四年级数学上册 第8讲 数学广角-优化（教师版含解析）（人教版）

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第 8 讲 数学广角-优化
知识点一：沏茶问题
合理安排事情的顺序，能同时做的
事情同时做，就能节省时间
接水 烧水 沏茶
同 时
找茶叶洗茶杯
沏
茶
问
题
饼的数量是双数，2张2张的烙；饼数的
数量是单数，最后留3张，运用技巧烙
第一次 1正 2正
第二次 1反 3正
第三次 2反 3反
烙
饼
问
题
与对方比赛时，要知己知彼，选择利多
弊少的最优策略，使劣势变为优势
上等马 中等马
中等马 下等马
下等马 上等马
策
略
问
题
合理安排时间的方法：1、定先后顺序；2、找同时进行；3、计算时间。
知识点二：烙饼问题
1.无论烙多少张饼，只要保证每次都在平底锅中放 2 张饼，就能节省时间。如果烙饼的张数
是双数，2 张 2 张的烙就可以了；如果烙饼的张数是单数，可以先 2 张 2 张的烙，最后 3 张按
“烙 3 张饼”的最优方案去烙，最节省时间。
2.烙饼的最优方案：每一次尽可能让锅里按要求放最多张饼，别让锅有空余，这样既没有浪
费资源，又节省了时间。
知识点三：田忌赛马问题
1.解决同一个问题可以有不同的策略，要学会寻找解决问题的最优方案。
2.在与对方进行比赛时：
(1)要知己知彼，详细地分析双方的情况。
(2)想到所有可能的对策。
(3)选择一个利多弊少的最优策略。
考点一：沏茶问题
【例 1】壮壮每晚睡觉前要看成语故事 10 分钟，烧开水 12 分钟，泡好不烫的牛奶 2分钟，喝牛奶 3分钟，
壮壮在　烧开水　的同时可以　看成语故事　，做完这些事情最少用　 17
　 分钟．
【思路分析】根据题意，壮壮在烧开水的同时可以看成语故事，这样节省 10 分钟，做完这些事情需要
时间：12+2+3＝17(分钟)．
【规范解答】解：12+2+3＝17(分钟)
答：壮壮在烧开水的同时可以看成语故事，做完这些事情最少用 17 分钟．
故答案为：烧开水；看成语故事；17．
【名师点评】此题属于合理安排时间问题，要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答．
1．放学后，依依帮妈妈做家务，前后共花 40 分钟，而妈妈说只要花 24 分钟就可以了，依依却怎么也想不
明白，你能帮帮她吗？
妈妈安排的顺序是：　 　．
【思路分析】烧水和煮饭，与扫地、擦桌子、淘米、洗菜之间没有冲突，可以在同时进行，但是淘米需
要在煮饭之前，所以，可以安排，在烧水的同时进行扫地和淘米，煮饭的同时进行擦桌子和洗菜，最后
再炒菜，如此安排即可．
【规范解答】解：烧水和煮饭，与扫地、擦桌子、淘米、洗菜之间没有冲突，可以在同时进行，但是淘
米需要在煮饭之前，
所以，可以安排，在烧水的同时进行扫地和淘米，煮饭的同时进行擦桌子和洗菜，最后再炒菜．
故答案为：
【名师点评】本题主要考查了沏茶问题，需要学生能够发现事件之间是否冲突，并将没有冲突的事件安
排同时进行．
2．(2019 春•肇州县校级期末)小明每天早晨起床要做一些事情，所需要的时间如下：听广播 20 分，洗漱
10 分，吃早饭 15 分，做完这些事情至少需要　 25
　 分．
【思路分析】根据题干，洗漱 10 分，吃早饭 15 分，同时可以进行听广播 20 分，可以节约 20 分钟，据
此即可求出最少需要的时间．
【规范解答】解：洗漱 10 分，吃早饭 15 分，同时可以进行听广播 20 分，一共需要：
10+15＝25(分钟)
答：做完这些事情至少需要 25 分钟．
故答案为：25．
【名师点评】解答此题的关键是，运用合理的统筹方法，即在干一件事时，另一件事同时也在进行，这
样才能做到用最少的时间做更多的事情．
3．(2017 秋•中原区期末)妈妈每天早上起床后要做以下事情：起床穿衣(3 分)；刷牙(3 分)；洗脸(2 分)；煮
鸡蛋(8 分)；烤面包(2 分)；吃早餐(6 分)．妈妈最少用　 17
　 分钟完成这些事情．怎样安排呢：请在方框
内写出来．
【思路分析】先起床穿衣，需要 3分钟，再煮鸡蛋需要 8分钟，同时可以整理刷牙、洗脸，烤面包，可
以节约 3+2+2＝7分钟；再吃早餐需要 6分钟，据此即可解答问题．
【规范解答】解：根据题干分析可得：3+8+6＝17(分钟)，
答：至少需要 17 分钟才能完成这些事．
故答案为：17．
