四年级数学上册第２讲：图形计数（教师版）（人教版）

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第二讲图形计数

几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠

交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一

种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一

列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解

答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．

一：简单图形计数的方法。

二：复杂图形计数的方法和找规律的方法。

例（1）数出右图中总共有多少个角

分析：在∠AOB 内有三条角分线 OC1、OC2、OC3，∠AOB 被这三条角分线分成

4 个基本角，那么∠AOB 内总共有多少个角呢？首先有这 4 个基本角，其次

是包含有 2 个基本角组成的角有 3 个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然

后是包含有 3 个基本角组成的角有 2 个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包

含有 4 个基本角组成的角有 1 个（即∠AOB），所以∠AOB 内总共有角：

4＋3＋2＋1＝10（个）

　　解： 4＋3＋2＋1＝10（个）

答：图中总共有 10 个角。

　　例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？

分析：①要数多少条线段：先看线段 AB、AD、AE、AF、AC、上各有 2 个分点，各分成

3 条基本线段，再看 BC、MN、GH 这 3 条线段上各有 3 个分点，各分成 4 条基本线段.

所以图中总共有线段是：

　　（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.

　　②要数有多少个三角形，先看在△AGH 中，在 GH 上有 3 个分点，分成基本小三

角形有 4 个.所以在△AGH 中共有三角形 4+3+2+1=10（个）.在△AMN 与△ABC 中，

三角形有同样的个数，所以在△ABC 中三角形个数总共：

　　（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）

　解：：①在△ABC 中共有线段是：

　　（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）

　　 ②在△ABC 中共有三角形是：

　　（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）

答：在△ABC 中共有线段 60 条，共有三角形 30 个。

例（3）数一数图中长方形的个数

分析：AB 边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15.

　　BC 边上分成的线段有： 3+2+1=6.

解：共有长方形：

　　（5+4+3+2+1）×（3+2+1）= 15×6 = 90（个）

　答：共有长方形 90 个。

　　例（4）数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为 1个长度单位的正方

形）

　分析：为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为 1 个长度单位，又称为基本线段，

图中共有五类正方形.

　　①以一条基本线段为边的正方形个数共有：

　　 6×5=30（个）.

　　②以二条基本线段为边的正方形个数共有：

　　 5×4=20（个）.

　　③以三条基本线段为边的正方形个数共有：

　　 4×3=12（个）.

　　④以四条基本线段为边的正方形个数共有：

　　 3×2=6（个）.

　　⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：

　　 2×1=2（个）.

解：正方形总数为：

　　 6×5+5×4+4×3+3×2+2×1

　　=30+20+12+6+2=70（个）

例（5）数一数图中三角形的个数

分析：这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线

段的最小三角形开始.

　　Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形：

　　①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：

　　W① 上=1+2+3+4=10（个）.

　　②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：

　　W① 下=1+2+3=6（个）.

　　Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形：

　　①尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：

　　W② 上=1+2+3=6（个）.

　　②尖朝下的三角形只有一个，记为 W② 下=1（个）.

　　Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形：

　　①尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：

　　W③ 上=1+2=3（个）.

　　②尖朝下的三角形零个，记为 W③ 下=0（个）.

　　Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：

　　W④ 上=1（个）.

解：所以三角形的总数是 10+6+6+1+3+1=27（个）.

答：三角形的总数是个。

例（6）数一数图中一共有多少个三角形？

分析：分析这是个对称图形，我们可按如下三步顺序来数：

　　第一步：大矩形 ABCD 可分为四个相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，

每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的.

　　第二步：每两个小矩形组合成的图形共有四个，如：

ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.

　　第三步：每三个小矩形占据的部分图形共有四个：如

△ABD、△ADC、△ABC、△DBC，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.

　　最后把每一步中每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以 4 就是整个图形中

所包含的三角形的个数.

解：：Ⅰ.在小矩形 AEOH 中：

　　①由一个三角形构成的有 8 个.

　　②由两个三角形构成的三角形有 5 个.

　　③由三个或三个以上三角形构成的三角形有 5 个.

　　这样在一个小矩形内有 17 个三角形.

