五年级数学上册 3.倍数与因数 （含详解）（北师大版）

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北师大版小学五年级数学上册期末复习专题讲义
倍数和因数
【知识点归纳】
一．2、3、5的倍数特征
被2整除特征：偶数
被3整除特征：每一位上数字之和能被 3整除
被5整除特征：个位上是 0或5的数
同时能被 2、3、5整除的特征：个位是 0且每一位上数字之和能被 3整除．
【知识点的应用及延伸】
一个数只要能同时被 2和3整除，那么这个数就能被 6整除．
各个数位上的数字之和能被 9整除，那么这个数就能被 9整除．
【典例分析】
例 1：能同时被 2、3、5 整除的最大三位数是 990．
分析：根据题意可先确定能被 2 整除的数的特征、能被 3 整除的数的特征、能被 5 整除
的数的特征，再确定能同时被 2、3、5 整除的数的特征，再算出最大的三位数即可．
解：能被 2 整除的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，
能被 3 整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被 3 整除，
能被 5 整除的数的特征：个位上的数字是 0 或者 5 的数，
要同时能被 2 和 5 整除，这个三位数的个位一定是 0，
被 2 和 5 整除，同时要能被 3 整除，又要是最大的三位数，这个数是 990．
故答案为：990．
点评：此题主要考查的是能同时被 2、3、5 整除的数的特征．
例 2：104 至少再加上 16，才能同时被 2、3、5 整除．
分析：能同时被 2、3、5 整除的数的特征是个位上的数字必须是 0，且各个数位上的数
字之和能被 3 整除，由此确定 104 至少再加上 16．
解：根据分析，104 至少再加上 16，才能同时被 2、3、5 整除．
故答案为：16．
点评：此题主要根据能同时被 2、3、5 整除的数的特征解决问题．
二．因数和倍数的意义
假如整数 n除以 m，结果是无余数的整数，那么我们称 m就是 n的因子． 需要注意的
是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们
称n为m的倍数．
【典例分析】
例 1：24 是倍数，6 是因数．×．（判断对错）
分析：约数与倍数：若整数 a 能够被 b 整除，a 叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数（也
叫因数）．约数与倍数是相互依存的，据此解答．
解：24÷6=4，只能说 24 是 6 的倍数，6 是 24 的因数，所以 24 是倍数，6 是因数的说
法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查因数与倍数的意义，注意约数与倍数是相互依存的．
例 2：一个数的因数都比这个数的倍数小．×．（判断对错）
分析：一个数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．如：5 的最小倍数是
5，最大因数也是 5．由此即可解答．
解：因为一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数，所以此题干不正确；
故答案为：×．
点评：此题重点是考察因数和倍数的意义，要知道一数既是它本身的最小倍数，又是
它本身的最大因数．
三．找一个数的因数的方法
1．分解质因数．例如：24 的质因数有：2、2、2、3，那么，24 的因数就有：
1、2、3、4、6、8、12、24．
2．找配对．例如：24=1×24 、2×12 、3×8 、4×6 ，那么，24 的因数就有：
1、24、2、12、3、8、4、6．
3．末尾是偶数的数就是 2的倍数．
4．各个数位加起来能被 3整除的数就是 3的倍数．9的道理和 3一样．
5．最后两位数能被 4整除的数是 4的倍数．
6．最后一位是 5或0的数是 5的倍数．
7．最后 3位数能被 8整除的数是 8的倍数．
8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被 11 整除的数是 11 的倍数．注意：
“0”可以被任何数整除．
【典例分析】
例：从 18 的约数中选 4 个数，组成一个比例是 1 ： 2=3 ： 6 ．
分析：先写出 18 的约数，然后根据比例的含义，写出两个比相等的式子即可．
解：18 的约数有：1，2，3，6，9，18；
1：2=3：6；
故答案为：1：2=3：6．
点评：此题解答方法是根据比例的意义或比例的基本性质进行解答，此题答案很多种，
写出其中的一种即可．
四．找一个数的倍数的方法
