四年级数学下册 第5单元 认识方程_第05讲_数学好玩(学生版)（北师大版）

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高思爱提分演示（KJ)初中语文学生辅导讲义
[学生版]
学员姓名 寒假班 年 级 初一
辅导科目 初中语文 学科教师 李红娟
上课时间 2020-02-05 07:00:00-09:00:00
知识图谱
数学好玩（四下）
知识精讲
一．平面图形密铺的定义．
1．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，图形之间没有空隙，也不重叠，这就是平面图形
的密铺．
二．平面图形密铺的规律和方法．
1．平面图形密铺的规律：一个图形或几个图形，如果图形拼接以后，在公共顶点处的几个角的度数和正好是
360°，这个图形或这几个图形就可以密铺。
2．平面图形密铺的方法：
（1）三角形的密铺：准备好形状、大小完全相同的三角形，把每个三角形的相同的内角分别用
∠1，∠2，∠3标记，按照下面的样子拼摆：
发现：三角形可以密铺，在每个拼接点处有六个角，这六个角分别是 2个∠1，2个∠2，2个∠3，
。
（2）四边形的密铺：准备好形状、大小完全相同的四边形，把每个四边形的相同的内角分别用
∠1，∠2，∠3，∠4标记，按照下面的样子拼摆：
发现：四边形可以密铺，在每个拼接点处有四个角，这四个角分别是∠1，∠2，∠3和∠4，
。
三．比赛中的数学：
（1）田径中的数学：考察速度的大小：通过用相同的距离所用的时间来表示速度的大小，所以在比较时，可
根据给出的数据进行比较，在比较时会用到加法和减法计算，在具体的题目中要具体分析。
（2）跳水中的数学：跳水中是利用打分来判断运动员的成绩，分数会从几十到超过一百不等，分数越高，成
绩越好，所以在比较时，可根据给出的数据进行比较，在比较时会用到加法和减法计算，在具体的题目中要具体
分析。
（3）射击中的数学：射击中是利用打靶的环数来判断运动员的成绩，环数最高 10.9 环，最低 0环，俗称脱靶。
环数越高，成绩越好，所以在比较时，可根据给出的数据进行比较，在比较时会用到加法和减法计算，在具体的
题目中要具体分析。
典型例题À1、2004 年奥运会上，中国选手刘翔在男子 110 米栏的比赛中获得了冠军，并打破了当时该项目的
奥运会纪录，平了该项目的世界纪录。
（1）下表是冠军、亚军和第三名运动员的成绩，分别相差多少秒？
1刘翔 12.91
秒
2特拉梅尔 13.18
秒
3加西亚 13.20
秒
（2）当时男子 110 米栏的奥运会纪录是 12. 95 秒，刘翔用的时间少了多少秒？
2、2008 年奥运会男子单人 3米跳板比赛中，何冲以领先第二名德斯帕蒂耶斯 32.45 分的优势进入到最后一跳，秦
凯则落后德斯帕蒂耶斯 7. 65 分，排名第三。下面是三名运动员最后一跳的得分。
何冲：100. 70 分À 德斯帕蒂耶斯：96. 90 分À 秦凯：98.00 分
（1）最后一跳前，秦凯落后何冲多少分？
（2）谁是第一名，谁是第二名，谁是第三名？
3、2012 年奥运会女子 10 米气手枪决赛时，打过 7枪后，中国选手郭文珺比法国选手格贝维拉总成绩落后 0.2 环。
下面是两人第 8枪和第 9枪的射击环数。其中单枪最高环数是 10.9 环。
郭文珺 9.8 环10.4 环
格贝维拉10.4 环10.1 环
（1）第 10 枪郭文珺打出了 10.8 环，格贝维拉需要打多少环才能获得冠军？
（2）格贝维拉第 10 枪的成绩是 8.8 环，两人总成绩相差了多少环？
名师学堂ÀÀ1、理解题意．（1）要求前三名运动员的成绩分别相差多少秒，用减法计算。例如，要求特拉
