四年级数学上册第1讲：加乘原理（教师版）（人教版）

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第一讲加乘原理

加法原理：完成一件工作共有 N 类方法。在第一类方法中有 m1种不同的方法，在第二

类方法中有 m2种不同的方法，……，在第 N 类方法中有 mn种不同的方法，那么完成这件工

作共有 N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法。

运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可

以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务

的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难

点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。

乘法原理：完成一件工作共需 N 个步骤：完成第一个步骤有 m1种方法，完成第二个步

骤有 m2种方法，…，完成第 N 个步骤有 mn种方法，那么，完成这件工作共有 m1×m2×…

×mn种方法。

运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的 N 个步骤，各个步骤之间是

相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这 N 步才能完成此工

作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也

不同。

这两个基本原理是排列和组合的基础，教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问

题、行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。

运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分

析问题。计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。灵活机动地分

层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。小学阶段只学习两

个原理的简单应用。

一：两种原理的基础内容的记忆和计算的方法。

二：两种计数原理的区分和综合应用。

【题目】：1

用 1 角、2 角和 5 角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成 1 元钱，有

多少种方法？

【解析】：

运用加法原理，把组成方法分成三大类：

① 只取一种人民币组成 1 元，有 3 种方法：10 张 1 角；5 张 2 角；2 张 5 角。

② 取两种人民币组成 1 元，有 5 种方法：1 张 5 角和 5 张 1 角；一张 2 角和

8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。

③ 取三种人民币组成 1 元，有 2 种方法：1 张 5 角、1 张 2 角和 3 张 1 角的；

1张5角、2张2角和1张1角的。

【题目】：2

各数位的数字之和是 24 的三位数共有多少个？

【解析】：

一个数各个数位上的数字，最大只能是 9，24 可分拆为：24=9+9+7； 24=9

+8+7；24=8+8+8。运用加法原理，把组成的三位数分为三大类：

① 由 9、9、8 三个数字可组成 3 个三位数：998、989、899；

② 由 9、8、7 三个数字可组成 6 个三位数：987、978、897、879、798、78

9；

③ 由 8、8、8 三个数字可组成 1 个三位数：888。

所以组成三位数共有：3+6+1=10（个）。

所以共有组成方法：3+5+2=10（种）。

【题目】：3

有一批长度分别为 1，2，3，4，5，6，7 和 8 厘米的细木条若干，从中选

取适当的 3 根木条作为三条边可以围成多少个不同的三角形？

【解析】：

围三角形的依据：三根木条能围成三角形，必须满足任意两边之和大于第

三边。要满足这个条件，需要且只需要两条较短边的和大于最长边就可以了。

这道题的计数比较复杂，需要分层重复运用加法原理。

根据三角形三边长度情况，我们先把围成的三角形分为两大类：

第一大类：围成三角形的三根木条，至少有两根木条等长（包括三根等长

的）。

由题目条件，围成的等腰三角形腰长可以为 1、2、3、4、5、6、7、8 厘米，

根据三角形腰长，第一大类又可以分为 8 小类，三边长依次是：

①腰长为 1 的三角形 1 个：1、1、1。

②腰长为 2 的三角形 3 个：2、2、1；2、2、2；2、2、3。

③腰长为 3 的三角形 5 个：3、3、1；3、3、2；3、3、3；3、3、4；3、3、

5。

④ 腰长为 4 的三角形 7 个：4、4、1；4、4、2；……4、4、7。

⑤ 腰长为 5 的三角形 8 个：5、5、1；5、5、2；……5、5、8。

同理，腰长为 6、7、8 厘米的三角形都是 8 个。

第一大类可围成的不同的三角形：1+3+5+7+8×4=48（个）。

第二大类：围成三角形的三根木条，任意两根木条的长度都不同。

根据最长边的长度，我们再把第二大类围成的三角形分为五小类（最长边

不可能为是 3 厘米、2 厘米、1 厘米）：

① 最长边为 8 厘米的三角形有 9 个，三边长分别为：8、7、6；8、7、5；8、

7、4；8、7、3；8、7、2；8、6、5；8、6、4；8、6、3；8、5、4。

② 最长边为 7 厘米的三角形有 6 个，三边长分别为：7、6、5；7、6、4；7、

6、3；7、6、2；7、5、4；7、5、3。

③ 最长边为 6 厘米的三角形有 4 个，三边长分别为：6、5、4；6、5、3；6、

5、2；6、4、3。

④最长边为 5 厘米的三角形有 2 个，三边长分别为：5、4、3；5、4、2。

⑤最长边为 4 厘米的三角形有 1 个，三边长为：4、3、2。

