四年级数学上册 2.线与角 （含详解）（北师大版）

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北师大版小学四年级数学上册期末复习专题讲义
线与角
【知识点归纳】
一．角的概念及其分类
1、角的基本概念：
从静态角度认识角：由一个点出发的两条射线组成的图形叫角；
从动态角度认识角：一条射线绕着它的顶点旋转到另一个位置，则这两条射线组成的图象叫角．有
公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边．
（1）因为射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边长无关．
（2）角的大小可以度量，可以比较．
（3）根据角的度数，角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角．
角的表示：角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，如∠1，∠α，∠BAD 等．
2、角的分类：
根据角的度数，角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角．
平角：180°的角，当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角．即射线 OA 绕点 O旋转，当终
边在始边 OA 的反向延长线上时所成的角；
直角：90°的角，即线 OA 绕点 O旋转，当终边与始边垂直时所成的角，平角的一半叫做直角；
锐角：大于 0°小于 90°的角，小于直角的角叫做锐角；
钝角：大于 90°小于 180°的角，大于直角且小于平角的角叫做钝角．
周角：360°的角，即射线 OA 绕点 O旋转，当终边与始边重合时所成的角．
【典例分析】
例1：在可以放大 4倍的放大镜中看 50°的角，你看到的角的度数是（　　）
A、50°B、100°C、200°
分析：放大镜只能改变物体的大小，而不能改变物体的形状，改变不了夹角的大小，由此判断．
解：放大镜只能放大物体的大小，而角度只是形状，是不能被放大镜改变的．如方的东西再怎么放
大也是方的，圆的东西再怎么放大也是圆的，50°的角在放大镜下，只有边延长，而表示形状的角
度大小是不变的，还是 50°．
故选：A．
点评：解答本题的难点是：正确掌握放大镜的特性，只改变物体的大小．
例2：钟面上，6点15 分时分针和时针所夹的角是（　　）
A、直角¼¼¼¼¼¼¼¼¼B、锐角¼¼¼¼¼¼¼¼¼C、钝角¼¼¼¼¼¼¼¼¼D、平角
分析：当时针指到六点整的时候，时针和分针所夹的角是 180°，当分针指到 15 分时，分针在 3上，
如时针在 6上，则为直角，时针在 6和7之间，夹角大于 90°且小于 180°，可知此角的类别．
解：钟面上，6点15 分时分针和时针所夹的角，大于 90°且小于 180°，则此夹角是钝角．
故选：C．
点评：此题主要考查角的概念及分类．
二．角的画法
1．画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合．
2．在量角器刻度线的地方点一个点．
3．以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线．
4．画完后在角上标上符号，写出度数．
【典例分析】
例：画一个 66°的角时，先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0
刻度线
和射线重合，然后在量角器 66°刻度线的地方点一个点，从射线的端点出发，通过刚
画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是 66°的角．
分析：画一个 66°的角时，先画一条射线，用量角器的中心点和射线的端点重合，0
刻度线和射线重合，在量角器 66 度的刻度上点上点，过射线的端点和刚作的点，画射
线即可．
解：画一个 66°的角时，先画一条 射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0 刻度
线和射线重合，然后在量角器 66°刻度线的地方点一个 点，从射线的端点出发，通过
刚画的点，再画一条 射线，这两条射线所夹的角就是 66°的角．
故答案为：射线、0 刻度线、点、射线．
点评：本题考查了学生运用量角器作角的方法的灵活应用．
三．直线、线段和射线的认识
1．概念：
直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条
直线可以用一个小写字母表示．¼
线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端
点的两个大写字母来表示．¼
射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线
上另一点来表示．¼
注意：
（1）线和射线无长度，线段有长度．¼
（2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点．¼
2．直线、射线、线段区别：
直线没有端点，两边可无限延长；
射线有一端有端点，另一端可无限延长；¼
线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度．
【典例分析】
例1：下列说法不正确的是（　　）
A、射线是直线的一部分¼¼¼B、线段是直线的一部分¼¼¼¼C、直线是无限延长的¼¼¼
