四年级数学上册第14讲：幻方（教师版）（人教版）

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第十四讲幻方

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【知识点解析】

一、幻方的概念：

所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上

的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。

幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各

个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。

幻方又称为魔方，方阵等，它最早

起源于我国。宋代数学家杨辉称之为纵

横图。关于幻方的起源，我国有“河

图”和“洛书”之说。相传在远古时期，

伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有

条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹

龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给

他，这就是“河图”了，是最早的幻方。

伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。

后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大

乌龟，它的背上有图有字，人们称之为

“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、

白圆圈 45 个。把这些连在一起的小圆和

数目表示出来，得到 1 至 9 这九个数，

恰组成一个三阶幻方。

二、幻方问题主要方法

1、累加法

第1题

利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。通常将若干个“幻和”累加

在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。

2、求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵

图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。

3、比较法

利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。注意观察数阵图中相关联的“幻和”

之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。

4、掌握好 3 阶幻方中的规律。

三阶幻方的性质：1.中心位置上的数等于幻和除以 3；

2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数；

3.中心数两头的数等于中心数的 2 倍。

例 1：我们先来一起解决三道难度相差很大的题目，目的在于总结出三阶幻方的若干

重要性质。

如下图，将 1—9 填入 3×3 的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字

之和都相等，你一共可以得到多少种填法？

解析：首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就

知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。它是

多少呢？哦，如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总

和不就是 3 倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道，由于 1 到 9 这九个数字都只各用

了一次，所以 3 倍的的“幻和”就等于 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（请复习学过的等差数列知

