四年级数学上册第17讲：图形计数进阶（教师版）（人教版）

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第十七讲图形计数进阶

一、乘法原理

我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多

少种完成方法时就要用到乘法原理.

乘法原理：一般地，如果完成一件事需要 n 个步骤，其中，做第一步有 m1种不同的方

法，做第二步有 m2种不同的方法，…，做第 n 步有 mn种不同的方法，则完成这件事

一共有 N=m1×m2×…×mn种不同的方法．

乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完

成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘

法分步，步步相关”.

二、乘法原理解题三部曲

1、完成一件事分

个必要步骤；

2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；

3、步步相乘

三、乘法原理的考题类型

1、路线种类问题——比如说从 A 地到 B 地有三种交通方式，从 B 地到 C 地有 2 种交通

方式，问从 A 地到 C 地有多少种乘车方案；

2、字的染色问题——比如说要 3 个字，然后有 5 种颜色可以给每个字然后，问 3 个字

有多少种染色方法；

3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几

种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；

4、排队问题——比如说 6 个同学，排成一个队伍，有多少种排法；

5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几位数的偶

数，有多少种排法．

1. 掌握加法乘法原理

2. 熟练运用加乘方法

3. 解决加乘及计数综合性题目

1.联欢会上有一则数字谜语，谜底是一个八位数。现已猜出：□54□7□39，主持人提示：

“这个无重复数字的八位数中，最小的数是 2。”要猜出这个谜语，最多还要猜次。

解析：根据题意三个方框只能从 2,6,8 中选，根据乘法原理最多还要猜 3×2×1=6

答案：6

2.在右面每个方格中各放 1 枚围棋子(黑子或白子)，有（）种放法．

解析：由于每个方格有 2 种填法，依此根据乘法原理进行解答。

答案：2×2×2×2=16

3.用 1、2、3 这三个数字可以组成多少个不同的三位数？如果按从小到大的顺序排列， 213

是第几个数？

解析：根据题意知道排百位、十位、个位依次有 3 种，2 种，1 种，把不同的三位数分别写

出，比较大小即可。

答案：3×2×1=6(种)

可以组成 6 个不同的三位数，它们依次是 123,132,213,231,312,321，所以 213 是第

三个数

4.有一些四位数，它们由 4 个互不相同且不为零的数字组成，并且这 4 个数字和等于 12.将

所有这样的四位数从小到大依次排列，第 24 个为．

解析：根据乘法原理 1236 可以组成 4×3×2×1=24

1245 可以组成 4×3×2×1=24 第一个数字是 1 开头的有 12 个，2 开头的有 12 个，

所以第 24 位数就是 2 的大最大的 4 位数 2631

答案：2631

5.地图上有

，

四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻

国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？

解析：如果四个国家相邻先从 A 分析，A 可以涂4 种颜色，当 A 涂完一种颜色后对于 B 只有

3 种颜色，C 只有 2 中颜色，D 只有一种颜色。所以 4×3×2×1=24

答案：24 种

6.将 1～6 分别填入图中的 6 个方框内，使得同一行中左边的数比右边的小，同一列中上边

的数比下边的小，共有______种不同的填法．

解析：一共有五种不同的填法：分类枚举

1 3 4

2 5 6

135

246

答案：五种

1 2 4

3 5 6

1 2 3

4 5 6

125

436

A档

1.如果一个四位数与一个三位数的和是，并且四位数和三位数是由个不同的数字组

成的，那么，这样的四位数最多能有多少个？

解析：由于一个四位数与一个三位数的和为 1999，所以四位数首位必须为 1，剩下 3 位和

都为 9，找出合适的组合，0和 9，2 和 7，3 和 6，4 和 5（数字 8 不能用在这），因

此考虑三位数可能的情况，三位数一定下来，四位数只有唯一的可能。由于 0不能

为首位，所以考虑首位为 C71=7，剩下 2 位可以为 C61*C41=24,同时对应的四位数也

就定了，因此可能情况为 7*24=168 种。

答案：168 种

2.用 1～9 可以组成______个不含重复数字的三位数；如果再要求这三个数字中任何两个的

差不能是 1，那么可以组成______个满足要求的三位数？

解析：乘法原理：第一个空的答案是 9x8x7=504 第一个空的答案是 504 -8x6x6-7x6=174

答案：504、174

3.用数字各一个组成 8 位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是 3 的倍数．共

有种组成方法．

解析：l～8 中被三除余 1 和余2 的数各有 3 个，被3整除的数有两个，根据题目条件可以

推导，符合条件的排列，一定符合“被三除所得余数以 3 位周期”，所以 8 个数字，

第 1、4、7 位上的数被3除同余1，第 2、5、8 位上的数被3除同余2，第 3、6 位上

的数被3除同余 0，显然第 3、6 位上的数被3整除，第 1、4、7 位上的数被3除可

以余1也可以余2，第 2、5、8 位上的数被3除可以余2 可以余1，余数的安排上共

有 2 种方法，余数安排定后，还有同余数之间的排列，一共有

33×3×2×2×2×1×1×1×2=144 种方法．

答案：144．

4.五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如

果贝贝和妮妮不相邻，共有( )种不同的排法。

解析：首先来考虑全部的可能（即包含贝贝和妮妮相邻和不相邻）就有 5×4×3×2×1=120种

情况．然后来看贝贝和妮妮相邻的时候，把相邻的贝贝和妮妮看做一个整体，这样就有原

先的五人排序变成四个人排序了，情况就有：4×3×2×1，贝贝在妮妮的左边或右边的时

候，以上情况再乘以 2，就是贝贝和妮妮相邻的情况，再用总情况的次数减去相邻的情况

的次数就是他们不相邻去情况的次数。

答案：

5×4×3×2×1=120

4×3×2×1×2=48

120-48=72（种）；

5.马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子

穿一双鞋.问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？

解析：有红黑、黄黑、蓝黑，红白，黄白，蓝白六种

答案：6 种

B档

1.康康到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不

同的买法？

解析：由乘法原理，主食和副食各买一种共有 3×5=15 种不同的方法．从题可以看出，乘

法原理运用的范围是：①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；②每个

步骤各有若干种不同的方法来完成．这样的问题就可以使用乘法原理解决问题．

答案：15

2.从甲地到乙地有 2 条路，从乙地到丙地有 3 条路，从丙地到丁地也有 2 条路.问：从甲地

经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？

解析：从甲到丁是分三步走的．第一步甲到乙有 2 种方法，第二步乙到丙有 3 种方法，第 3

步丙到丁有 2 种方法．对于第一步的每种方法，第二步都有 3 种方法，所以从甲到

丙有 2×3=6（种）方法；对从甲到丙的每种方法，第三步都有 2 种方法，所以不同

的走法共有 2×3×2=12（种）．

答案：12 种

3.邮递员投递邮件由

村去

村的道路有 3 条，由

村去

村的道路有 2 条，那么邮递员从

村经

村去

村，共有多少种不同的走法？

解析：根据乘法原理：3*2*3=18 种邮递员由 A 村B村C村到 D 村共有 18 种走法

答案：18 种

4.用 5 种不同颜色的笔来写“优胜教育”这几个字，相邻的字颜色不同，共有多少种写法？

解析：根据乘法原理 5*4*3*2*1=120种

答案：120种

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