四年级数学上册第4讲：等积变形（教师版）（人教版）

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第4讲等积变形

（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）

（不用添加内容，也不做修改）

1、三角形的面积=

底边长

高;所以，两个面积相等的三角形，当底边相等时，高也相等；

反之亦然。

2、当两个三角形高相等时，面积之比等于底边长之比。

3、当两个三角形的底边长相等时，面积之比等于高之比。

4、在等底等高的情况下，三角形面积是平行四边形面积的一半；

5、底边之和等于平行四边形的一边，且高相等的所有三角形，面积之和是平行四边形面积

的一半；

6、高之和等于平行四边形的高，且分别以这条高的两边为底的所有三角形，面积之和是平

行四边形面积的一半。

1、灵活运用三角形和四边形的面积公式

2、掌握三角形的等积变形技巧

（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）

例1:如图，三角形 ABC 的面积为 1，其中 AE=3AB,BD=2BC,三角形 BDE 的面积是多少？

A B E

答案：三角形 BDE 的面积是 4 D

解析：连结 CE.此时出现两个“同高”模型

因为 AE=3AB，所以 AB:BE=1：2，所以三角形 ABC 面积：三角形 BCE 面积=1：2，三角形

ABC 面积为 1，所以三角形 BCE 的面积为 2，又因为 BD=2BC，所以 BC:CD=1：1，所以三角

形BCE 的面积：CDE 的面积=1：1，所以三角形 CDE 的面积是 2，所以三角形 BDE 的面积是

例2：正方形 ABCD 和正方形 CEFG，且正方形 ABCD 边长为 10 厘米，则图中三角形 BDF 面

积为多少平方厘米？

A D

B E

答案：50 平方厘米

解析:连接 CF.则CF∥BD。则三角形 BCD 与三角形 BDF 就是这两条平行线之间的等积模型。

因为他们有一条公共的底边 BD，而他们的高的长度正好是这两条平行线之间的距离，两条

平行线之间的距离处处相等（这个是平行线之间距离的性质），所以这两个三角形的高相

等。

所以面积相等，而三角形 BDC 的面积为 10×10÷2=50（平方厘米）。

例 3：图中三角形 AOB 的面积为 15 平方厘米,线段 OB 的长度为 OD 的 3 倍，求梯形 ABCD 的

面积。

A D

B C

答案：80 平方厘米

解析：三角形 AOB 的面积为 15 平方厘米，OB:OD=3：1，所以三角形 AOD 的面积为 5平方

厘米，而梯形中 AD∥BC,所以三角形 ADC 与三角形 ADB 是平行线间的等积模型，所以他们

面积相等，而他们的重叠部分是三角形 AOD，所以都减去这部分之后就剩下三角形 AOB 与

三角形 DOC,所以面积也相等，所以三角形 DOC 的面积为 15 平方厘米。同样因为

OD:OB=1:3,所以三角形 DOC 面积：三角形 BOC 的面积=1：3，所以三角形 BOC 的面积为 45

平方厘米。

所以梯形面积为 15+15+5+45=80 平方厘米。

例 4：如下图，在平行四边形 ABCD 中，直线 CF 交 AB 于 E，交 DA 延长线于 F,若三角形 ADE

的面积为 1，求三角形 BEF 的面积。

C B

D A F

答案:1

解析：连接 AC，因为 DC∥AB,所以三角形 ADE 和三角形 ACE 的面积相等，这样把三角形

ADE 的面积转化成求 ACE 的面积，又因为 AF∥BC,所以三角形 ABC 的面积与三角形 BCF 的面

积相等，而他们的重叠部分为三角形 CBE 的面积，所以都去掉它之后剩下的面积也相等，

即三角形 ACE 与三角形 BEF 的面积相等。所以三角形 BEF 的面积为与三角形 ADE 的面积也

相等，即是 1 个单位。

例 5：如图，三角形 ABC 中，AB 是 AD 的 5 倍，AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形 ADE 的面积等于

1，那么三角形 ABC 的面积是多少？

B C

答案：15

解析：连接 BE。因为 AD:AB=1：5 ,所以三角形 ADE 的面积为 1个单位，那么三角形 ABE 的

面积为 5个单位，因为 AE:AC=1：3，所以三角形 ABE 的面积：三角形 ABC 的面积=1：3，

所以三角形 ABC 的面积为：3×5=15.

例6：A E D

F G

B C

如图所示，长方形 ABCD 的长是 12 厘米，宽是 8厘米，三角形 CEF 的面积是 32 平方厘米，

则OG 是多少厘米？

答案：4厘米

解析：作 EH⊥FG,三角形 EFO 的面积=FO×EH÷2,三角形 CFO 的面积=FO×CG÷2,而三角形

CEF 的面积=三角形 EFO 的面积+三角形 CFO 的面积，即 32= FO×EH÷2+ FO×CG÷2=

FO×(EH+CG)÷2=FO×CD÷2=FO×8÷2,所以 FO=32×2÷8=8(厘米)，所以 OG=12-8=4(厘米)；

H O

1、如图，在梯形 ABCD 中，AC 与 BD 是对角线，其交点 O，求证：△AOB 与△COD

面积相等．

　　证明：∵△ABC 与△DBC 等底等高，

　　∴S△ABC=S△DBC

　　又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC

　　 S△DOC=S△DBC—S△BOC

　　∴S△AOB=S△COD．

2、如图，已知在△ABC 中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE 的面积为 1 平方厘米．

求三角形 ABC 的面积．

答案：12(平方厘米)．

3、如下图，在△ABC 中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=

答案：4/9　

4、如右图，ABCD 为平行四边形，EF 平行 AC，如果△ADE 的面积为 4 平方厘米．

求三角形 CDF 的面积．

答案：4(平方厘米)．

5、如右图，四边形 ABCD 面积为 1，且 AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边

形 EFGH 的面积．

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