【名师点评】解答此类问题的关键是奔着既节约时间又不使每道程序相互矛盾即可．
考点二：烙饼问题
【例 2】(2019 秋•永州期末)妈妈用平底锅煎鱼，每次最多只能放两条鱼，两面都要煎，每面 2分钟，煎 9
条鱼至少需要　 18
　 分钟．
【思路分析】前6条鱼按照正常方法煎，每次 2张，每面 2分钟，共需要 3×2×2＝12(分)，后三条鱼可
以这样煎：为了便于说明问题把三条鱼分别编号为 1、2、3号，可以采用交替煎的办法，先放 1、2号，
2分钟后把其中的一个取出，比如把 2号取出，再把 3号放入，1号煎反面；2分钟后，1号熟了取出，
再把 2号放入；再过2分钟，2、3都熟了；这样一共用了 2×3＝6分钟．两个时间相加即可．
【规范解答】解：前 6条鱼按照正常方法煎，每次 2张，每面 2分钟，共需要 3×2×2＝12(分)，
剩下3条可以这样煎：
第1次先把 2条鱼同时下锅，2分钟时，将其中一条盛上来，另外一条翻面，同时，再放第三条鱼；
第二次，第一次放的那条鱼可以出锅了，最后放的那条鱼翻面，同时将盛起来的鱼翻面放下去；
第三次，就全部可以上锅；
共用 2×3＝6(分)
共需：12+6＝18(分钟)
答：煎 9条鱼最少要 18 分钟．
故答案为：18．
【名师点评】解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满要尽量放满，不做无用功．
1．(2019 秋•蓬溪县期末)煎一条鱼要 8分钟(正反两面各4分钟)．如果一个平底锅一次只能同时煎 2条鱼，
妈妈要煎 3条鱼，最少需要　 12
　 分钟．
【思路分析】由于每次可煎两条，煎一条鱼需要 8分钟．(正反面各4分钟)，所以第一次煎两条鱼的正
面，用时 4分钟，第二次煎两条鱼中一条鱼的反面，煎第3条鱼的正面，4分钟，此时已经煎好一条，
第三次煎两条鱼中另一条鱼的反面，第3条鱼的反面，4分钟，总用时 12 分钟．
【规范解答】解：第一次煎两条鱼的正面，用时 4分钟；
第二次煎两条鱼中一条鱼的反面，煎第3条鱼的正面，4分钟；
第三次煎两条鱼中另一条鱼的反面，第3条鱼的反面，4分钟；
总用时 4×3＝12(分钟)
答：至少需要 12 分钟．
故答案为：12．
【名师点评】解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满要尽量放满，不做无用功．
2．(2019 秋•孝昌县期末)用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，煎一个需要 6分钟，规定每个饼的正反面
各需3分钟．问煎 3个饼至少需要　 9
　 分钟．
【思路分析】三张饼可以分别用 A、B、C表示，只要充分利用锅，使锅中的饼始终有2个即可解决．
【规范解答】解：开始时可以先放 A、B两个饼，3分钟后可以翻转 B，拿出A，放入C；
3分钟以后可以拿出B，再把 A的反面放入，翻转 C，再 3分钟即可．
故烙热 3张饼至少需 3+3+3＝9(分钟)．
答：用煎 3个饼至少需要 9分钟．
故答案为：9．
【名师点评】解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满就尽量放满，不做无用工．
3．(2018 秋•玉泉区期末)一个平底锅每次可以烙2张饼，烙1张饼需要 8分钟(正、反两面各需要 4分钟)，
那么烙8张饼至少需要　 32
　 分钟，烙17 张饼至少需要　 68
　 分钟．
【思路分析】(1)根据题意，每次可以烙2张饼，烙8张饼，分 4次烙完，共需要 8×4＝32(分钟)．
(2)先将 14 张饼每次烙2张，需要时间：14÷2×4×2＝56(分钟)，先烙第一张和第二张的正面，需要 4分
钟，然后烙第一张反面和第三张的正面，需要 4分钟；再烙第二张反面和第三张反面，需要 4分钟．把
3个时间相加即可．
【规范解答】解：(1)烙2张饼需要 8分钟，
8×4＝32(分钟)
答：烙8张饼至少需要 32 分钟．
(2)先2张2张的烙，14 张饼需要时间：
14÷2×8＝56(分钟)
剩余 3张饼，先烙第一张和第二张的正面，需要 4分钟；
然后烙第一张反面和第三张的正面，需要 4分钟；
再烙第二张反面和第三张反面，需要 4分钟．
4×3＝12(分钟)
56+12＝68(分钟)
答：烙17 张饼至少需要 68 分钟．
故答案为：32；68．