识）。于是最后，我们终于得到这个至关重要的“幻和”就是 45÷3=15。

接下来第二步，我们来关心一下中间一格应该填哪个数字。

同学们可能会说，中间一定填 5，因为 1 到 9 的中间数字就是 5，而幻方又是上下左右

对称的。没错，同学们有这样的数学直观很好，但是为了确定我们的判断，还是需要严格

地说明一下。

A B C

D E F

GHI

看上面的表格，由于我们还没有填入任何一个数字，所以就用了九个大写字母来表示。

下面就需要技巧了，我们现在只考虑包含

的四条直线：因为

=15,

=15, 所以如果我们把这四个式子的左右两边分别相加，就可以得到

（

A+B+C+D+E+F+G+H+I

）

+3×E=

60,

而

A+B+C+D+E+F+G+H+I

不就是所填数的总和吗？不论填法如何，这个数是不变的，它就

是 45，于是那么我们就得到

E=5

了。

答案：根据上面的分析，我们知道“幻和”=15，而 E=5。

从而我们知道

A+I=B+H=C+G=D+F

=10，也意味着在所有经过中心的直线上，两端的数字

奇偶性相同。然后我们可以通过枚举的方法确定每个位置上数字的奇偶性：（大家自己完

成）

偶奇偶

奇5奇

偶奇偶

我们可以看到，如果 4 个角上的偶数被确定下来，那么其余 4 个奇数也就被确定了，

所以我们可以只考虑这 4 个偶数的填法。利用一点简单的乘法原理，大家就可以知道本题

共有 8种填法。具体填法如下：

2 9 4 2 7 6 8 3 4 816

75 3 9 5 1 1 5 9 3 5 7

618438 6 7 2 4 9 2

总结：这里要强调一点：奇偶性分析并不是解决幻方题的典型方法，只在某些特殊的题

目中会被用到。

在上面这个解题过程中，我们用到了一点技巧，希望同学们加以领会。

本题中，我们看到所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于中间这个

。那么

我们来问一个深入一点的问题：你认为这是在这道题中才产生的特殊性质，还是所有的三

阶幻方都应该具有类似的性质？

还有，就是上面我们曾经得出的那个“幻和”的 3 倍就等于这九个数之和的这条性质，

它能不能推广到所有的三阶幻方？

【巩固】.请你将 3~11 这 9 个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等。

解析：首先将这列数中的中间数放在中间的格子里

可知幻和是 7×3=21；

其次；将最小的数和最大的数分别放在这个数的横

向或竖向的两边；第三，中间数前面的第 2 和第 4 个数分

别填在最大数的两侧，这时就可以轻松的确定剩下的几个

空了。

4 9 2 4 3 8 6 7 2618

3 5 79 5 1 1 5 9 75 3

81627 6 8 3 4 2 9 4

89 4

371

056

371

例 2：下图是一个三阶幻方，请说明幻和等于 3 倍的 E 且 D+F=2×E。

解析：有了第 1 题的基础，大家应该对本题感到不是那么陌生了，只要把第 1 题的一部

分解题过程搬过来就行。这道题也是让大家看一看如何把一个特殊的解题过程变成一条普

遍的规律或性质。

答案：首先把题目中的空白格子标上不同的字母，以便表述。

A B C

D E F

G H I

首先，只考虑包含 E的四条直线，得到 A+E+I=“幻和”，B+E+H=“幻和”， C+E+G=“幻

和”， D+E+F=“幻和”。

然后，把这四个式子的左右两边分别相加，得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3×E=4 倍的

“幻和”, 而另一方面，如果我们只考虑幻方的三行，则有A+B+C=D+E+F=G+H+I=“幻和”，

因此 A+B+C+D+E+F+G+H+I=3 倍的“幻和”。

所以，3×E=“幻和”，而“幻和”=D+E+F，于是 D+F=2×E。

总结：同样的分析办法，还可以得到 A+I=B+H=C+G=D+F=2×E(请大家自己说明)。

本题回答了例 1 评议中提出的两个问题，从而我们得到三阶幻方的两条重要性质。

性质 1：“幻和”的 3 倍等于这九个数之和；

性质 2：所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于正中间的数字。

例 3：上图是一个三阶幻方，请说明 A+B=2×C。

解析：这是一道难题，它之所以难，就在于条件太少，只有三阶幻方的概念可以用。于

是我们就想到利用性质 1 和 2，看看能不能解决问题。

当然，只利用题目中的 A、B、C三个位置上的数字是不可能做出来的，至少还要利用一

个其它位置上的数字作为过渡，比如我们可以选择左上角的数字，并用x来表示它：

x B

A *

下面我们要用到比较法，其实也就是性质 1。

答案：现在考虑*处的数字。如果我们只看上面第一行和右边第一列，可以知道

*+C=B+x，也就是*=B+x-C；而如果我们只看中间第二行和左上到右下的对角线，可以知道

x+C=A+*，也就是*=x+C-A。

所以 B+x-C=x+C-A，两边可以都去掉 x，就得到 A+B=2×C。

总结：这就是幻方的性质 3，也被形象的称为“T”字型性质。当然，类似本题中这样

A+B=2×C 的性质还有另外3 种不同方向的表达形式，大家应该自己可以总结出来。“T”

字型性质是非常重要，而且神奇的性质，它神奇就神奇在三阶幻方有无穷多个，看起来好

像数字怎么填都可以。但是这条性质却告诉我们在离得这么远的三个位置上的数字之间却

有着这样简单的关系，三阶幻方中的数字不是随便怎么填都可以的，中间还潜藏着一些更

深层次的特殊性质。这正是数学的魅力所在。

例 4：那么究竟我们总结出来的 3 条性质有什么用呢，

D E F

第2题

第3题

请完成下面的三阶幻方：

解析：本题需要综合利用上面的 3 条性质以及比较法来解决，目的主要是求出“幻和”，

一旦“幻和”求出来了，一切就都没问题了。但是不同人的解题顺序和利用性质的方式可

能很不一样，所以下面我只是提供一种可行的解题顺序和方法，大家应该有自己的解题顺

序和方法。这类题是简单的。

答案：

（1）

根据性质 2，A=100×2-19=181，B=100×2-95=105；“幻和”=100×3=300。下面就

只要根据幻方的概念填就可以了。答案如下：

（2）

根据比较法，A=19+29-17=31；根据性质 3，B=(17+29)÷2=23；根据性质

2，C=(19+31) ÷2=25，“幻和”=25×3=75。下面也就只要根据幻方的概念填就可以了。

答案如下：

总结：最后重申几点注意事项：

I. 这些性质只适用于三阶幻方，对于四阶和四阶以上的幻方，有些性质可能就不成

立了，而有些需要修改，请同学们慎重，具体问题具体处理。

II. 这几条性质适合于所有的三阶幻方，并没有局限性。

例 5：下图是一个三阶幻方，请说明幻和等于 3 倍的 E 且 D+F=2×E。

「解析」有了第 1 题的基础，大家应该对本题感到不是那么陌生了，只要把第 1 题的

一部分解题过程搬过来就行。这道题也是让大家看一看如何把一个特殊的解题过程变成一

条普遍的规律或性质。

第4题（2）

100 19

第4题

D E F

第2题

「答案」首先把题目中的空白格子标上不同的字母，以便表述。

A B C

D E F

G H I

首先，只考虑包含 E的四条直线，得到 A+E+I=“幻和”，B+E+H=“幻和”，

C+E+G=“幻和”， D+E+F=“幻和”。

然后，把这四个式子的左右两边分别相加，得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3×E=4 倍的

