四年级数学上册 第6单元 除法_第03讲_商不变的规律(教师版)（北师大版）

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高思爱提分演示（KJ)初中语文教师辅导讲义
[教师版]
学员姓名 寒假班 年 级 初一
辅导科目 初中语文 学科教师 李红娟
上课时间 2020-02-05 07:00:00-09:00:00
知识图谱
商的变化规律
知识精讲
一．商的变化规律．
被除数不变，除数和商的变化正好相反，即除数扩大（或缩小），商就缩小（或扩大），除数乘（或除以）
几（0除外），商就除以（或乘）几；
除数不变，被除数和商的变化相同，即商随被除数的扩大（或缩小）而扩大（或缩小），被除数乘（或除
以）几（0除外），商也乘（或除以）几．
二．商不变规律．
被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变．
三．根据商不变规律可以进行一些简便计算．
没有余数的除法中，有 ，
．
但要特别注意：在有余数的除法中，余数会发生与被除数、除数相同的变化．
四．根据商不变规律计算被除数和除数末尾都有 0的除法会更简便．被除数和除数的末尾同时去掉相同个数的 0，
商不变，但余数发生了变化，去掉几个 0，余数的末尾就要加上几个 0．
典型例题 （1）计算下面两组数，你能发现什么？
__________
__________
__________
__________
从下往上观察
从上往下观察
16 ÷ 8 ＝ 2
160 ÷ 8 ＝ 20
320 ÷ 8 ＝ 40
×10 ÷10 不变 不变 ×10 ÷10
×2 ÷2 不变 不变 ×2 ÷2
200 ÷ 2 ＝ 100
200 ÷ 20 ＝ 10
200 ÷ 40 ＝ 5
不变 不变 ×10 ÷10 ÷10 ×10
不变 不变 ×2 ÷2 ÷2 ×2
×10
发现：除数不变，被除数乘（或除以）几（ 0除外），商也乘（或除以）几．发现：被除数不变，除数乘（或除以）几（ 0除外），商反而除以（或乘）几．
6 ÷ 3 ＝ 2
60 ÷ 30 ＝ 2
600 ÷ 300 ＝ 2
×10 ÷10 ×10 ÷10 不变 不变
×10 ÷10 ×10 ÷10 不变 不变
6000 ÷ 3000 ＝ 2
×10 ÷10 ×10 ÷10 不变 不变
（2）计算并观察下面的题．你发现了什么规律？
（3）计算： __________，__________．
（4）计算： __________．
名师学堂 （1）计算出结果后，进行比较．
正确解答，
（2）计算出结果后，将被除数、除数和商分别进行比较．
举例验证．
14 ÷ 2 ＝ 7
140 ÷ 20 ＝ 7
280 ÷ 40 ＝ 7
×10 ÷10 ×10 ÷10 不变 不变
×2 ÷2 ×2 ÷2 不变 不变
×10
7 8 03 0
2 6
6 0
1 8 0
1 8 0
0
7 8 03 0
2 6
6 0
1 8
1 8
0
8 4 05 0
1 6
5 0
3 4
3 0
4 0
正确解答， ， ， ， ．从上往下观察：被除数和除数都乘一个
相同的数，商不变．从下往上观察：被除数和除数都除以一个相同的数，商不变．
规律：被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变．
（3）计算： ．
方法一：直接用竖式计算．
方法二：利用商不变规律简便计算．被除数和除数的末尾都去掉相同个数的 0，即同时除以 10，商不变．
计算 ．观察算式，利用商不变规律，被除数和除数都乘 4，把算式转化成除数是整十数的算式，使计
算简便．
正确解答， ．
（4）利用商不变规律简便计算．可以利用商不变规律，把被除数和除数的末尾都去掉相同个数的 0，即同时
除以 10，商不变．但是此题有余数，余下的 4在十位上，表示 4个十，所以本题的余数应是 40．
正确解答， ．
三点剖析
重点：通过计算、填表、观察、比较，发现商的变化规律，渗透函数思想．
难点：理解和掌握商的变化规律，并能运用这一规律进行口算．
易错点：根据商不变规律计算有余数的除法时，余数易出错．
商随除数（或被除数）的变化而变化的规律
640÷
=
32
16
8
（）不变，（）乘（），商也（）。
（）不变，（）乘（），商（）。
例题
例题 1、根据 240÷80＝3填空。（在○里填运算符号，在□里填数）
（1）（240○□）÷80＝6
（2）240÷（80○□）＝6
（3）（240÷4）÷（80○□）＝3
（4）（240×2）÷（80÷3）＝□
【答案】（1）×，2（2）÷，2（3）÷，4（4）18
【解析】（1）×，2（2）÷，2（3）÷，4（4）18
例题 2、在除法算式里，被除数乘 3，除数除以 3，商就乘 9。（ ）