找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以 1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数
是无限的．
1．末尾是偶数的数就是 2的倍数．
2．各个数位加起来能被 3整除的数就是 3的倍数．9的道理和 3一样．
3．最后两位数能被 4整除的数是 4的倍数．
4．最后一位是 5或0的数是 5的倍数．
5．最后 3位数能被 8整除的数是 8的倍数．
6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被 11 整除的数是 11 的倍数．注意：
“0”可以被任何数整除．
【典例分析】
例 1：个位上是 3、6、9 的数，都是 3 的倍数．×．（判断对错）
分析：举个反例证明，3 的倍数的特征：各个数位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是
3 的倍数．
解：13，16，29 是个位上分别是 3，6，9 可是它们都不是 3 的倍数，所以个位上是
3、6、9 的数，都是 3 的倍数得说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查 3 的倍数的特征．注意个位上是 3、6、9 的数不一定是 3 的倍数，
各个数位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数．
例：一个三位数，既有因数 3，又是 2 和 5 的倍数，这个数最小是 120．
分析：既有因数 3，又是 2 和 5 的倍数，就是这个三位数同时是 2、3、5 的倍数，根据
2、3、5 的倍数特征可知：这个三位数个位必需是 0，因为只有个位上是 0 的数才能满
足是 2 和 5 的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数 1，然后分析各个数位上的和是
不是 3 的倍数，即百位上的 1 加上十位上的数和个位上的 0 是 3 的倍数，因为 1+0=1，1
再加 2、5、8 的和是 3 的倍数，即十位可以是；2、5、8，其中 2 是最小的，据此解答．
解：由分析可知；一个三位数，既有因数 3，又是 2 和 5 的倍数，这个数最小是；
120；
故答案为；120．
点评：本题主要考查 2、3、5 的倍数的特征，注意掌握只有个位上是 0 的数才能满足是
2 和 5 的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数 1．
五．公倍数和最小公倍数
公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们
的公倍数．这些公倍数中最小的，称为这些整数的最小公倍数．
【典例分析】
例 1：两个数的乘积一定是这两个数的公倍数．√．（判断对错）
分析：两个数的乘积一定是这两个数的公倍数这是正确的，举例证明即可．
解：比如 4 和 12，12×4=48，48 是 12 的倍数，48 也是 4 的倍数，即 48 是 4、12 的公
倍数；
所以两个数的乘积一定是这两个数的公倍数是正确的；
故答案为：√．
点评：本题主要考查公倍数的意义，注意掌握两个数的乘积和这两个数的公倍数的关
系．
例 2：能同时被 2、3、5 整除的最大三位数是 990．
分析：根据题意可先确定能被 2 整除的数的特征、能被 3 整除的数的特征、能被 5 整除
的数的特征，再确定能同时被 2、3、5 整除的数的特征，再算出最大的三位数即可．
解：能被 2 整除的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，
能被 3 整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被 3 整除，
能被 5 整除的数的特征：个位上的数字是 0 或者 5 的数，
要同时能被 2 和 5 整除，这个三位数的个位一定是 0．
要能被 3 整除，又要是最大的三位数，这个数是 990．
故答案为：990．
点评：此题主要考查的是能同时被 2、3、5 整除的数的特征．
六．因数、公因数和最大公因数
给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因
数．而这些公因数中最大的那个称为这些正整数的最大公因数．
【典例分析】
例 1：互质的两个数没有公约数．×．（判断对错）
分析：根据互质数的意义，公因数只有 1 的两个数叫做互质数，以此解答问题即可．
解：因为，公因数只有 1 的两个数叫做互质数；
所以，互质的两个数没有公约数这种说法是错误的．
故答案为：×．