第二大类可围成的不同的三角形：9+6+4+2+1=22（个）。

所以，这一题共可以围成不同的三角形：48+22=70（个）。

【题目】：4

一把钥匙只能开一把锁，现在有 10 把钥匙和 10 把锁全部都搞乱了，最多

要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？

【解析】：

要求“最多”多少次配好锁和钥匙，就要从最糟糕的情况开始考虑：第 1

把钥匙要配到锁，最多要试9次（如果9次配对失败，第 10 把锁就一定是这把

钥匙，不用再试）；同理，第 2 把钥匙最多要试8次；……第 9 把锁最多试1次，

最好一把锁不用试。

所以，最多试验次数为：9+8+7……+2+1=45（次）。

【题目】：5

某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3 种蔬菜，2 种汤。他要各买一

样，共有多少种不同的买法？

【解析】：

运用乘法原理，把买饭菜分为三步走：

第一步：选汤有 2 种方法。

第二步：选荤菜有 4 种方法。

每种选汤方法对应的都有 4 种选荤菜的方法，汤和荤菜共有2个4种，即8

种不同的搭配方法。

第三步：选蔬菜有 3 种方法。

荤菜和汤有 8 种不同的搭配方法，每种搭配方法，对应的都有 3 种选蔬菜

的方法与其二次搭配，共有 8 个 3 种，即 24 种不同搭配方法。

如下图所示：

1111111111

111 所以，共有不同的买法：2×4×3=24（种）。

【题目】：6

用数字 0，3，8，9 能组成多少个数字不重复的三位数？

【解析】：

运用乘法原理，把组数过程分为三个步骤：

第一步：确定三位数百位上数字，有 3 种选法（最高位不能为 0）。

第二步：确定十位上数字，有 3 种选法。

从上面四个数字中确定任意一个不为 0 的数字放在百位上，十位上都会剩

下三个数字供选择。因此，对应百位上数字的每种选法，十位上数字都有 3 种

不同的选择方法，两个数字共有 3 个 3 种，即 9 种不同的组成方法。

第三步：确定个位上数字，有 2 种选法。

从上面四个数字中去掉百位和十位上数字任意一种组成，个位上都会剩下

2 个不同的数字供选择。因此，对应百位和十位上数字的任意一种组成方法，

个位上都有 2 种不同的选择方法，三个数字共有 9 个 2 种，即 18 中不同的组成

方法。

所以，能组成的不重复的三位数的个数为:3×3×2=18(个)。

1.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有 4 班，汽车

有 3 班，轮船有 2 班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？

答案:一天中乘坐火车有 4 种走法，乘坐汽车有 3 种走法，乘坐轮船有 2 种走法，所以一

天中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法。

2.旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号

旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？

答案:根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。第一类是只挂一面信号旗，有红、黄、

蓝3 种；第二类是挂两面信号旗，有红黄、红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄 6 种。所以一

共可以表示出不同的信号

　　3＋6=9（种）。

3.两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？

答案:两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，或者两数都是偶数。

　　因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的有 3×3=9（种）情况；同理，两数都是

偶数的也有 9 种情况。根据加法原理，两次出现的数字之和为偶数的情况有 9＋9＝18

（种）。

4.用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。

问：共有多少种不同的染色方法？

答案:本题与上一讲的例 4 表面上十分相似，但解法上却不相同。因为上一讲例 4 中，区

域 A 与其它区域都相邻，所以区域 A 与其它区域的颜色都不相同。本例中没有一个区域与

其它所有区域都相邻，如果从区域 A 开始讨论，那么就要分区域 A 与区域 E 的颜色相同与

不同两种情况。

当区域 A 与区域 E 颜色相同时，A有 5 种颜色可选；B有 4 种颜色可选；C有 3 种颜色可选；

D也有 3 种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有

　　5×4×3×3＝180（种）。

　　当区域 A 与区域 E 颜色不同时，A有 5 种颜色可选；E有 4 种颜色可选；B有 3 种颜色

可选；C有 2 种颜色可选；D有 2 种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有

　　5×4×3×2×2＝240（种）。

　　再根据加法原理，不同的染色方法共有

　　180＋240=420（种）。

5.用 1，2，3，4 这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是 1 的五位数有

多少个？

答案:将至少有连续三位数是 1 的五位数分成三类：连续五位是 1、恰有连续四位是 1、恰

有连续三位是 1。

　　连续五位是 1，只有 11111 一种；

中任一个，所以有 3＋3＝6（种）；

　　3×4＋4×3＋3×3＝33（种）。

　　由加法原理，这样的五位数共有

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