【答案】√
【解析】√
例题 3、不计算，直接写出每组下面两题的商或积．
64÷8＝8 65×6＝390
128÷16＝ 650×60＝
64÷4＝ 65×3＝
【答案】8 16；39000 195
【解析】8 16；39000 195
例题 4、两个数相除，如果被除数乘 10，除数除以 10，商怎样变化？
【答案】商乘 100 谜底：苏步青
【解析】商乘 100 谜底：苏步青
例题 5、计算下面两组题，写出你的发现．
【答案】（1) 5 10 30 除数 被除数 几 乘几
（2）80 40 20 被除数 除数 几 反而除以几
【解析】（1) 5 10 30 除数 被除数 几 乘几
（2）80 40 20 被除数 除数 几 反而除以几
例题 6、笑笑为了参加演讲比赛，她准备了一篇大约 800 字的演讲稿，演讲时间为 5分。
（1）如果笑笑每分平均打 50 个字，她打完这篇稿子大约需要多长时间？
（2）如果笑笑要做一个 15 分的演讲，大约需要准备多少个字的演讲稿？
【答案】（1）800÷50=16（分）
（2）15÷5×800=2400（个）
【解析】（1）800÷50=16（分）
（2）15÷5×800=2400（个）
例题 7、根据第一个式子的结果，直接写出后面的结果。
【答案】14，14，140；7，70，14
【解析】14，14，140；7，70，14
例题 8、在计算 720÷18 时，下列计算方法错误的是（ ）。
A.72÷18
B.720÷9÷2
C.（720÷9）÷（18÷9）
【答案】 A
【解析】A
随练
随练 1、根据每组题的第 1题的商，写出下面两题的商．
48÷4＝12 35÷5＝7
480÷40＝ 140÷20＝
48÷8＝ 175÷25＝
【答案】12 6；7 7
【解析】12 6；7 7
随练 2、填一填。
【答案】238，2380，23800，476；60，30，6，3
【解析】238，2380，23800，476；60，30，6，3
随练 3、填一填。
（1）一辆车每时行 80 千米，就是这辆车的（ ），可以写作（ ）。
（2）小辉 3时走了 20 千米，小强 2时走了 20 千米，（ ）的速度比（ ）快。
（3）如果被除数不变，除数除以 4，商（ ）。
（4）如果除数不变，被除数乘 2，商（ ）。
【答案】（1）速度，80 千米/时
（2）小强，小辉
（3）乘 4
（4）乘 2
【解析】（1）速度，80 千米/时
（2）小强，小辉
（3）乘 4
（4）乘 2
随练 4、用你喜欢的方法计算。
900÷600＝ 76800÷3200＝
810÷45＝ 2000÷125＝
【答案】1……300，24，18，16
【解析】1……300，24，18，16
随练 5、根据 450÷25＝18，在□里填上适当的数。
（450×□）÷（25×4）＝18
（450×3）÷25＝□
450÷（25÷5）＝□
450÷（25×2）＝□
【答案】4，54，90，9
【解析】4，54，90，9
随练 6、25 千克黄豆可制100 千克豆腐，照这样计算，175 千克黄豆可制多少千克豆腐？
【答案】100×（175÷25）=700（千克）
【解析】100×（175÷25）=700（千克）
随练 7、李老师买5个排球花了175 元，他还想要买15 个同样的排球，需要再准备多少元钱？
【答案】175×（15÷5）=525（元）
【解析】175×（15÷5）=525（元）
商不变规律
例题
例题 1、填一填．
（1）试商时，可以把除数 66 看成（ ）来试商．
（2）418÷53 把53 看作（ ）来试商，商 8
大了，改商（ ）．
（3）562÷19 可以把工9看作（ ）来试商，商的最高位在（ ）位上．
（4）除数除以 8，被除数（ ），商不变．
【答案】 (1）70 或65 （2）50 7 (3）20 十 （4）除以 8
【解析】(1）70 或65 （2）50 7 (3）20 十 （4）除以 8
例题 2、选一选．（把正确答案的序号填在括号里）
（1）1400÷70，如果除数不变，被除数除以 10，那么商应当（ ）．
A．不变
B．乘 10
C．除以 10
（2）被除数不变，除数乘 3，商应当（ ）．
A．不变
B．乘 3
C．除以 3
（3）两个数相除的商是 6，如果被除数与除数都除以 2，商是（ ）．
A．12
B．6
C．3
【答案】
【解析】(1）C．(2)C．(3)B
例题 3、在□里填数，在○里填运算符号。
400÷50＝8
（400○4）÷（50○4）＝8
（400÷2）÷（50○2）＝8
（400×6）÷（50○□）＝8
（400○□）÷（50○□）＝8
【答案】×，×（或÷，÷），÷，×，6，最后一题略
【解析】×，×（或÷，÷），÷，×，6，最后一题略