“幻和”, 而另一方面，如果我们只考虑幻方的三行，则有A+B+C=D+E+F=G+H+I=“幻和”，

因此 A+B+C+D+E+F+G+H+I=3 倍的“幻和”。

所以，3×E=“幻和”，而“幻和”=D+E+F，于是 D+F=2×E。

说明完毕。

「总结」同样的分析办法，还可以得到 A+I=B+H=C+G=D+F=2×E(请大家自己说明)。

本题回答了第 1 题评议中提出的两个问题，从而我们得到三阶幻方的两条重要性质。

性质 1：“幻和”的 3 倍等于这九个数之和；

性质 2：所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于正中间的数字。

请大家牢记。

那么，三阶幻方还有什么别的更奇妙更有趣的性质吗？

例6：下图是一个三阶幻方，请说明 A+B=2×C。

「解析」这是一道难题，它之所以难，就在于条件太少，只有三阶幻方的概念可以

用。于是我们就想到利用性质 1 和 2，看看能不能解决问题。

当然，只利用题目中的 A、B、C三个位置上的数字是不可能做出来的，至少还要利用

一个其它位置上的数字作为过渡，比如我们可以选择左上角的数字，并用x来表示它：

x B

A *

下面我们要用到比较法，其实也就是性质 1。

「答案」现在考虑*处的数字。如果我们只看上面第一行和右边第一列，可以知道

*+C=B+x，也就是*=B+x-C；而如果我们只看中间第二行和左上到右下的对角线，可以知道

x+C=A+*，也就是*=x+C-A。

所以 B+x-C=x+C-A，两边可以都去掉 x，就得到 A+B=2×C。

说明完毕。

「总结」这就是幻方的性质 3，也被形象的称为“T”字型性质。当然，类似本题中这

样 A+B=2×C 的性质还有另外3 种不同方向的表达形式，大家应该自己可以总结出来。

“T”字型性质是非常重要，而且神奇的性质，它神奇就神奇在三阶幻方有无穷多个，看起

来好像数字怎么填都可以。但是这条性质却告诉我们在离得这么远的三个位置上的数字之

间却有着这样简单的关系，三阶幻方中的数字不是随便怎么填都可以的，中间还潜藏着一

些更深层次的特殊性质。这正是数学的魅力所在。

第3题

A 档

1、请完成下面的三阶幻方：

「分析」本题需要综合利用上面的 3 条性质以及比较法来解决，目的主要是求出“幻

和”，一旦“幻和”求出来了，一切就都没问题了。但是不同人的解题顺序和利用性质的

方式可能很不一样，所以下面我只是提供一种可行的解题顺序和方法，大家应该有自己的

解题顺序和方法。这类题是简单的。

「详解」（1）根据性质 2，A=100×2-19=181，B=100×2-95=105；“幻

和”=100×3=300。下面就只要根据幻方的概念填就可以了。答案如下：

（2）

根据比较法，A=19+29-17=31；根据性质 3，B=(17+29)÷2=23；根据性质

2，C=(19+31) ÷2=25，“幻和”=25×3=75。下面也就只要根据幻方的概念填就可以了。

答案如下：

「评议」至此，本讲对于三阶幻方的深入研究告一段落，最后重申几点注意事项：

I. 这些性质只适用于三阶幻方，对于四阶和四阶以上的幻方，有些性质可能就不成

立了，而有些需要修改，请同学们慎重，具体问题具体处理。

II. 这几条性质适合于所有的三阶幻方，并没有局限性。

2、求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于 267 的三阶质数幻方。

「详解」：由例 4 知中间方格中的数为 267÷3＝89。由于在两条对角线、中间一行及

中间一列这四组数中，每组的三个数中都有89，所以每组的其余两数之和必为 267-89＝

178。两个质数之和为 178 的共有六组：

　　5+173＝11＋167＝29＋149＝41＋137＝47+131＝71+107。

第4题

100 19

第4题

2 5

　　经试验，可得右图所示的三阶质数幻方。

3、将 1—12 填入图中的 12 个区域内，使得每个圆圈内的 4

个数字之和都相等。

「分析」原则上我们是可以通过分析每个数所属于的圆圈个

数（“重数”）来分析每个圆圈内 4 个数字之和的范围，确定其

最小值和最大值，再一一筛选。具体方法大家可以参考三年级下

学期的内容。

但是这种方法在一些特殊的数阵图题目中显得非常不实用。当然，由于同学们做题时

只需要找出一种可能的填法，所以上面说的这种方法在很多情况下也是可行的，只是繁琐

些。

「详解」如右图，首先，我们把注意力放在下面的和右面的圆圈中，可以得

