四年级数学上册第19讲：最值问题初步（教师版）（人教版）

免费

3.0 2026-03-27 5 459.68KB 12 页海报

侵权投诉

第十九讲最值问题初步

极端分析法, 赋值法又称特殊值法，给代数或者方程式的某些字母赋予一定的特殊值，

从而达到解题目的

最值原理 ,根据一个不变量来确定另一变量的最大值或最小值。

拆数问题把数字变换分解的方法叫做拆数问题

1.有 4 袋糖块，其中任意 3 袋的总和都超过 60 块．那么这 4 袋糖块的总和最少有多少块?

【分析与解】方法一：设这 4 袋为 A、B、C、D，为使 4 袋糖块的总和最少，则每袋

糖应尽量平均，有 A、B、C 袋糖有 20、20、21 块糖．

则当 A、B、D 三袋糖在一起时，为了满足条件，D 袋糖不少于 21 块，验证 A、B、C、D

这 4 袋糖依次有 20，20，2l，2l 时满足条件，且总和最少．

这 4 袋糖的总和为 20+20+21+21=82 块．

方法二：设这 4 袋糖依次有 a、b、c、d 块糖，

有，①+②+③+④ 得：3（a+b+c+d）≥244,所以 a+b+c+d≥81 ,因

为 a+b+c+d 均是整数，所以 a+b+c+d 的和最小是 82．

评注：不能把不等式列为，如果这样将①+②+③+④ 得到

3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为 a、b、c、d 均是整数，所以 a+b+c+d 的和最小是 81.至

于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.

2．用 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 这 5 个数字组成一个三位数 ABC 和一个两位数 DE ，再用

O，2，4，6，8 这 5 个数字组成一个三位数 FGH 和一个两位数 IJ．求算式 ABC×DE-FGH×IJ

的计算结果的最大值．

【分析与解】为了使 ABC×DE-FGH×IJ 尽可能的大，ABC×DE 尽可能的大，FGH×IJ

尽可能的小．

则 ABC×DE 最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为 7、9，然后为 3、5，最

后三位数的个位为 1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为 751，93．

则 FGH×IJ 最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为

468×20．

所以 ABC×DE-FGH×IJ 的最大值为 751×93-468×20=60483．

a b c

a b d

a c d

b c d

  



  



  



  



①

②

③

④

a b c 60

a+b+d 60

a+c+d 60

b+c+d 60

  















①

②

③

④

评注：类似的还可以算出 FGH×IJ-ABC×DE 的最大值为 640×82-379×15=46795．

3．将 6，7，8，9，10 按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得 5 个乘积相

加，那么所得和数的最小值是多少?

【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我

们首先考虑 10，为了让和数最小，10 两边的数必须为 6 和 7．

然后考虑 9，9 显然只能放到图中的位置，最后是 8，8 的位置有两个位置可放，而且

也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算．

8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;

9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313．

所以，最小值为 312．

4．一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?

【分析与解】设这个两位数为 =lOa+b，它们的数字和为 a+b,因为 lOa+b=(a+b)+9a，

所以 lOa+b≡9a(mod a+b)，

设最大的余数为 k，有 9a≡k(mod a+b)．

特殊的当 a+b 为 18 时，有 9a=k+18m，因为 9a、18m 均是 9 的倍数，那么 k 也应是 9 的

倍数且小于除数 18，即 0，9，也就是说余数最大为 9；

所以当除数 a+b 不为 18，即最大为 17 时，

:余数最大为 16，除数 a+b 只能是 17，此时有 9a=15+17m，有

(t为可取0 的自然数)，而 a 是一位数，显然不满足；

：余数其次为 15，除数 a+b 只能是 17 或 16，

除数 a+b=17 时，有 9a=15+17m,有 ,(t为可取0 的自然数)，a 是一位数，

显然也不满足；

除数 a+b=16 时，有 9a=15+16m,有 (t为可取0 的自然数)，因为 a 是一位数，

所以 a 只能取7，对应 b 为 16-7=9，满足；

所以最大的余数为 15，此时有两位数 79÷(7+9)=4……15．

5．用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三

位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少?