例题 4、两个数相除，商是 24。如果被除数和除数同时乘 6，商是（ ）。
【答案】24
【解析】24
例题 5、被除数除以 6，要使商不变，除数应（ ）。
【答案】除以 6
【解析】除以 6
例题 6、文具店中2支自动铅笔的售价是7元，3支钢笔的售价是14 元。张老师准备为同学们购买 10 支自动铅笔
和21 支钢笔，一共需要花多少钱？
【答案】7×（10÷2）+14×（21÷3）=133（元）
【解析】7×（10÷2）+14×（21÷3）=133（元）
例题 7、计算 400÷25 时，可以把被除数和除数同时乘（ ），商不变，变成（ ）除以（ ），结果是（ ）。
【答案】4，1600，100，16
【解析】4，1600，100，16
随练
随练 1、填一填．
（1）计算 60÷30，想（ ）个 30 是60，所以 60÷30＝（ ）．
（2）除数是两位数，先用除数试除被除数的前（ ）位，两位不够，试除前（ ）位．
（3）□42÷46，要使商是两位数，□里最小填（ ）．
（4）被除数乘 5，要使商不变，除数应该（ ）．
【答案】(1）2 2 (2)两 三 （3）5 （4）乘 5
【解析】(1）2 2 (2)两 三 （3）5 （4）乘 5
随练 2、在○里填上适当的运算符号，在□里填上适当的数．
（1）80÷16＝（80○□）÷（16÷4）
（2）200÷40＝（200÷20）÷（40○□）
（3）180÷15＝（180×3）÷（15○□）
【答案】(1）÷ 4 (2）÷ 20 (3）× 3
【解析】(1）÷ 4 (2）÷ 20 (3）× 3
随练 3、根据每组的第 1题的商，写出下面两题的商。
【答案】12，12；5，5
【解析】12，12；5，5
随练 4、两个数相除的商是 18，如果被除数和除数都除以 3，商是 6。（ ）
【答案】×
【解析】×
随练 5、15 箱蜜蜂一年可酿1050 千克蜂蜜，王大爷家养了3箱这样的蜜蜂，一年可酿蜂蜜多少千克？
【答案】1050÷（15÷3）=210（千克）
【解析】1050÷（15÷3）=210（千克）
随练 6、计算 850÷50 可以这样算： 被除数和除数同时划去（ ）个 0，就是同时除以（ ），商不变。
【答案】1，10
【解析】1，10
随练 7、两数之和为 396，其中一个加数的个位是 0，若把0去掉，就与另一个加数相同，这两个加数分别是多少？
【答案】一个加数：396÷（10+1）=36；另一个加数：36×10=360
【解析】一个加数：396÷（10+1）=36；另一个加数：36×10=360
利用商不变进行简便计算
例题
例题 1、根据商的变化规律，直接由36÷9＝4写出下面算式的商．
360÷90＝________ 72÷9＝________
144÷36＝________ 3600÷900＝________
36÷3＝________ 180÷45＝________
【答案】4 8 4 4 12 4
【解析】4 8 4 4 12 4
例题 2、拿出两张卡片，使它们的商是 6．你能有多少种拿法？写出算式．
540 3600 40 12000
600 240 2000 90
【答案】540÷90=6 3600÷600=6 12000÷2000=6 240÷40=6
有4种拿法
【解析】540÷90=6 3600÷600=6 12000÷2000=6 240÷40=6
有4种拿法
例题 3、计算下面各组题，你发现了什么？
480÷（4×3）＝
480÷4÷3＝
640÷（8×2）＝
640÷84÷2＝
我发现：________
【答案】40 40；40 40 发现略
【解析】40 40；40 40 发现略
例题 4、在（ ）里填上适当的数，使计算简便．
【答案】略
【解析】略
例题 5、仔细观察，找出规律，再填数．
111111111÷9＝12345679
222222222÷18＝12345679
333333333÷27＝12345679
（ ）÷36＝12345679
555555555÷（ ）＝12345679
777777777÷（ ）＝12345679
（ ）÷（ ）＝12345679
【答案】444444444 45 63 888888888 72
（后两空答案不唯一）
【解析】444444444 45 63 888888888 72
（后两空答案不唯一）
例题 6、用竖式计算。
600÷50＝ 340÷20＝
670÷30＝ 980÷60＝
【答案】12，17，22……10，16……20
【解析】12，17，22……10，16……20
例题 7、接着算，再验算。
8400÷500＝
验算：
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