D、直线的长度大于射线的长度
分析：根据线段、射线和线段的含义：线段有限长，有两个端点；射线有一个端点，无限长；直线
无端点，无限长；进而进行判断即可．
解：A，射线是直线的一部分，A说法正确；
B，线段是直线的一部分，B说法正确；
C，直线是无限延长的，C说法正确；
D，射线和直线无法度量长度，因此 D说法错误．
故选：D．
点评：此题考查了直线、射线和线段的含义和特点．
例2：下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（　　）
A、（1）B、（2）C、（3）D、（4）
分析：根据：直线是无限长的，可以向两端无限延伸；射线有一个端点，可以向一端无限延伸；线
段不能无限延伸；据此特点，将图中能延长的线延长，看是否能相交即可．
解答：（1）是两条直线，可以无限延伸，延伸之后会相交；
（2）一条射线，向 D端延长，另一条是直线，能无限延伸，但是不会相交；
（3）一条射线，只能向 D端无限延伸，另外是一条线段，延长射线后不会相交；
（4）两条都是线段，不能延伸，所以不会相交；
所以四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（1）．
故选：A．
点评：此题主要考查直线、射线和线段的特征．
四．垂直与平行的特征及性质
1．垂线的定义：
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做
另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．¼
直线 AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB 垂直于 CD”（或
“CD 垂直于 AB”）．¼
2．垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．¼
性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．¼
3．垂直的判定：垂线的定义．¼
4．平行线的概念：
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB
平行于 CD”．
5．平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行．
（2）垂直于同一条直线的两直线平行．
（3）平行线的定义．
【典例分析】
例1：如果同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（　　）
A、平行¼¼¼¼¼B、互相垂直¼¼¼¼¼ C、互相平行¼¼¼¼¼¼ D、相交
分析：根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；
进而解答即可．
解：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
故选：C．
点评：此题考查了垂直和平行的特征及性质．
例2：不相交的两条直线叫平行线．×．（判断对错）
分析：根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．所以说法错
误．
解：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，所以本题成立的前提是：在同一平
面内．
故答案为：×．
点评：解答此题抓住在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交．
五．角的度量
1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器．
2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制．¼
角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的 看
作1度，那么，半周就是 180 度，一周就是 360 度．由于 1度的大小不因为圆的大小而
改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量．
弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上
长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小
而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧
度单位，有时记为rad 或R．
3．度量方法：
量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐．¼
量角器的 0 刻度线和角的一条边对齐．¼
做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度．¼
看刻度要分清内外圈．
【典例分析】
例1：用一个放大 10 倍的放大镜看一个 50°的角，看到的角是（　　）
A、50°B、500°C、100°
分析：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度
数不会改变．
解：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数
不会改变．
所以用放大 10 倍的放大镜看一个 50 度的角，看到的度数仍是50 度．