【名师点评】此题考查了学生的利用统筹思想进行合理安排事情的能力，抓住锅内始终有2张饼在烙是
本题的关键．
考点三：田忌赛马问题
【例 3】红星小学四(1)班和四(2)班进行 50 米短跑比赛，规定三场两胜为胜．
四(1)班跑得快的是小张、小明、小兰，分别为 9.2 秒、9.5 秒、9.7 秒；
四(2)班跑得快的是小刚、小强、小红，分别为 9.3 秒、9.6 秒、9.9 秒．
如果四(2)班要胜四(1)班，四(2)班应该怎样派出选手？
第一场 第二场 第三场
四(1)班派出选手 小张 小明 小兰
四(2)班派出选手
获胜班级
【思路分析】由两班的成绩可以判断，四(2)班要胜四(1)班，需要采用“田忌赛马”策略；用四(2)班跑
的最慢的小红与四(1)班跑的最快的小张对阵，先输一局，形成错误优势，用小刚对阵小明，小强对阵
小兰，保证两胜，据此解答即可．
【规范解答】解：四(2)班要胜四(1)班，需要采用“田忌赛马”策略：
第一场 第二场 第三场
四(1)班派出选手 小张 小明 小兰
四(2)班派出选手 小红小刚小强
获胜班级四(1) 四(2) 四(2)
故答案为：小红，小刚，小强，四(1)，四(2)，四(2)．
【名师点评】本题主要考查了田忌赛马问题，用最弱的对最强的，输掉一局，用强对中等，用中等对弱
者，胜两局，保证三局两胜．
1．拍球比赛．
第一队
最好成绩(下/分)
陆莎 杜小雯 赵天晓 陶欣然
230 180 210 205
第二队
最好成绩(下/分)
宋圆 何文龙 刘佳佳 肖俊刚
220 190 165 210
(1)四局三胜：如果比赛中每个人都能正常发挥，第二队有可能获胜吗？你认为该怎样对阵？(用线连一
连对阵情况)
(2)五局三胜：如果每队再增加一人，其中第一队增加：王晓红(172 下/分)，第二队增加：田立志(152 下
/分)．第二队怎样对阵才有可能获胜呢？(用线连一连对阵情况)
【思路分析】(1)四局三胜：如果比赛中每个人都能正常发挥，第二队有可能获胜，可以这样对阵：第
二队的第四名对第一队的第一名，165＜230，此局第二队负；第二队的第一名对第一队的第二名，220
＞210，此局第二队胜；第二队的第二名对第一队的第三名，210＞205，此局第二队胜；第二队的第三
名对第一队的第四名，190＞180，此局第二队胜；据此四局三胜，即可使第二队胜出；
(2)如果第一队增加：王晓红(172 下/分)，第二队增加：田立志(152 下/分)．第二队也有可能获胜，可以
这样对阵：第二队的第五名对第一队的第一名，152＜230，此局第二队负；第二队的第一名对第一队的
第二名，220＞210，此局第二队胜；第二队的第二名对第一队的第三名，210＞205，此局第二队胜；第
二队的第三名对第一队的第四名，190＞180，此局第二队胜；第二队的第四名对第一队的第五名，165
＞155，此局第二队胜；据此五局四胜，即可使第二队胜出；据此即可解答问题．
【规范解答】解：(1)如图：
(2)如图：
(答案不唯一．)
【名师点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关键．
2．龙一鸣和淘淘各有“旅长”“团长”“营长”三枚军旗，级别高的“吃掉”级别低的．如果每人每次
出一枚棋，且龙一鸣先出，那么淘淘怎样出棋才能赢？(军棋级别：军师旅团营连排)
【思路分析】根据田忌赛马的思想，淘淘想要赢，需要用级别最低的“营长”和对方级别最高的“旅
长”迎战，形成错位优势，保证另外两次取得胜利，据此解答即可．
【规范解答】解：
故答案为：团长，营长，旅长；营长，旅长，团长；旅长，营长，团长．
【名师点评】本题主要考查了田忌赛马问题，用最弱的对最强的，输掉一局，用强对中等，用中等对弱
者，胜两局，保证三局两胜．
3．淘淘和壮壮玩扑克牌游戏．每局是各出一张牌，点大为胜．每人出3次牌，每次出一张牌，不许重复，
壮壮先出牌，淘淘后出牌，淘淘怎样可以获胜？(三局两胜，J相当于11)
【思路分析】根据田忌赛马的策略，淘淘要是想获胜，应该要把自己的最小牌和对方的最大牌一起出，
然后每次比对方的牌大一点即可．
【规范解答】解：根据壮壮的牌的点数：11、9、7，淘淘分别以 6点对壮壮的 11 点，输一局；以 10 点
对壮壮的 9点，胜一局；以 8点对壮壮的 7点，胜一局．
这样淘淘以 2：1获胜．
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