甲＞乙 C．甲＝乙
9．今年的学生人数比去年多，去年的学生人数相当于今年的（　　）
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