　　Ⅱ.在由两个小矩形组合成的图形中，如矩形 AEGD，共有 5 个三角形.

　　Ⅲ.由三个小矩形占据的部分图形中，如△ABC，共有 2 个三角形.

　　所以整个图形共有三角形个数是：

　　（8+5+5+5+2）×=25×4=100（个）

答：图中一共有 100 个三角形。

一、填空题:

1.右图一共有( )个长方形?

答案：一共有 321 个.

解: ① 上横大长方形内有长方形:

(8+7+6+5+4+3+2+1) (1+2)=108(个);

② 下横大长方形内有长方形:

(7 6 2) (3 2 2)=63(个);

③ 竖大长方形内有长方形:

(5 4 2) (7 6

2)=210(个);

④ 中间重复的长方形共有:

2=60(个).

⑤ 图中共有长方形: 108+63+210-60=321(个).

2.右图一共有( )个长方形?

答案：一共有 64 个.





 







 

(6)

3.右图一共有( )个长方形？

答案：一共有 107 个.

解: (1+2+3+4)

(1+2+3)=60(个);

(1+2+3)

(1+2+3)=36(个);

1+2=3(个);

(1+2)

4+2=14(个);

图中共有长方形: 60+36-3+14=107(个).

4.右图一共有( )个正方形？

答案：一共有 18 个.

解:分三类计算,边长是 1 的正方形有

2+4=13(个),边长为 2 的正方形有 4(个),边长为 3 的

正方形有 1 个.

因此,图中共有正方形 13+4+1=18(个).

5.右图一共有( )个长方形？

答案：一共有 79 个.

解: 在大长方形中共有长方形:(3+2+1)(3+2+1)=36(个).

在小长方形中共有长方形: (3+2+1)(3+2+1)=36(个).

在两个长方形中增加的长方形有:8(个).

在大长方形和小长方形中重复计算了的长方形个数为 1 个.

所以,这个图中长方形的个数为:36+36+8-1=79(个).

6.右图一共有( )个平行四边形?

(7)

答案：右图一共有(150)个平行四边形.

2)=150(个).

点金术:与算平行四边形的方法一样.

7.右图一共有( )个梯形？

答案：一共有(90)个.

2)=90(个).

8.右图一共有( )个正方形？

答案：一共有(55)个.

解:分类进行统计,得

边长为 1 的正方形有 5

5=25(个);

边长为 2 的正方形有 4

4=16(个);

边长为 3 的正方形有 3

3=9(个);

边长为 4 的正方形有 2 2=4(个);

边长为 5 的正方形有 1

1=1(个).

图中共有正方形: 25+16+9+4+1=55(个).

9.右图一共有( )个正方形?

答案：一共有 60 个.

解:分类进行统计,得

边长为 1 的正方形有 4 7=28(个);

边长为 2 的正方形有 3

6=18(个);

边长为 3 的正方形有 2

5=10(个);

边长为 4 的正方形有 1

4=4(个).

图中共有正方形: 4

7+3

6+2

5+1

4=60(个).

10.右图一共有( )个正方形?

答案：右图一共有(110)个正方形.

解: 图中

ABCD

是一个 4

10 方格,其中正

方形的个数是:

10+3

9+2

8+1

7=90(个);



图中

CEPN

是一个 4

6 方格,其中正方形的个数是:

6+3

5+2

4+1

3=50(个);

在上面的两项统计中,

CDMN

内的正方形被重复计算了一次,应

该扣除.因

CDMN

是 4

4 方格,其中正方形的个数是:

4+3

3+2

2+1

1=30(个).

所以,图中正方形的个数是: 90+50-30=110(个).

二、解答题:

11.下图共有几个正方形?

答案：一共有 95 个.

解: ① 中间部分的正方形有:

52+42+32+22+12=55(个);

② 上、下部分的正方形有:

(4+2+1) 2=14(个);

③ 左、右部分的正方形有:

(9+2+2) 2=26(个).

共有正方形: 55+14+26=95(个).

12.下图共有几个正方形?

答案：共有 46 个.

解: ① 正摆着的正方形有:

4 3+3 2+2 1=20(个);





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