四年级数学上册第17讲：图形计数进阶（学生版）（人教版）

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第十七讲图形计数进阶

一、乘法原理

我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多

少种完成方法时就要用到

乘法原理：一般地，如果完成一件事需要 n 个步骤，其中，做第一步有 m1种不同的方

法，做第二步有 m2种不同的方法，…，做第 n 步有 mn种不同的方法，则完成这件事

一共有 N=种不同的方法．

乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完

成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用我们可以简记为：

二、乘法原理解题三部曲

1、完成一件事分

个必要步骤；

2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；

3、

三、乘法原理的考题类型

1、路线种类问题——比如说从 A 地到 B 地有三种交通方式，从 B 地到 C 地有 2 种交通

方式，问从 A 地到 C 地有多少种乘车方案；

2、字的染色问题——比如说要 3 个字，然后有 5 种颜色可以给每个字然后，问 3 个字

有多少种染色方法；

3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几

种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；

4、排队问题——比如说 6 个同学，排成一个队伍，有多少种排法；

5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几位数的偶

数，有多少种排法．

1. 掌握加法乘法原理

2. 熟练运用加乘方法

3. 解决加乘及计数综合性题目

1.联欢会上有一则数字谜语，谜底是一个八位数。现已猜出：□54□7□39，主持人提示：

“这个无重复数字的八位数中，最小的数是 2。”要猜出这个谜语，最多还要猜次。

解析：根据题意三个方框只能从 2,6,8 中选，根据乘法原理最多还要猜 3×2×1=6

2.在右面每个方格中各放 1 枚围棋子(黑子或白子)，有（）种放法．

解析：由于每个方格有 2 种填法，依此根据乘法原理进行解答。

3.用 1、2、3 这三个数字可以组成多少个不同的三位数？如果按从小到大的顺序排列， 213

是第几个数？

解析：根据题意知道排百位、十位、个位依次有 3 种，2 种，1 种，把不同的三位数分别写

出，比较大小即可。

4.有一些四位数，它们由 4 个互不相同且不为零的数字组成，并且这 4 个数字和等于 12.将

所有这样的四位数从小到大依次排列，第 24 个为．

解析：根据乘法原理 1236 可以组成 4×3×2×1=24

1245 可以组成 4×3×2×1=24 第一个数字是 1 开头的有 12 个，2 开头的有 12 个，

所以第 24 位数就是 2 的大最大的 4 位数 2631

5.地图上有

，

四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻

国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？

解析：如果四个国家相邻先从 A 分析，A 可以涂4 种颜色，当 A 涂完一种颜色后对于 B 只有

3 种颜色，C 只有 2 中颜色，D 只有一种颜色。所以 4×3×2×1=24

6.将 1～6 分别填入图中的 6 个方框内，使得同一行中左边的数比右边的小，同一列中上边

的数比下边的小，共有______种不同的填法．

解析：一共有五种不同的填法：分类枚举

1 3 4

2 5 6

135

246

A档

1.如果一个四位数与一个三位数的和是，并且四位数和三位数是由个不同的数字组

成的，那么，这样的四位数最多能有多少个？

2.用 1～9 可以组成______个不含重复数字的三位数；如果再要求这三个数字中任何两个的

差不能是 1，那么可以组成______个满足要求的三位数？

1 2 4

3 5 6

1 2 3

4 5 6

125

436

3.用数字各一个组成 8 位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是 3 的倍数．共

有种组成方法．

4.五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。

如果贝贝和妮妮不相邻，共有( )种不同的排法。

5.马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子

穿一双鞋.问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？

B档

1.康康到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不

同的买法？

2.从甲地到乙地有 2 条路，从乙地到丙地有 3 条路，从丙地到丁地也有 2 条路.问：从甲地

经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？

3.邮递员投递邮件由

村去

村的道路有 3 条，由

村去

村的道路有 2 条，那么邮递员从

村经

村去

村，共有多少种不同的走法？

4.用 5 种不同颜色的笔来写“优胜教育”这几个字，相邻的字颜色不同，共有多少种写法？

5.“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这 3 个字母写成三种不同颜色.现在有五种不同

颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？

C档

1.如下图，A，B，C，D，E 五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，

要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？

2.用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜

色.问：共有多少种不同的染色方法？

3.从全班 20人中选出 3 名学生排队，一共有多少种排法？

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