将相同图形的角按记号标好，密铺后发
现：拼接处内角和都是（）。
梅尔与刘翔相差多少秒，只要用特拉梅尔的成绩减去刘翔的成绩即可，列式为 。（2）用男子 110 米栏
的奥运会纪录减去刘翔用的时间，就是少用的时间。
正确解答．（1） ， ， 。
2、理解题意．（1）何冲、德斯帕蒂耶斯和秦凯三者最后一跳前的成绩之间的关系可以用线段图表示出来。（2）
根据题意，进入最后一跳前何冲领先德斯帕蒂耶斯 32. 45 分，而且最后一跳中他的得分最高，所以何冲是第一名。
剩下的两人中，因为德斯帕蒂耶斯最后一跳前领先秦凯 7. 65 分，最后一跳比秦凯少了 ，
1.10<7. 65，所以德斯帕蒂耶斯领先于秦凯。即德斯帕蒂耶斯第二名，秦凯第三名。
正确解答．（1）32. 45+7. 65=40.10(分)（2）何冲是第一名，德斯帕蒂耶斯是第二名，秦凯是第三名。
3、理解题意．（1）根据题意，郭文珺在打过 7枪后比格贝维拉总成绩落后 0.2 环，打过第 8枪和第 9枪后又比格
贝 维 拉落后： 。所以郭文珺在打过 9枪后比格贝维拉总成绩共落后
。第 10 枪郭文珺打出了 10.8 环的好成绩，如果格贝维拉打出的成绩是 ，两
人的成绩正好持平，所以格贝维拉要想获得冠军，至少要打出的成绩是 。（2）通过（1）的分
析 ， 如 果 格 贝 维 拉 打 出 的 成 绩 是 ， 两人 的 成 绩 正 好 持平 。 而10.3 环与8.8 环 相 差
，即两人的总成绩相差了 1.5 环。
正确解答．（1） ， 。第 10 枪郭文珺打出了 10.8 环的好成
绩，如果格贝维拉打出的成绩是 ，两人的成绩正好持平，所以格贝维拉要想获得冠军，至少要
打出的成绩是 。（2）通过（1）的分析，如果格贝维拉打出的成绩是 ，两
人的成绩正好持平。而10.3 环与8.8 环相差 ，即两人的总成绩相差了 1.5 环。
三点剖析
重点：能够运用所学数学知识解决奥运中的数学问题，体会数学和生活之间的联系．
难点：体会运筹思想在解决实际问题中的应用，了解解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识．
易错点：发现密铺的规律与方法，并能运用密铺解决问题．
平面图形的密铺规律和方法
例题
例题 1、看一看，想一想，填一填．
第一个图案用的是相同的四边形，正
好拼接处是它的四个角，四边形的内
角和正好是（）。
第二个图案用的是相同的三角形，拼接处三
角形的每个角正好用（）次。三角形内角和
是（），所以（）个（）正好是（）。
第三个图案用的是相同的正六边形，正六
边形内角和是（），每个内角是（），拼
接处用了（）个内角，和正好也是（）。
除了用同种图
形可以密铺？
用不同种图形
也可以密铺！
试一试。
例题 2、
我发现：图中的（ ）形和（ ）形可以密铺；我还知道（ ）形和（ ）形可以密铺．
例题 3、在能密铺的图形下面画“√”．
例题 4、下图是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案的一部分，在这个图案中，等腰梯形的内角各是多
少度？
例题 5、用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案．
（1）第四个图案中有白色地砖（ ）块．
（2）第 n个图案中有白色地砖（ ）块．
随练
随练 1、不能密铺的多边形是（ ）
A.A选项 B.B选项 C.C选项
随练 2、判断．（对的画“√”，错的画“×”）
（1）只要图形之间没有空隙，就是密铺．（ ）
（2）所有的平面图形都能密铺．（ ）
（3）密铺时拼接点处的各个角的度数之和等于180°．（ ）
（4）密铺时只能用一种图形．（ ）
