四年级数学上册第14讲：幻方（学生版）（人教版）

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第十四讲幻方

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【知识点解析】

一、幻方的概念：

所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上

的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。

幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各

个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。

幻方又称为魔方，方阵等，它最早

起源于我国。宋代数学家杨辉称之为纵

横图。关于幻方的起源，我国有“河

图”和“洛书”之说。相传在远古时期，

伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有

条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹

龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给

他，这就是“河图”了，是最早的幻方。

伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。

后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大

乌龟，它的背上有图有字，人们称之为

“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、

白圆圈 45 个。把这些连在一起的小圆和

数目表示出来，得到 1 至 9 这九个数，

恰组成一个三阶幻方。

二、幻方问题主要方法

1、累加法

第1题

利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。通常将若干个“幻和”累加

在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。

2、求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵

图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。

3、比较法

利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。注意观察数阵图中相关联的“幻和”

之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。

4、掌握好 3 阶幻方中的规律。

三阶幻方的性质：1.中心位置上的数等于幻和除以 3；

2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数；

3.中心数两头的数等于中心数的 2 倍。

例 1：我们先来一起解决三道难度相差很大的题目，目的在于总结出三阶幻方的若干

重要性质。

如下图，将 1—9 填入 3×3 的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字

之和都相等，你一共可以得到多少种填法？

例 2：下图是一个三阶幻方，请说明幻和等于 3 倍的 E 且 D+F=2×E。

例 3：上图是一个三阶幻方，请说明 A+B=2×C。

例 4：那么究竟我们总结出来的 3 条性质有什么用呢，

请完成下面的三阶幻方：

例 5：下图是一个三阶幻方，请说明幻和等于 3 倍的 E 且 D+F=2×E。

例6：下图是一个三阶幻方，请说明 A+B=2×C。

A 档

1、请完成下面的三阶幻方：

2、求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于 267 的三阶质数幻方。

第3题

第4题（2）

100 19

第4题

第3题

第4题

100 19

第4题

2 5

第1题

3、将 1—12 填入图中的 12 个区域内，使得每个圆圈内的 4 个数字之和都相等。

4、将 1、2、3、4、5、6、7、8、9 分别填入图中的 9 个圆圈内，使图中每条直线上圆

圈内所填数之和都相等，那么这个相等的和为_______；（图中有 7条直线，请填出）

5、如下图，将 1—9 填入 3×3 的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个

数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？

2 5

6、请完成下面的三阶幻方：

B 档

1、将 1—12 填入图中的 12 个区域内，使得每个圆圈内的 4 个数字之和都相等。

2.将 1、2、3、4、5、6、7、8、9 分别填入图中的 9

个圆圈内，使图中每条直线上圆圈内所填数之和都相等，那么这个相等的和为_______；

（图中有 7条直线，请填出）

3. 用 1～9 这九个数编排一个三阶幻方。

4. 请编出一个三阶幻方，使其幻和为 24。

第4题

100 19

第4题

5. 在下面图中的 A、B、C、D 处填上适当的数，使其成为一个三阶幻方。

6. 在下面各图形的○里填上适当的数，使每条线上三个数的和都等于 21。

C 档

1. 用 1～9 这九个数补全图 1 中的幻方，并求幻和。

2. 用 3～11 这九个数补全图 2 中的幻方，并求幻和。

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