到：

A+B+2+5=B+C+7+8，则 A-C=8。

因此要么 A=9，C=1 或者 A=11，C=3（因为 12 和 10已经有了）。

如果 A=11，C=3，那么仿照以上的步骤，就可以知道 D=E-10（为什么？大家

自己思考），所以不可能。

因此 A=9，C=1，那还剩下 4 个数字需要填：3，6，11，12。

由于 10+D+A(9)=E+4+7，于是 D+8=E。所以就有 D=3 而 E=11。剩下的数就很简单了。

答案如下：

「评议」还是那句话，特殊而巧妙的方法是因题而异的，

这需要经验和积累。也就是说，大家不能做完题就算了，而是

需要牢牢记住这些好方法，久而久之才能融会贯通。

4、将 1、2、3、4、5、6、7、8、9

分别填入图中的 9 个圆圈内，使图中每条直线上圆圈内所填数

之和都相等，那么这个相等的和为_______；（图中有 7条直

线，请填出）

「分析」我们仔细看看上面这张图，就会发现有些圆圈处于三条直线上，而另一些圆

圈处于两条直线上，还有一个圆圈只处于一条直线上。要想利用所谓“重数”的分析方法，

有很大的困难。当然也不是说这种方法就失灵了，我们综合分析一下，就不难发现某些位

置上的数字应该偏大，而另一些数字显然偏小。如果去猜一猜的话，也不难填出一种来。

那么我们就可以去考虑一下是否有更好或更直接的方法来

第1题

做本题。我们发现有一个圆圈很特殊，从它出发，就很容易找到答案。

「详解」除去位置 A 处的数字，剩下的 8个数字恰好组成三行，也就是说

1+2+3+4+5+6+7+8+9-A=3×“每条直线上圆圈内所填数之和”。

因此，A一定是 3 的倍数，也就是说 A=3，6或 9，而相应

的“每条直线上圆圈内所填数之和”就等于 14，13 或 12。

但是，如果 A=9 的话，那么右下角的圆圈内只能填 1 或

者 2 了，此时就要求左下角的数字至少为 10，显然不可能。

如果 A=6，则每条直线上圆圈内所填数之和等于 13，而

在下图中我们知道 B=C+6（比较法），因此就要

D+6+B=C+D+12=13，是不可能的。

所以 A=3，而相应的“每条直线上圆圈内所填数之和”就

等于 14，且有C+D=8。（为什么？请大家自己思考）

然后我们就可以找到一种填数的方法，使得每条直线上圆

圈内所填数之和就等于 14。答案如下图：

「评议」大家可以去思考一下，虽然每条直线上圆圈内所填数之和只可能等于 14，但

是除了上面给出的填法，是否还有其它的填数方式？如果有，请找出来；如果没有，说明

理由。

5、如下图，将 1—9 填入 3×3 的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三

个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？

「分析」首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们

就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。它

是多少呢？哦，如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的

总和不就是 3 倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道，由于 1 到 9 这九个数字都只各

用了一次，所以 3 倍的的“幻和”就等于 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（请复习学过的等差数列

知识）。于是最后，我们终于得到这个至关重要的“幻和”就是 45÷3=15。

接下来第二步，我们来关心一下中间一格应该填哪个数字。

同学们可能会说，中间一定填 5，因为 1 到 9 的中间数字就是 5，而幻方又是上下左右

对称的。没错，同学们有这样的数学直观很好，但是为了确定我们的判断，还是需要严格

地说明一下。

A B C

D E F

G H I

看上面的表格，由于我们还没有填入任何一个数字，所以就用了九个大写字母来表示。

下面就需要技巧了，我们现在只考虑包含

的四条直线：因为

=15,

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分类：小学 属性：28 页 大小：574.75KB 格式：DOCX 时间：2026-03-27