（5）任意形状、大小相同的三角形都能密铺．（ ）
（6）密铺时相拼接的边不相等．（ ）
田径中的数学
例题
例题 1、2016 年里约奥运会上，牙买加选手博尔特在 100 米跑中实现了奥运会的三连冠．
（1）下表是决赛前三名的成绩，分别相差多少秒？
（2）当时该项目记录的奥运会记录是 9.63 秒，博尔特本次用的时间多了多少秒？
（3）根据上表中的数据，下面两幅图中，图（ ）能描述当时决赛的冲刺情况．
随练
跳水中的数学
例题
例题 1、2016 年里约奥运会男子单人 3米跳板决赛中，前五跳的排名如下：中国选手曹缘以450.70 分排在第一名，
英国选手劳格赫以435.65 分排在第二名，德国选手豪斯丁以413.90 分排在第三名．
下面是其中两名运动员最后一跳的得分．
劳格赫：88.20 分
豪斯丁：85.00 分
（1）最后一跳，中国选手曹缘只要超过多少分就能获得冠军？
（2）最后一跳，曹缘高出劳格赫 8.70 分，曹缘第六跳得了多少分？
（3）冠军、亚军、季军在决赛中的总成绩分别是多少分？
例题 2、里约奥运会男子 10 米台跳水决赛中，前 5跳过后的排名如下：中国选手陈艾森以477.30 分排名第一，美
国选手大卫·布迪亚以 456.80 分排名第二，墨西哥选手杰曼·桑切斯以 441.50 分排名第三．
下面是最后一跳的成绩：
陈艾森：108.00 分 杰曼·桑切斯：91.20 分 大卫·布迪亚：68.45 分
（1）最后一跳前，陈艾森领先大卫·布迪亚多少分？
（2）（ ）是冠军，（ ）是亚军，（ ）是季军．
随练
射击中的数学
例题
例题 1、2016 年里约奥运会女子 10 米气手枪决赛淘汰赛进入冠亚争夺战，还剩最后两枪，中国选手张梦雪领先俄
罗斯选手巴萨华舒奇纳 2环．下面是两人第 19 枪的射击环数．
张梦雪：10.3 环 巴萨华舒奇纳：9.5 环
（1）第 20 枪巴萨华舒奇纳打出了 9.7 环，张梦雪至少打出多少环才能获得冠军？
（2）张梦雪第20 环打出了 9.2 环，并打破了该项目的世界记录，此时两人总成绩相差多少环？
例题 2、伦敦奥运会女子 10 米气步枪决赛中，打过 7枪后，中国选手易思玲比波兰老将席尔维亚·博加茨卡落后 0.3
环．下面是两人第 8枪和第 9枪的射击环数．
（1）第 10 枪易思玲打出了 10.5 环，席尔维亚·博加茨卡是否有机会获得冠军？（每枪最好成绩 10.9 环）
（2）席尔维亚·博加茨卡第10 枪的成绩是 10.8 环，两人总成绩相差了多少环？
下面是玲玲和妈妈分别设计的做家务安排．
随练
优化
知识精讲
一．解决合理安排时间的问题需要按以下的步骤进行．
1．思考完成一项工作要做哪些事情．
2．分析每件事情各需要多长时间．
3．合理安排工作的顺序，明白先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做．
二．烙饼问题的方法．
如果一只平底锅中每次最多只能烙 2张饼，那么无论烙多少张饼，只要保证每次都在平底锅中放2张饼，就能
最节省时间．如果烙饼的张数是双数，2张2张地烙就可以了；如果烙饼的张数是单数，可以先 2张2张地烙，最
后3张按“烙 3张饼”的最优方案去烙，最节省时间．
三．对策论问题的解决方法．
1．解决同一个问题可以有不同的策略，要学会寻找解决问题的最优方案．
2．在与对方进行比赛时，要详细地分析自己与对方的情况，反复研究各种策略，在所有可能采取的策略中，
选择一个利多弊少的最优策略，从而使劣势变为优势，最终取得胜利．
典型例题（1）怎样安排比较合理并且省时间？和同学讨论一下．
（2）看下图，如何才能尽快吃上饼？ÀÀÀÀÀÀÀÀÀ
（3）小朋友，你听过“田忌赛马”的故事吗？田忌是怎样赢了齐王的？