故选：A．
点评：用放大镜看角，很容易错误认为角的度数会被放大相同倍数，关键要学生理解角的大小与边
的长短无关．也要认识到一个普遍规律：放大镜只改变物体大小，不改变物体形状，对角而言只是
一种图形，既然形状不变，角度也不会改变．
例2：下面每对时刻中，时钟的时针和分针所成的角不一样的有（　　）
A、1：30 和2：30B、3：30 和8：30C、9：00 和3：00D、10：30 和1：30
分析：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了 12 等份，每一份是30°，借助图形，找出不同时间
下，时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可进行判断，选择．
解：A，1：30 时针和分针中间相差，4.5 个大格，夹角是：30×4.5=135 度，
2：30 时针和分针中间相差 3.5 个大格，夹角是：30×3.5=105 度；符合题意；
B，3：30 时针和分针中间相差 2.5 个大格，夹角是 2.5×30=75 度，
8点30 分，时针和分针中间相差 2.5 个大格，夹角是 2.5×30°=75 度；
C，9：00 时针和分针中间相差 3个大格，夹角是：30×3=90 度，
3：00 时针和分针中间相差 3个大格，夹角是：30×3=90 度；
D，10：30 时针和分针中间相差 4.5 个大格，夹角是：30×4.5=135 度，
1：30 时针和分针中间相差，4.5 个大格，夹角是：30×4.5=135 度；
所以夹角不同的是 A．
故选：A．
点评：本题考查了钟面角，用到的知识点为：钟表上 12 个数字，每相邻两个数字之间的夹角为
30°．
六．画指定度数的角
三 角 板能画出 15 、30 、45 、60 、75 、90 、105 、120 、135 、150 、165 、180 度的角，是
30°，45°，60°，90 度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角．
【典例分析】
例1：画一个 120°的角．
分析：画一个 120°的角可据以下步骤进行：
（1）先画一条射线使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合；
（2）在量角器 120°角刻度线的地方点一个点；
（3）以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个 120°的角．
解：根据角的画法，作图如下：
点评：本题考查了学生根据所给度数利用作图工具画角的动手能力．
例2：用一副三角板画一个 105°的角．
分析：显然从两个三角板中，将一个等于 45°的角，再加上另一个三角板中等于 60°的角，即可得到
105°的角．
解：让等腰直角三角形的一个锐角和另一个直角三角形的较大的锐角拼在一起，画出这个角如下图
所示，
45°+60°=105°； ．
点评：本题考查了三角板的角的度数、角的计算、角的拼图、画角的方法，较为简单，熟练掌握三
角板各角的度数是解答本题的关键．
七．用三角尺画30°，45°，60°，90°角
1、30°和60°可以通过 30°直角三角形得到．
2、45°通过等腰直角三角形可以得到．
3、90°的角两个直角三角形尺都可以得到．
【典例分析】
例：用一副三角板可以画出的角是（　　）
A、160°B、40°C、120°
分析：先明确一副三角板的六个角共有四个度数，30°，45°，60°，90°．然后进行加减运算，找到
符合条件的角．
解 ： 利用 一 副三 角 板可 以 画 出 的 角 有 ： 30° ，45° ，60° ，90° ；
30°+45°=75°，30°+90°=120°，45°+60°=105° ，45°+90°=135° ，60°+90°=150°，30°+45°+90°=165° ；
45°-30°=15°，一共可以画出 11 个角．
所以符合题意的选项是C．
故选：C．
点评：此题结合生活实际，既考查了对角的认识，又考查了同学们的完全归纳能力，是一道好题．
不要漏角，也不能重复计算．
同步测试
一．选择题（共 10 小题）
1．用一个 3倍的放大镜看一个 30°的角，看到的角是（　　）
A．15° B．30° C．90°
2．下面说法正确的是（　　）
A．大于 90°的角叫做钝角
B．周角是一条射线，只有一条边
C．钟面上 2时整，分针和时针成锐角
3．如图中，有（　　）条射线．
A．1 B．2 C．3
4．一条直线和一条射线相比，（　　）
A．直线比射线长
B．直线比射线短
C．直线和射线不能比较长短
5．直线外一点到直线 L的所有线段中，最短的是（　　）
A．平行线 B．线段 C．垂线段
6．量角器上的∠l所表示的角是（　　）
A．60° B．50° C．120° D．150°
7．下面第（　　）幅图可以画出 75°角．
A．B．
C．
8．下列不能用三角板画出的角是（　　）
A．45° B．70° C．135°
9．下面图形中，（　　）表示射线 MN．
A．B．
C．D．
10．判定一个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，至少要量（　　）
A．1个角 B．2个角 C．3个角
二．填空题（共 10 小题）
11．一副三角尺中角的度数有　 
　 、　 
　 、　 
　 、　 
　 ．
12．130°的角比平角少　 
　 °；和周角相差　 
　 °．
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