点评：此题主要考查互质数的意义以及判断两个数是不是互质数的方法．
例 2：36 和 48 的最大公约数是 12，公约数是 1、2、3、4、6、12．√．（判断对错）
分析：利用分解质因数的方法和求一个数的公约数的方法即可解决问题．
解：36 的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，
48 的约数有 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，
所以 36 和 48 的公约数有 1、2、3、4、6、12，其中最大公约数为 12，
所以原题说法正确，
故答案为：√．
点评：此题是考查求一个数的公约数和最大公约数的方法．
七．求几个数的最大公因数的方法
方法：1．分别分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘．
2．用短除法，写短除算式，道理与第一种方法相似，只是找公共因数的过程与除法过
程合并了．
【典例分析】
例 1：如果 A是B的 ，A和B的最小公倍数是 B，它们的最大公因数是 A．
分析：如果两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小
公倍数，由题目条件可以得知：A是B的 ，也就是 B是A的 5 倍，由此可以解决．
解：因为 A和B是倍数关系，所以它们的最大公约数是较小的那个数 A，最小公倍数是
较大的那个数 B，
故答案为：B；A．
此题主要考查了求两个成倍数关系的数的最大公约数和最小公倍数的方法：两个数是
倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数．
例 2：甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，甲、乙两数的最大公约数是 12，最小公倍数
120．
分析：根据甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，可知这两个数公有的质因数是 2、2、3，
公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；除了公有质因数外，甲数独有的质因
数为 2，乙数独有的质因数为 5，那么公有质数与各自独有质因数的连乘积就是这两个
数的最小公倍数．据此进行解答．
解：甲=2×2×2×3；
乙=2×2×3×5；
甲和乙的最大公因数是：2×2×3=12；
甲和乙的最小公倍数是：2×2×3×2×5=120；
故答案为：12，120．
点评：此题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，公有质因数的乘积
就是这两个数的最大公因数；公有质因数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的
最小公倍数．
八．求几个数的最大公因数的方法
方法：（1）分解质因数法：先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和
其中几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它
们的最小公倍数．
（2）公式法．由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积．即
（a，b）×[a，b]=a×b．所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约
数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数．
【典例分析】
例 1：育才小学六（1）班同学做广播操，体育委员在前面领操，其他学生排成每行 12
人或每行 16 人都正好是整行，这个班至少有学生49
人．
分析：要求这个班至少有学生多少人，即求 12 与 16 的最小公倍数再加 1 即可，根据求
两个数的最小公倍数的方法：把 12 和 16 进行分解质因数，这两个数的公有质因数与独
有质因数的连乘积，由此解决问题即可．
解：12=2×2×3，
16=2×2×2×2，
则12 和 16 的最小公倍数是：2×2×2×2×3=48，
48+1=49（人）；
答：这班至少有学生49 人；
故答案为：49．
点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独
有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
例 2：A和B都是自然数，分解质因数 A=2×5×C；B=3×5×C．如果 A和B的最小公倍