【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的

百位为 9，减数的百位为 1，如果差的百位为 8，那算式就是如下形式：剩下的

6 个数字为 2、3、4、5、6、7，因为百位数字为 8，所以我们可以肯定被减数的十位数字

比减数要大，而且至少大 2，因为 1 已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：

得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小 1，可能的算式形式如下：

但这时剩下的数都无法使算式成立．再考虑差的百位数字为 7 的情况，这时我们可以

肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为 8，因此，算式

可能的形式为：

再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：

，所以差最大为 784．

6. 4 个不同的真分数的分子都是 1，它们的分母有 2 个是奇数、2 个是偶数，而且 2 个分母

是奇数的分数之和与 2 个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望

这样的 2 个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?

【分析与解】设这四个分数为上、、、 (其中 m、n、a、b 均为

非零自然数)

有 + = + ，则有 - = - ，

我们从 m=1,b=1 开始试验：

= + = + ， = + = + ，

=+=+，﹍

我们发现，和分解后具有相同的一项，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，

满足题中条件：

+ = + ，所以最小的两个偶数和为 6+10=16．

7.有 13 个不同的自然数，它们的和是 100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？

【分析与解】 13 个整数的和为 100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数

最少为 2 个，最多为 12 个；对应的偶数最多有 11 个，最少有 1 个．

但是我们必须验证看是否有实例符合．

当有 11 个不同的偶数， 2 个不同的奇数时， 11 个不同的偶数和最小为

2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而 2 个不同的奇数和最小为 1+3=4．它们的和最小

为 132+4=136，显然不满足：

当有 9 个不同的偶数， 4 个不同的奇数时， 9 个不同的偶数和最小为

2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而 4 个不同的奇数和最小为 1+3+5+7=16，还是大于 100，仍

然不满足；

当有 7 个不同的偶数， 6 个不同的奇数时， 7 个不同的偶数和最小为

2+4+6+8+10+12+14=56 ， 6 个不同的奇数和为 1+3+5+7+9+11 ： 36 ，满足，如

2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11 的和即为 100．

类似的可知，最少有 5 个不同的偶数， 8 个不同的奇数，有

2，4，8，10，16，1．3．5，7，9，11，13，15 满足．

所以，满足题意的 13 个数中，偶数最多有 7 个，最少有 5 个．

1 用 1，3，5，7，9 这 5 个数字组成一个三位数 ABC 和一个两位数 DE，再用 O，2，4，6，8

这 5 个数字组成一个三位数 FGH 和一个两位数 IJ．求算式 ABC×DE-FGH×IJ 的计算结果的

最大值．

1. 一把钥匙只能开一把锁.现在有 4把钥匙 4把锁,但不知哪把钥匙开哪把锁最多

要试次才能配好全部的钥匙和锁.

2. 用长和宽分别是4厘米和3厘米的长方形小木块,拼成一个正方形,最少要用这

样的木块块.

3.一个一位小数用四舍五入法取近似值精确到万位,记作 50000.在取近似值以前,这个数

的最大值是.

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

立即下载 VIP免费下载

四年级数学上册第19讲：最值问题初步（教师版）（人教版）.docx

共12页,预览6页

还剩页未读，继续阅读

声明：
1、文档下载后即可获得完整全部内容，所有PPT模板均可编辑可修改，建议通过电脑下载和编辑，手机预览可能出现显示异常或不完整。
2、教务文库（jwwenku.cn）网站文档一经付费（服务费），不意味着购买了该文档的版权，仅供个人/单位学习、研究之用，不得用于商业用途。
3、本站内容由公开渠道搜集整理、用户投稿或网友上传，本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺！文档内容仅供研究参考，付费前请自行鉴别。如果您已付费下载过本站文档，您可以在个人中心>我的下载里面进行二次下载。
4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等，请点击"侵权投诉"（推荐），也可以联系网站客服为您处理。
5、有"VIP免费"标记的文档，如果想要下载，成为VIP会员后，下载免费。
6、成为VIP后，每下载一份文档将扣除1次下载权益。
7、成为VIP后，您将获得诸多权益：VIP文档下载权益、文档分销收益、会员分销收益、教务资料免费代找、赠送教务相关资源大礼包等。

立即下载

分类：小学 属性：12 页 大小：459.68KB 格式：DOCX 时间：2026-03-27