齐 王田 忌 本场胜者
第一场上等马
第二场中等马
第三场下等马
名师学堂ÀÀ （1）理解题意．小明要先帮妈妈烧壶水，水开后再给李阿姨沏杯茶．烧水沏茶过程中的每一步需
要的时间已知，要求找出最节省时间的沏茶顺序，尽快让客人喝上茶．小明共需做 6件事情：烧水、洗水壶、洗
茶杯、接水、找茶叶、沏茶．要想尽快让客人喝上茶，能同时做的事情要尽量同时去做，这样才能节省时间．要
先洗水壶，接水，然后才能烧水；烧水需要一段时间，在等待水开的时间里可以完成洗茶杯和找茶叶两件事情；
水开后再沏茶．烧水沏茶的过程可以用图示说明：
上面的过程共需要的时间是 1+1+8+1=11(分)．
正确解答．1+1+8+1=11(分)．
（2）理解题意．妈妈要给一家三口每人烙1张饼．一只平底锅中每次最多只能烙 2张饼，两面都要烙，每面 3分
钟．
方法一：因为一只平底锅中每次最多只能烙 2张饼，所以可以先烙2张，再烙 1张，先烙的2张因为是同时烙，所
以需要6分钟，后烙的1张同样也需要6分钟，共需要 ．
方法二争取让平底锅中每次都烙 2张饼，先烙1，2号饼的正面（3分钟），接着烙 1号饼的反面和 3号饼的正面
（3分钟），最后烙；2号饼和3号饼的反面（3分钟），这种方法只需要 ，具体情况如下图：À
方法一在烙第三张饼的时候，浪费了空间和时间；方法二最合理，让平底锅中每次都烙 2张饼，既充分利用了锅
中的空间，又节省了时间．因此，烙饼的最优方案是方法二，即按方法二烙饼才能尽快吃上饼．
当一只平底锅中每次最多只能烙 2张饼时！烙饼所需要的最短时间=烙饼张数×烙每面饼所需要的时间（烙1张饼除
外），如：烙5张饼需要的最短时间是 ，烙9张饼需要的最短时间是 ．
正确解答．需要 ．
（2）理解题意．回顾“田忌赛马”的故事，找出田忌赢了齐王的原因．完成表格．
齐 王田 忌 本场胜者
第一场上等马下等马 齐 王
第二场中等马上等马田 忌
第三场下等马中等马田 忌
通过观察上表可以得出，田忌不是用同等级的马去与齐王的马比赛，而是用下等马对齐王的上等马，用上等马对
齐王的中等马，用中等马对齐王的下等马．第一场田忌虽然输了，但后两场因为田忌的马都要强于对方的马，所
以赢了两场，最终赢了齐王．
质疑：田忌所用的这种策略是不是赢齐王的唯一方法．先把田忌所有可以采用的策略通过表格
呈现出来，再从中寻找答案．
第一场第二场第三场 本场胜者
齐 王上等马中等马下等马
田 忌1上等马中等马下等马 齐 À王
田 忌2上等马下等马中等马 齐 À王
田 忌3中等马上等马下等马 齐 王
田 忌4中等马下等马上等马 齐 王
田 忌5下等马上等马中等马田 忌
田 忌6下等马中等马上等马 齐 王
观察上表发现：田忌可以采用的策略一共有 6种，但只有一种方法能赢齐王．“以弱胜强”的结果应满足两个前
提条件：一是齐王先出，且想出应对策略；二是全盘考虑，田忌一方必须以最弱的对齐王最强的，然后依次应对，
从而整体取胜．这种策略可以应用于社会生活的各个方面，如体育运动中的各项团体比赛、数学游戏中的报数等．
例如：在乒乓球团体赛中，在了解对方运动员上场次序情况的基础上，可以合理安排自己队员的上场次序．
正确解答．田忌不是用同等级的马去与齐王的马比赛，而是用下等马对齐王的上等马，用上等马对齐王的中
等马，用中等马对齐王的下等马．第一场田忌虽然输了，但后两场因为田忌的马都要强于对方的马，所以赢了两
场，最终赢了齐王．
三点剖析
重点：体验解决问题策略的多样性．
难点：探究解决问题的最优方案．
易错点：在策略问题中，往往会因为忽略问题中的条件而得出相反的答案．
沏茶问题
例题
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