数是 60，那么 C=2．
分析：利用求最小公倍数的方法：几个数的公有因数与独有因数的连乘积；由此可以
解决问题．
解：分解质因数 A=2×5×C，
B=3×5×C，
所以 2×3×5×C=60，则 C=2．
故答案为：2．
点评：此题考查了求几个数的最小公倍数的灵活应用．
九．因数与倍数
1．公约数与公倍数题型简介
（1）公约数与公倍数
若数 a能被 b整除，则称数 a为数 b的公倍数，数 b为数 a的公约数．其中，一个数的
最小公约数是 1，最大公约数是它本身．
（2）公约数与最大公约数
几个自然数有的公约数，叫做这几个自然数的公约数．
公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数．
（3）公倍数与最大公倍数
几个自然数公有的公倍数，叫做这几个自然数的公倍数．
公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数．
考试题型一般是已知两个数，求它们的最大公约数或最小公倍数．
【典例分析】
例1：有两个二位数，它们的最大公约数 8，最小公倍数是 96，这两个数的和是（
　）
A、56 B、78 C、84 D、96
分析：把最大公约数 8和最小公倍数 96 分解质公约数，根据最大公约数是两个数的共
有质公约数，最小公倍数是两个数的共有质公约数与独有质公约数的乘积，可以判断
出这两个数可能是什么，即可得解．
解：8=2×2×2，
96=2×2×2×2×2×3，
所 以 这 两 个 最 大 公 约 数 8， 最 小 公 倍 数 是 96 的 二 位 数 只 能 是 2×2×2×2×2=32 和
2×2×2×3=24；
这两个二位数的和是：32+24=56；
故选：A．
点评：利用求解最大公约数和最小公倍数的方法，凑数逆向求解出两个二位数，观察
选项，即可得解．
经典题型：
例2：沿小路一边从头开始插彩旗，每隔4米插一面，插到另外一端共插了37 面彩旗．
如果改成每隔6米插一面彩旗，可以有（　　）面彩旗不用移动．
A、12 B、13 C、14D、15
分析：根据题意明白路头栽一棵除去，再利用间隔米数×彩旗面数=路的总长度；再求
出4和6的最小公倍数，在算一算路的总长里有多少个这样的最小公倍数；就有多少颗
栽的树，最后加上开始那颗．
解：4和6的最小公倍数是 12，
路长：4×（37-1）=144（米），
栽棵树：144÷12=12（棵），
12+1=13（棵），
答：可以有 13 面彩旗不用移动．
故选：B．
点评：此题不是多难，关键别忘了路两头都栽树，开始那棵不占路长，再明白路长一
定，间距再变，棵树也在变，得有有的及要用到求最小公倍数，根据题意完成即可．
【解题方法点拨】
（1）两个数如果存在着公倍数关系，那么较小的数就是其最大公约数，较大的数就是
其最小公倍数．
（2）互质的两个数的最大公约数是 1，最小公倍数是它们的乘积．
（3）利用短除法求取三个数的最大公约数和最小公倍数时要注意二者的区别：求取三
个数的最大公约数时，只需短除到三个数没有共同的公约数（除 l 外）即可；而求取
三个数的最小公倍数时，需要短除到三个数两两互质为止．
（4）多于三个数的最大公约数与最小公倍数的求法与三个数的求法相似．
十．分数的最大公约数和最小公倍数
两个数的最大公约数与最小公倍数是有联系的，这种联系是通过规律来体现的，这个
规律如果用字母公式表示为：一般地，a×b=（a，b）×[a，b]
依据这个规律，在求两个数的最大公约数和最小公倍数时，可以推导出新的公式．
【典例分析】
例 1：一个班不足 50 人，现大扫除，其中 扫地，摆桌椅，擦玻璃，这个班没
有参加大扫除的人数有（　　）人．
A、1ppppppppp B、2pppppp pp C、3ppppppppp D、1 或
2p
分析： 、 、 都是最简形式，所以这个班的人数是 2、4 和 5 的最小公倍数的倍
数，2、4 和 5 的最小公倍数是 20，而且这个班不足 50 人，所以这个班只能是 20 人或
40，据此把总人数看做单位“1”，即可得出没参加大扫除的是 1- - - ，再根据
分数乘法的意义即可解答．
解：根据题干分析可得：2、4 和 5 的最小公倍数是 20，而且这个班不足 50 人，所以这
个班只能是 20 人或 40，
总人数看做单位“1”，即可得出没参加大扫除的是 1- - - = ，
当总人数是 20 时：没参加大扫除的有：20× =1（人），
当总人数是 40 时：没参加大扫除的有：40× =2（人），
答：没参加大扫除的有1或2人．
故选：D．
点评：解答此题的关键是明确这个班的总人数必定是 2、4、5的公倍数，据此再根据
分数乘法的意义即可解答．
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